Derivadas-Conceitos-Fundamentos-e-Regras-de-Derivacao

A equação nos permite calcular o coeficiente da reta tangente ao ponto em qualquer ponto do gráfico Podemos observar que a inclinação da reta tangente ao ponto muda de um valor de x para outro pelo fato de o gráfico não ser uma reta Derivada de Uma Função A derivada de uma função é denotada por fx Ela pode ser calculada utilizando a definição de limite pela equação Que nada mais é do que o cálculo do coeficiente angular em um determinado intervalo quando o intervalo em questão tende a zero A derivada permite calcular o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto do gráfico Para isso basta substituir o valor de x em fx Outras notações para representar a derivada podem ser utilizadas tais como Quando a variável Y representa fx a derivada é denotada por Y Dx Y ou O gráfico da função fx 3x2 5x 1 mostrado a seguir dá a ideia do conceito de derivada A derivada de fx que neste caso é fx 6x 5 permite calcular o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto do gráfico Em x 2 a derivada é igual a 7 Chegamos a este valor substituindo x 2 na equação de fx Exemplo 21 Seja a função fx 3x 5 fx h 3x h 5 3x 3h 5 fx lim h0 3x 3h 5 3x 5 h 3 Podemos dizer que a derivada de fx 3 Em outras palavras Dx3x 5 3 Teorema 1 Seja a função fx ax b sendo a e b constantes A derivada de fx é a Dxax b a Teorema 2 A derivada de uma função constante é zero Em outras palavras Dxax b 0 se a 0 e b 0 Teorema 3 A derivada e Dxax b 1 se a 1 e b 0 Teorema 4 Dxx 1 Dxx1 1 x11 10 x0 1 Dxx2 2x Dxx2 2 x21 2x Dxx3 3x2 Dxx3 3 x31 3x2 Dx1x 1x2 Dx1x 1 x11 x2 1x2 Regra 1 Dxfx gx Dxfx Dxgx Regra 2 DxC fx C Dxfx Regra 3 Dxfx gx fx Dxgx gx Dxfx Regra 4 Dxxn nxn1 Regra 5 DxC 0 em que C é uma constante Regra 6 Para derivar um polinômio troque cada termo não constante ak xn por ak n xn1 e elimine o termo constante se ele existir DERIVADA A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função do 1 grau Dois pontos do gráfico podem ser vistos São eles definidos pelas coordenadas xfx e x1 fx1 Como o gráfico é uma reta o coeficiente angular é o mesmo em qualquer intervalo O coeficiente angular da reta define a sua inclinação com relação ao eixo x e pode ser calculado da forma a seguir em que a é o coeficiente angular da reta no intervalo definido por x1 x Assumindo que h x1 x podese afirmar que x1 x h Reescrevendo a equação do coeficiente angular temos que Utilizando o conceito de limite podemos calcular o coeficiente angular em qualquer ponto da reta pela equação Fazer h 0 equivale a aproximar os pontos x e x1 de forma que a distância entre eles tenda a zero Esta abordagem nos permite calcular o coeficiente angular em qualquer ponto de um gráfico mesmo que ele não seja uma reta Vejamos o gráfico da figura a seguir cuja forma não é uma reta Exemplo 22 Dx8x5 2x4 3x2 5x 7 Dx8x5 2x4 3x2 5x 