Derivadas - Incrementos e Razão Incremental - Cálculo I

Odete Amanda UCSal 20242 1 Universidade Católica do Salvador Escola de Engenharias e Arquitetura de Tecnologias Curso Bacharelado em Engenharias 20242 Cálculo I Professora Odete Amanda 2 Derivadas 21 Incrementos e Razão Incremental Seja y fx uma função real de variável real contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os números reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si isto é x2 x1 tende a zero x2 x1 0 211 Incremento da variável independente x A variável independente x pode variar aumentar ou diminuir de x1 até x2 variação esta denominada incremento ou acréscimo da variável x indicada por Δx x2 x1 212 Incremento da variável dependente y fx A variável dependente y pode variar de fx1 até fx2 variação esta denominada aumento ou acréscimo da função y f x o qual é indicado por Δy fx2 fx1 Veja que a partir de 211 e 212 temos x2 x1 Δx e fx2 fx1 Δy 213 Razão Incremental da função y f x Denominase razão incremental da função y fx a razão entre os incrementos Δy e Δx Δy Δx Assim Δy Δx fx2 fx1 Δx fx1 Δx fx1 Δx fx2 fx1 x2 x1 Ou ainda Δy Δx fx fx0 Δx fx0 Δx fx0 Δx fx fx0 x x0 22 Derivada de uma função y f x em um ponto x x0 Seja y f x contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D Existindo o limite indicado ele é denominado derivada da função fx no ponto x0 f x0 lim x x0 fx fx0 x x0 x1 x2 f x2 f x1 Δx Δy x1 x2 f x2 f x1 Odete Amanda UCSal 20242 2 Exemplo 1 Determinar a derivada da função fx x 2 num ponto x0 do seu domínio f x0 lim x x0 fx fx0 x x0 f x0 lim x x0 x2 x0 2 x x0 0 0 f x0 lim x x0 x x0x x0 x x0 f x0 lim x x0x x0 f x0 2x0 221 Observações Seja y fx uma função real de variável real contínua e x0 ℝ i Se x0 Df então não é possível determinar fx0 pois seu cálculo envolve fx0 ii Quando existe fx0 dizse que fx é derivável em x0 iii Quando existe fx0 para todo x0 Df dizse que fx é derivável em Df iv Dizse que não existe fx0 para x0 Df se e somente se lim x x0 fx fx0 x x0 ou lim x x0 fx fx0 x x0 Exemplo 2 Verificar se existe a derivada de fx x em x0 0 23 Significado geométrico de f xo Seja fxuma função contínua e derivável em x0 A reta que une os pontos distintos A e B pertencentes ao gráfico de fx a secante AB tem coeficiente angular igual a Δy Δx fx0 Δx fx0 Δx B C tangente y fx0Δx fx0 x0 x0 Δx x Δx Δy fx A Ver triângulo retângulo ACB Odete Amanda UCSal 20242 3 Suponha que B se aproxima de A deslocandose sobre o gráfico da função f Para cada nova posição que B ocupar a reta que une A e B é uma nova secante com um novo coeficiente angular Quando B se aproxima muito de A ou seja quando Δx 0 a secante se aproxima de uma posição limite que é a tangente ao gráfico de fx no ponto Ax0 fx0 O coeficiente angular da reta tangente t é dado por 𝐚𝐭 lim x x0 fx fx0 x x0 se este limite existir e for finito Se o limite for infinito então a reta tangente à curva fx no ponto x0 fx0 é perpendicular ao eixo dos x Observe que at nada mais é que f x 0 Exemplo 3 Determine a inclinação da reta tangente à curva fx x3 3x 4 nos pontos seguintes pontos A1 f1 𝐚𝐱𝟎𝟏 lim x 1 fx f1 x 1 lim x 1 x3 3x 4 2 x 1 lim x 1 x3 3x 2 x 1 lim x 1 x 1x2 x 2 x 1 lim x 1x2 x 2 0 B1 f1 𝐚𝐱𝟎𝟏 lim x 1 fx f1 x 1 lim x 1 x3 3x 4 6 x 1 lim x 1 x3 3x 2 x 1 lim x 1 x 1x2 x 2 x 1 lim x 1x2 x 2 0 Ca fa 𝐚𝐱𝟎 𝐚 lim x a fx fa x a lim x a x3 3x 4 a3 3a 4 x a lim x a x3 3x a3 3a x a lim x a x3 a3 3x 3a x a lim x a x ax2 ax a2 3x a x a lim x a x ax2 ax a2 3 x a lim x ax2 ax a2 3 3a2 3 231 Definição Dada uma função fx contínua e derivável em x 0 a equação da reta tangente à curva fx no ponto x0 fx0 é dada por fx fxo f xox xo De outra forma y yo f xox xo Exemplo 4 Determine a equação da reta tangente à curva fx x 2 no ponto 4 16 xo 4 yo fx o 16 f x0 lim