Campos Vetoriais - Definições Exemplos e Aplicações

1 O que é um campo vetorial Êla g lo 1 é um exemplo de campo vetorial Sua representação geométrica é dada abaixo y A Mesa a Ê é um campo vetorial que Mesa associa a cada ponto la g E IR o vetor 10 1 Te 1 2 Chamaremos I 110 e j 101 os vetores canônicos Exemplo Seja Ê lag yi aej descreva F desenhando alguns de seus vetores Fla y y Êmy 1 y a a Seja à la y Observemos que I Êmy aly 1 y a O ç X 1 2 No exemplo anterior Ê la y é perpendicular ao vetor posição vi la y e tangente ao círculo com centro na origem e raio III II Mais ainda III II HÊ lay H dfefinição Seja D um conjunto em RT uma região plana Um campo vetorial em 112ª é uma função Ê que associa a cada ponto la y em D um vetor bidimensional Êlaçy Se f é uma função escolar de duas variáveis seu gradiente of é definido por of x y fala y i fy layljo Portanto of é realmente um campo vetorial em Rte é denominado campo vetorial gradiente descemplo Seja Êtay ofx y onde flor g a 2 y dfesenhe FÃy com la y na reta al 2 y 1 y as Fla y 112 pois pfto g P2J DE a 22 Y 1 dfefinição Seja E um subconjunto de IR Um campo vetorial em R é uma função E que associa a cada ponto Ixy z em E um vetor tridimensional ÊIx y z Boomplo Esboce o campo vetorial em R dado por ÊIx y z z É httpswwwgeogebraorgmeub3jfqg z Os vetores são verticais apontando para cima quando t acima do plano ay Y e para baixo quando abaixo do plano ay a O comprimento aumenta à medida que nos distanciamos do plano ay 2 E se derivamos um campo vetorial Seja Êta y 3 Play g i Q lx y z Rlx y z K um campo vetorial em pé Suponhamos que as derivadas parciais de P K e R existem então o rotacional de Ê é um campo vetorial de R definido por roti 1 Ei E Fudi Podemos expressar rotF como um produto vetorial rot Ê o Ê onde já â L j KT i Hz 1 EH 1 Epi P A R Exemplo Se Êlaçy g agi yji xyzia Calcule veot É O rotacional de É é dado por f g À rot Ê doa y zlx ayi yz art ay Jj aeyz Exemplo Seja Êta g Orla gj Suponha que para todo lx g epi doálo g O a dfesenhe um campo satisfazendo as condições dadas b Calcule rot Ê y amam 3 Como faz o então A 2 Q é constante ema 1 i v A função Orlag y i I I i I is a x 1 é tal que doação 2 i J iê b rotÍ Ê dor y 9oz Íâ Ô O Q O Seja F um campo vetorial qualquer dizemos que Ê é wwwtacional se e somente se rot Ê o