Cinemática do Corpo Rígido - Movimento Relativo e Exercícios Resolvidos

Mecânica Geral II Cinemática do Corpo Rígido Movimento relativo Escopo Movimento relativo Exercícios 2 Movimento relativo devido a rotação A segunda abordagem para a cinemática de corpo rígido utiliza os princípios do movimento relativo Estes conceitos foram vistos em Físicaonde foram desenvolvidos princípios para o movimento em relação a eixos com translação e aplicamos a equação da velocidade relativa 3 httpsyoutubeFftar0rLi7Q httpsyoutubeKgV9JoS60M Interpretação Trajetória de A Trajetória de B Solução A solução da equação da velocidade relativa pode ser realizada por álgebra escalar ou vetorial ou uma análise gráfica pode ser empregada Um esboço do polígono vetorial que representa a equação vetorial deve sempre ser produzido para exibir as relações físicas envolvidas A partir desse esboço você pode escrever os componentes de equações escalares projetando os vetores nas direções convenientes Normalmente é possível evitar a solução de equações simultâneas por meio de uma escolha cuidadosa das projeções De forma alternativa cada termo na equação do movimento relativo pode ser escrito em termos de seus componentes i e j a partir dos quais se obtêm duas equações escalares quando a igualdade é aplicada separadamente para os coeficientes dos termos i e j Muitos problemas se prestam a uma solução gráfica especialmente quando a geometria fornecida resulta em uma expressão matemática complicada Nesse caso traçamos inicialmente os vetores conhecidos em suas posições corretas utilizando uma escala conveniente Em seguida traçamos os vetores desconhecidos que completam o polígono e satisfazem à equação vetorial Finalmente medimos os vetores desconhecidos diretamente a partir do desenho 5 Exercício de fixação A roda de raio r 300 mm rola para a direita sem deslizar e possui uma velocidade vO 3 ms em seu centro O Calcule a velocidade do ponto A na roda para o instante representado 6 Exercício de fixação Solução I EscalarGeométrica O centro O é escolhido como o ponto de referência para a equação da velocidade relativa uma vez que o seu movimento é fornecido Escrevemos então vA vO vAO em que o termo da velocidade relativa é observado a partir dos eixos em translação xy fixados em O A velocidade angular de AO é a mesma que a da roda a qual a partir do Exemplo 54 é ω vOr 303 10 rads Desse modo a partir da Eq 55 temos vAO r0 θlinha vAO 0210 2 ms 1 que é normal a AO como mostrado O vetor soma vA é mostrado no diagrama e pode ser calculado a partir da lei dos cossenos Dessa forma 2 vA2 32 22 232 cos 60 19 ms2 vA 436 ms Resp O ponto de contato C possui instantaneamente velocidade nula e pode ser utilizado como alternativa para o ponto de referência nesse caso a equação da velocidade relativa vem a ser vA vC vAC vAC em que vAC ACω ACOC vO 04360300 3 436 ms vA vAC 436 ms 3 A distância AC 436 mm é calculada separadamente Vemos que vA é normal a AC uma vez que A está momentaneamente girando em torno do ponto C Solução II Vetorial Utilizamos agora a Eq 56 e escrevemos vA vO vAO vO ω x r0 em que 4 ω 10k rads r0 02i cos 30 j sen 30 01732i 01j m vO 3i ms Resolvemos agora a equação vetorial vA 3i i j k 0 0 10 01732 01 0 3i 1732j i 4i 1732j ms Resp O módulo de vA 42 17322 19 436 e o sentido concordam com a solução anterior Exercício de fixação A manivela CB oscila em torno de C através de um arco limitado obrigando a manivela OA a oscilar em torno de O Quando o mecanismo passa pela posição mostrada com CB horizontal e OA vertical a velocidade angular de CB é de 2 rads no sentido antihorário Para esse instante determine as velocidades angulares de OA e AB 8 Exercício de fixação Solução I Vetorial A equação da velocidade relativa vA vO vAO vAB é reescrita como 1 ωOA x rA ωCB x rB ωAB x rAB em que ωOA ωOA K rA 100j mm ωCB 2k rads rB 751 mm ωAB ωAB K rAB 175j 50j mm A substituição fornece ωOAk x 100j 2k x 751 ωABk x 175j 50j 100ωOAk 150j 175ωABj 50ωABj 100ωOAk 50ωAB 0 256 7ωAB 0 Igualando os coeficientes dos respectivos termos i e j fornece 2 cujas soluções são ωAB 67 rads e ωOA 37 rads Resp Solução II EscalarGeométrica A solução pela geometria escalar do triângulo vetorial é particularmente simples nesse caso uma vez que vA e vB estão orientadas perpendicularmente para esta posição especial dos elementos Primeiro calculamos vB que é v rω vB 00752 0150 ms e o representamos em seu sentido correto como mostrado O vetor vAB deve ser perpendicular a AB e o ângulo θ entre vAB e vB é também o ângulo feito por AB com a direção horizontal Esse ângulo é determinado por tg θ 100 50250 75 27 3 O vetor horizontal vA completa o triângulo para o qual temos vAB vBcos θ 0150cos θ vA vB tan θ 015027 0307 ms As velocidades angulares vêm a ser ω vr ωAB vABAB 01500250 cos θcos θ 67 rads horário Resp ω vr ωOA vAOA 0307 10100 37 rads horário Resp Exercício propostos 563 A extremidade A da barra de 600 mm tem uma velocidade de 5 ms na direção representada No mesmo instante a extremidade B tem uma velocidade cujo módulo é 6 ms conforme indicado Determine a velocidade angular ω da barra por dois modos diferentes 10 Exercício propostos 569 A barra em L AB tem uma velocidade angular horária de 3 rads no instante em que θ 60 Expresse a velocidade de A em relação a B na notação vetorial para esse instante 11 Exercício propostos 585 Determine a velocidade do ponto D que produzirá uma velocidade angular antihorária de 40 rads para a barra AB na posição representada para o mecanismo de quatro barras 12 Próxima aula 13 Selecione 6 exercícios impares do capítulo 5 cinemática do corpo rígido movimento relativo e resolva Confira as respostas no final do livro texto Leitura do capítulo 5 cinemática da corpo rígido centros instantaneos