Calculo Diferencial

ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DEP EST RENÊ BARBOUR FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS Aluno a Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Professor Joilson Carvalho Avaliação da Unidade III Observação Registre todos os cálculos utilizados 1 40 pontos Determine a integral iterada a 12 03 3x2 x dydx b 02 0π2 x cosy dydx c 01 2x2 2x y2 dydx d 01 0y2 senx3 dxdy 2 20 pontos Use a integral dupla para determinar o volume do sólido dado a Abaixo do plano x 2y z 1 e acima da região limitada por x y 1 e x2 y 1 b Abaixo da superfície z 2x y2 e acima da região limitada por x y2 e x y3 3 40 pontos Determine as integrais triplas a 01 01 01 x2 y2 z2 dxdzdx b 0π 0π 0π cosx y z dzdxdydy c 1e 1e2 1e3 1 xyz dxdydz d 12 02z 0lnx xey dxdydz 1 a 12 03 3x2 x dydx 12 3x2 x dx 03 dy x3 x22 12 y 03 8 42 1 12 3 3 9 12 512 12 03 3x2 x dydx 512 b 02 0π2 x cosy dydx 02 x dx 0π2 cosy dy x22 02 seny 0π2 2 senπ2 2 02 0π2 x cosy dydx 2 c 01 2x2 2x y2 dy dx 01 2xy y33 2x2 dx 01 4x 83 4x2 83 x3 dx 4x22 83 x 4x33 812 x4 01 2 83 93 812 24 48 8 12 1612 43 01 2x2 2x y2 dy dx 43 Digitalizado com CamScanner d 01 0y2 senx3 dx dy Note que a região de integração é 0 y 1 e 0 x y2 Ou seja x y2 y x Ou seja a região equivalente é dada por 0 x 1 e 0 y x Logo temos que 01 0y2 senx3 dx dy 01 0x senx3 dy dx 01 x senx3 dx Logo tanto 01 0y2 senx3 dx dy como 01 x senx3 dx são integrais não possíveis de solução analítica sendo impossível prosseguir a partir daqui Há um possível erro nessa questão Digitalizado com CamScanner 3 a 01 01 01 x2 y2 z2 dy dz dx 01 01 yx2 z2 y33 01 dz dx 01 01 x2 z2 13 dz dx 01 x2 13z z33 01 dx 01 x2 13 13 dx 23 x x33 01 23 13 33 1 01 01 01 x2 y2 z2 dy dz dx 1 b Primeiro façamos uz x y z logo temos que du 1 du dz e temos 0π cosx y z dz xyxyπ cosu du senu xyxyπ senxy π senx y 2 senx y pois senk π senk k ℝ Então temos que para a integral em x façamos ϕ x y dϕ 1 dϕ dx e logo temos 0π 2 senx y dx yyπ 2 senϕ dϕ 2 cosϕ yyπ 2 cosy π 2 cosy 2cosy cosy 4 cosy Por fim temos 0π 4 cosy dy 4 seny 0π 4 senπ sen0 0 Portanto 0π 0π 0π cosx y z dz dx dy 0 c 1e 1e2 1e3 1xyz dx dy dz 1e 1z dz 1e2 1y dy 1e3 1x dx lnz 1e lny 1e2 lnx 1e3 lne lne2 lne3 lne 2 lne 3 lne 6 1e 1e2 1e3 1xyz dx dy dz 6 2 a A região limitada por x y 1 e x2 y 1 é a seguinte y 1 x y 1 x2 Região de Integração Logo a região de integração é 0 x 1 e 1 x y 1 x2 Dali o volume com z 1 2y x é V 01 1x1x2 1 2y x dy dx 01 1 xy y2 1x1x2 dx 01 1 x1 x2 1 x22 1 x2 1 x2 dx 01 1 x2 x x3 1 2x2 x4 1 2x x2 1 2x x2 dx 01 x21 2 1 1 x3 1 x1 2 2 1 1 1 1 x4 dx 01 5x2 x4 x3 3x dx Continuando temos V integral from 0 to 1 of x4 x3 5x2 3x dx x55 x44 5x33 3x22 from 0 to 1 15 14 53 32 1760 Therefore V 1760 b A região limitada por x y2 e x y3 é esboçada a seguir Logo é imediato que a região de integração é 0 y 1 e y3 x y2 Como z 2x y2 segue que o volume V é V integral from 0 to 1 integral from y3 to y2 of 2x y2 dx dy integral from 0 to 1 of x2 y2 x from y3 to y2 dy integral from 0 to 1 of y4 y4 y6 y5 dy integral from 0 to 1 of 2y4 y6 y5 dy 2y55 y77 y66 from 0 to 1 25 17 16 19210