Cálculo Diferencial de Uma Variável - Unidade I

Profa Isabel Espinosa UNIDADE I Cálculo Diferencial de Uma Variável Estudaremos nesta disciplina Plano cartesiano Funções 1º e 2º graus exponencial logarítmica modular trigonométrica Limites Derivadas Aplicações de derivadas Plano cartesiano x y 2 3 2 0 A Plano cartesiano A 2 2 x y B 3 4 B ordenadas abscissas 4 Produto cartesiano Produto cartesiano A 1 1 2 B 0 3 AxB 101310132023 x y 3 1 0 1 2 Relação Relação Exemplo A 0 1 2 3 e B 0 1 2 3 4 Relação 1 1 elemento é o triplo do 2 R1 Relação 2 1 elemento é a metade do 2 R2 Relação A 0 1 2 3 e B 0 1 2 3 4 R3 xy A x B x y 3 R3 R3 0 1 2 3 3 2 1 0 4 A B Função Indica função de A em B Exemplo 1 A 2 1 0 1 2 B 0 1 2 4 f A B fx x2 f A B fx x2 Dom f Im f Domínio e imagem f 2 1 0 2 1 0 4 2 A B 1 Adição Exemplo fx 5 x gx 3x 7 f gx fx gx f gx fx gx Funções operações f g x fx gx Produto por número real Funções operações k f x k f x Exemplo fx 5 x 3 fx 3 5 x 2 fx 2 5 x Funções operações Multiplicação Exemplo fx 5 x gx 3x 7 f gx 5 x 3x 7 3 x2 8 x 35 f g x fx gx O produto cartesiano AxB sendo A a b c e B 1 2 é a a 1 b 1 c 1 b a 1 a 2 b 1 b 2 c 1c 2 c 1 0 1 b 1 c d a 1 b 2 e 1 a 2 0 1 b 1 c Interatividade O produto cartesiano AxB sendo A a b c e B 1 2 é a a 1 b 1 c 1 b a 1 a 2 b 1 b 2 c 1c 2 c 1 0 1 b 1 c d a 1 b 2 e 1 a 2 0 1 b 1 c Resposta Funções operações Composição Exemplo fx 5 x e gx 3x 7 f o g x f gx af o gx fgx b go fx gfx Gráfico de funções Exemplos Funções gráfico 1 f IR IR fx 3 x ou y 3 x Imagem y x 3 1 1 2 1 1 6 3 Domínio 2 f IR IR fx x3 ou y x3 Funções gráfico y x 8 2 1 0 1 2 2 2 8 Função bijetora Função injetora Função sobrejetora Exemplos 1 f IR IR fx x2 2 x Graficamente temos Im f CD f x1 x2 fx1 fx2 Injetora e sobrejetora fx x2 2 x Função f2 f0 mas x1 x2 2 1 0 1 2 y x 1 2f IR IR fx x 1 Injetora Sobrejetora Im f Funções y x 1 1 2 1 Algebricamente fx x 1 a b Dom f a b fa fb a b Assim fa fb isto é f é injetora Logo f é bijetora Funções Função inversa f1 Exemplo 1y IR IR Isolando x temos Trocando x por y temos isto é f 1x 2 x Funções y x 2 A função inversa de é a b c d e Interatividade A função inversa de é a Resposta Função do 1 grau Função de 1º grau f A B fx a x b Coeficiente angular Coeficiente linear Função de 1º grau Função do 1 grau Exemplos a fx 3 x função linear coeficiente angular coeficiente linear b fx 2 x 5 função afim coeficiente angular coeficiente linear Gráfico reta Crescimento função crescente função decrescente Sinais sinal contrário de a mesmo sinal de a Função de 1º grau xo zero da função xo Função de 1º grau Função do 1 grau Exemplos 1fx 2x 4 função afim a b Dom f Im f a função crescente Gráfico fx 2x 4 Função de 1º grau 1 y x Zero da função 2 4 Zero da função fx 2 x 4 2 x 4 0 Sinal de fx Função de 1º grau fx 0 se fx 0 se fx 0 se 2 Função de 1º grau 2 fx x 1 função afim a b Dom f Im f a função decrescente Corte em x y 0 x 1 0 Corte em y x 0 y Função de 1º grau Gráfico fx x 1 Função de 1º grau y x 1 b 1 raiz Função de 1º grau 3 fx 3 x função linear a b Dom f Im f a função crescente Corte em x y 0 3x 0 Corte em y x 0 y Função de 1º grau y x 1 3 A função y 2 x 4 é positiva no intervalo a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 e x 0 Interatividade A função y 2 x 4 é positiva no intervalo a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 e x 0 Resposta Raiz da função 2 x 4 0 2 Função de 2º grau y a x2 b x c Gráfico sempre uma parábola Construção por tabela de pontos ou cortes vértice concavidade Função de 2º grau Exemplos 1 Esboçar o gráfico das funções a y x2 16 a concavidade b c Função de 2º grau Corte em x x2 16 0 Corte em y x 0 y Função de 2º grau 4 0 4 y x 16 Função de 2º grau b y 2 x2 4 x a concavidade b c Função de 2º grau Corte em x 2 x2 4x 0 2x x 2 0 Corte em y x 0 y Função de 2º grau 0 1 2 y x 2 2 Determinar o sinal das funções a y x2 3 x 10 a b c Função de 2º grau Função de 2º grau a 1 0 fx 0 se fx 0 se fx 0 se 2 5 Função de 2º grau b y x2 3 x 5 a b e c 32 4 1 5 Não tem raiz real fx 0 x Dom f A função y x2 3 x 4 tem sinal positivo no intervalo a 1 b 3 c 1 4 d 4 e 1 4 Interatividade A função y x2 3 x 4 tem sinal positivo no intervalo a 1 b 3 c 1 4 d 4 e 1 4 a 1 b 3 e c 4 32 4 1 4 25 0 Raízes reais 1 e 4 Resposta 1 4