x 4 x2 16 x 4 lim x 4 x 4x 4 x 4 lim x 4x 4 8 A eq da reta tangente à curva fx x 2 é y 16 8x 4 y 8x 32 16 y 8x 16 Odete Amanda UCSal 20242 4 232 Definição Dada uma função fx contínua e derivável em x0 a equação da reta normal à curva fx no ponto x0 fx0 é dada por y yo 1 f x0x xo sempre que f xo 0 A reta normal e a reta tangente são perpendiculares Exemplo 5 Determine a equação da reta normal à curva fx x3 no ponto 2 f2 xo 2 yo f2 23 8 f x0 lim x 2 x3 8 x 2 lim x 4 x 2x3 2x 4 x 2 lim x 2x3 2x 4 16 1 f x0 1 16 A eq da reta normal à curva fx x3 é y 8 1 16 x 4 y x 16 1 4 8 y x 31 16 24 Derivada de uma função definição Dada uma função y fx definida e contínua num dado intervalo real denominase função derivada de fx a função que se obtém através do limite se este limite existir e for finito da razão incremental de fx quando Δx 0 Tal função é indicada por y fx dy dx df dx dfx dx Assim se o limite indicado existir e for finito temse que f x lim x 0 Δy Δx lim x 0 fx Δx fx Δx Exemplo 6 Se fx kx k ℝ então fx k f x lim x 0 fx Δx fx Δx f x lim x 0 kx Δx kx Δx f x lim x 0 kx kΔx kx Δx f x lim x 0 kΔx Δx f x lim x 0 k f x k Sugestão de exercícios 1 a 6 25 Regras de derivação Como o cálculo da derivada de uma função a partir de definição em geral é lento e trabalhoso as regras de derivação que veremos a seguir nos possibilitam encontrar as derivadas mais rapidamente e com mais facilidade 251 Regras de derivação 0 f x k f x n n1 fx x f x n x 1 f x x f x e e x x f x f x ln x x f x a f x a a 1 ln f x x f x x 1 ln loga f x x f x x a Odete Amanda UCSal 20242 5 sen cos f x x f x x cos sen f x x f x x 2 tg sec f x x f x x 2 cotg cossec f x x f x x sec sec tg f x x f x x x cossec cossec cotg f x x f x x x 252 Álgebra das derivadas Dadas funções fx gx e hx com derivadas respectivamente fx gx e hx e uma constante k ℝ temos que y kf x y kf x y h x f x g x y h x f x g x y h x f x g x y h x f x g x f x g x 2 f x f x g x f x g x y h x y h x g x g x com gx 0 Exemplos 7 y 7x4 x3 8x 5 dy dx y 1 x y y x 5 x 5 x 3 y 2x3 x2 3x5 4x2 Sugestão de exercícios 7 e 8 253 Regra da Cadeia para Derivação da função composta Seja a função composta y hx fogx fgx sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a gx Nessas condições demonstrase que a derivada da função y é dada por y h x f g x g x Sendo u gx e y fu dy dy du dx du dx é outra expressão para a Regra da cadeia Exemplos 8 y cos 3x y 4x2 13 y ex3 5x2 4 y sen x2 10x Odete Amanda UCSal 20242 6 254 Usando derivadas para resolver limites indeterminados O Teorema de LHospital que veremos a seguir nos permite resolver limites indeterminados do tipo 0 0 ou Teorema de LHospital Sejam fx e gx funções deriváveis num intervalo I Se para todo x em I gx 0 então se lim x a fx gx 0 0 e lim x a fx gx L então lim x a fx gx L O teorema também é válido se lim x a fx gx Exemplos 9 Usando o Teorema de LHospital determine os seguintes limites A lim x 4 x2 x 12 x2 3x 4 B lim x 1 1 x lnx x3 3x 2 C lim x 0 x 1 ex D lim x 0 sen x x E lim x 0 xlnx sen x F lim x ln2 ex 3x Sugestão de exercícios 9 e 10 26 Significado cinemático da derivada Em Cinemática a equação horária do movimento st s0 vt deter mina a posição de um ponto móvel num instante t Dados dois instantes t 0 e t a velocidade média entre os instantes t 0 e t é dada por vm st st0 t t0 Δs Δt E a velocidade instantânea ou escalar deste móvel no instante t 0 é dada por vt0 lim t t0 vm lim t t0 st st0 t t0 lim t t0 Δs Δt st0 Além disso a velocidade v de um ponto em movimento pode variar de instante para instante A equação que nos dá a velocidade v como função do tempo é v vt chamada equação da velocidade do ponto Dados dois instantes t 0 e t a aceleração média entre os instantes t 0 e t é dada por Odete Amanda UCSal 20242 am