7 85x4 42x3 23x 5 0 40x4 8x3 6x 5 Exemplo 23 Dx3x7 2x5 43x2 9x π 73x6 52x4 243x 9 0 21x6 52x4 83x 9 Exemplo 24 Encontre as equações reduzidas das retas tangentes aos gráficos das seguintes funções nos pontos dados a fx 3x2 5x 1 em x 2 b fx x7 12x4 2x em x 1 a O coeficiente angular m de fx em x 2 pode calculado pela derivada de fx Dx3x2 5x 1 23x 5 0 6x 5 m 6x 5 Em x 2 temos que m 7 m 62 5 7 y 322 52 1 3 y 7x b 3 72 b 3 14 b 11 y 7x 11 y 7x 11 RETA TANG DO PONTO X 2 b Dxx7 12x4 2x 7x6 412x3 2 Em x 1 temos que y 17 1214 21 9 x 1 Y 9 M 39 7x6 48x3 2 Em x 1 m 716 481 2 m 39 y 39x b 9 391 b 9 39 b 30 y 39x 30 Y m x b y x7 12x4 2x m 39 Exercícios 21 Use a definição básica de fx como um limite para calcular as derivadas das seguintes funções a fx 2x 5 b fx 13 x2 7x 4 c fx 2x3 3x 1 d fx x4 e fx 1x f fx 1x2 g fx 1x2 1 22 Use a regra 5 para calcular as derivadas dos seguintes polinômios a fx 3x3 4x2 5x 2 b fx 8x5 3x3 2πx2 12 c fx 3x13 5x10 10x2 23 Determine a derivada de a Dx3x7 15 x5 b Encontre d3x2 5x 1dx c Se y 12 x4 5x obtenha dydx d Calcule d3t7 12t2dt e Se U 2x5 3x3 obtenha DxU a fx 2 0 2 24 Encontre as equações reduzidas das retas tangentes aos gráficos das seguintes funções nos pontos especificados a fx x2 5x 2 em x 1 b fx 4x3 7x2 em x 3 c fx x4 2x2 3 em x 0 25 Determine a equação reduzida da reta normal ao gráfico y x3 x2 no ponto onde x 1 26 Obtenha os pontos do gráfico y 12 x2 nos quais a reta normal passa pelo ponto 41 27 Especifique todas as retas que satisfazem as seguintes equações a Passa pelo ponto 02 e é tangente a curva y x4 12x 50 b Passa pelo ponto 15 e é tangente a curva y 3x3 x 4 Gabarito 21a 2 21b 23 x 7 21c 6x2 3 21d 4x3 21e 12 x2 21f 22 x2 21g 2xx2 12 21a 9x2 8x 5 22b 40x4 33x2 4πx 22c 39x12 50x9 20x 23a 21x6 x4 23b 6x 5 23c 2x3 5 23d 21t6 24t 23e 52x4 9x2 24a 7x 1 24b 66x 153 24c 3 25 y x 1 26 2 2 e 3 45 27a y 20x 2 e y 44x 2 27b y 854 x 654 Regra 6 Regra do quociente Se f e g são diferenciáveis em x e se gx 0 então Dx fxgx gxDxfx fxDxgx gx2 Exemplo 25 a Dx x 1x2 2 x2 2Dxx 1 x 1Dxx2 2 x2 22 x2 21 x 12x x2 22 x2 2 2x2 2x x2 22 x2 2 2x2 2x x2 22 x2 2x 2 x2 22 x2 2x 2 x2 22 b Dx 1x2 x2Dx1 1Dxx2 x22 2xx4 2x3 Regra 7 Dx1x Dxx1 1x11 x2 1x2 Dx1x2 Dxx2 2x21 2x3 2x3 Exercícios 28 Calcule as derivadas das funções definidas pelas seguintes fórmulas a x100 2x50 37x8 20x 5 b x 2x 2 c x2 3x 4 d x5 x 2x3 7 e 3x5 f 8x3 x2 5 2x 4x3 g 3x7 x5 2x4 x 3x4 29 Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado a fx 1x2 em x 2 b x 2x3 1 em x 1 c Seja fx x 2x 2 para todo x 2 Calcule f2 210 Determine os pontos nos quais a função fx x 3 é diferenciável Obs Uma função é diferenciável em x se fx existir naquele ponto Gabarito 28a x100 2x50 37x8 20x 5 28b 2x 28c x2 8x 3x 42 28d 2x7 35x4 2x3 6x2 7x3 72 28e 15x6 28f 24x2 2x 2x2 12x4 28g 9x2 1 3x4 12x5 29a y 14x 34 29b y 54x 74 29c 14 210 todos os pontos exceto em x 3