Edo - Equações Diferencial Ordinária Alguém Consegue Resolver

4 Use a Transformada de Laplace para resolver as EDOs a seguir sujeitas às condições iniciais indicadas valor 25 pontoscada a dydt 2y t y0 1 b y y sent y0 0 c y 6y 9y t2 e3t y0 2 y0 6 d y 4y e4t y0 2 Questão 4 Letra a Aplicando a transformada de Laplace na equação dydt 2y t y0 1 obtemos Ldydt 2Ly Lt sYs y0 2Ys 1s2 sYs 1 2Ys 1s2 s 2Ys 1s2 1 Ys 1s2s2 1s2 Fazendo a decomposição em frações parciais 1s2s2 As Bs2 Cs2 Multiplicando ambos os lados por s2s2 1 Ass2 Bs2 Cs2 1 As2 2s Bs2 Cs2 1 A Cs2 2A Bs 2B Comparando coeficientes A C0 2A B0 2B1 B12 A 14 C14 Portanto 1s2s2 14s 12 s2 14s2 Ys 14s 12 s2 14s2 1s2 Ys 1 4s 1 2s2 3 4s 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt 1 4 1 1 2t 3 4e2t yt 1 4 1 2t 3 4e2t Letra b Aplicando a transformada de Laplace na equacao y y sin t y0 0 temos Ly Ly Lsin t sYs y0 Ys 1 s2 1 sYs Ys 1 s2 1 Yss 1 1 s2 1 Ys 1 s 1s2 1 Fazendo a decomposicao em frac oes parciais 1 s 1s2 1 A s 1 Bs C s2 1 Multiplicando por s 1s2 1 1 As2 1 Bs Cs 1 1 As2 A Bs2 Bs Cs C 1 A Bs2 B Cs A C Comparando os coeficientes A B 0 B C 0 A C 1 2 B A C A A A 1 2A 1 A 12 B 12 C 12 Logo Ys 12s1 12 s 1s2 1 Aplicando a transformada inversa de Laplace yt 12 et 12 cos t 12 sin t yt 12 et 12 cos t 12 sin t Letra c Aplicando a transformada de Laplace em y 6y 9y t2 e3t y0 2 y0 6 temos Ly 6Ly 9Ly Lt2 e3t s2 Ys 2s 6 6s Ys 2 9Ys 2s33 s2 Ys 2s 6 6s Ys 12 9Ys 2s33 s2 6s 9 Ys 6 2s 2s33 s 32 Ys 6 2s 2s33 s 32 Ys 2s33 2s 6 Ys 2s35 2s 6s32 Ys 2s35 2s3s32 2s35 2s3 Aplicando a transformada inversa L1 2s35 24 t4 e3t t412 e3t L1 left frac2s3 right 2e3t yt fract412 e3t 2e3t Letra d Aplicando a transformada de Laplace em y 4y e4t y0 2 temos mathcalL y 4 mathcalL y mathcalL e4t sYs y0 4Ys frac1s4 sYs 2 4Ys frac1s4 s 4 Ys frac1s4 2 s 4 Ys frac1 2s4s4 frac2s 9s4 Ys frac2s 9s42 Reescrevendo o numerador Ys frac2s41s42 frac2s4 frac1s42 Aplicando a transformada inversa L1 left frac2s4 right 2 e4t L1 left frac1s42 right t e4t yt 2 e4t t e4t yt 2 e4t t e4t