vt vt0 t t0 Δv Δt E a aceleração instantânea ou escalar deste móvel no instante t 0 é dada por at0 lim t t0 vam lim t t0 vt vt0 t t0 lim t t0 Δv Δt vt0 Resumindo Sendo a posição s de uma partícula dada por uma expressão do tipo s st chamada equação horária temos que vt0 a velocidade instantânea da partícula no instante t0 é a derivada da equação horária no instante t0 vt0 st0 at0 a aceleração instantânea da partícula no instante t0 é a derivada de v vt a equação da velocidade no instante t0 at0 vt0 Exemplo 10 Sabendo que no instante t 0 um corpo inicia um movimento e que sua posição no instante t é dada por st 16t t2 onde t é dado em segundos e s em metros determine A a velocidade média do corpo no intervalo de tempo 2 4 st s4 64 16 48 st0 s2 32 4 28 vm st st0 t t0 48 28 4 2 20 2 10 vm 10ms B a velocidade do corpo no instante t 2s vt0 lim t 2 st s2 t 2 lim t 2 16t t2 28 t 2 lim t 2 t2 16t 28 t 2 lim t 2 t2 16t 28 t 2 lim t 2 t 2t 14 t 2 lim t 2 t 14 12 12 Logo a velocidade do corpo no instante t 2s é 12ms Exemplo 11 Suponha que um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária st t2 t 2 unidades SI A Determine a função velocidade desse ponto num instante t qualquer do seu percurso vt st lim Δt 0 st Δt st Δt lim Δt 0 t Δt2 t Δt 2 t2 t 2 Δt lim Δt 0 t2 2tΔt Δt2 t Δt 2 t2 t 2 Δt lim Δt 0 2tΔt Δt2 Δt Δt lim Δt 0 Δt2t Δt 1 Δt lim Δt 02t Δt 1 2t 1 vt 2t 1 Odete Amanda UCSal 20242 BDetermine a função aceleração desse ponto num instante t qualquer do seu percurso at vt lim Δt 0 vt Δt vt Δt lim Δt 0 2t Δt 2t 1 Δt lim Δt 0 2t 2Δt 1 2t 1 Δt lim Δt 0 2Δt Δt lim Δt 0 2 2 CInterprete o resultado encontrado no item B O ponto faz seu percurso em aceleração constante 27 Taxa de variação Em geral quando uma grandeza y depende de uma outra grandeza x y fx definese a taxa de variação média da grandeza y relativamente a uma variação x de x como sendo Δy Δx onde y é a correspondente variação de y ou seja y fx x fx fazendo x tender a 0 obtémse a taxa de variação em x Algumas taxas de variação possuem nomes especiais Algumas inclusive já são nossas conhecidas Taxa de variação da função horária chamada velocidade escalar Taxa de variação da função velocidade chamada aceleração escalar Taxa de variação da massa chamada densidade linear Taxa de variação do volume de um líquido despejado num determinado tempo chamada vazão Neste caso o volume do líquido é uma função do tempo Exemplo 12 Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado determine A A variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25 a 30 m Sejam A a área do quadrado e x seu lado Sabemos que A x2 A variação média de A em relação a x quando x varia de 25 m a 3 m é dada por dA dx A3 𝐴25 3 25 9 625 05 275 05 55 Portanto a área do quadrado varia 55 m2 quando o comprimento do lado varia de 25m para 30 m B A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por dA dx quando x 4 ou seja pelo valor Ax para x 4 Como Ax 2x quando x 4 A4 8 Portanto quando x 4m a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 para cada metro que varia no comprimento do lado Odete Amanda UCSal 20242 Exemplo 13 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia é dado aproximadamente por ft 64t t3 3 A Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia o 5º dia corresponde à variação de t de 4 para 5 O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o quinto dia será dado então por f5 f4 Logo f5 f4 64t t3 3 64t t3 3 320 53 3 256 43 3 320 125 3 256 64 3 64 61 3 131 3 B Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias E após 8 dias A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função ft em relação a t Portanto para um tempo t qualquer essa taxa é dada por f t 64 t2 Assim no tempo t 4 temos f 4 64 42 64 16 48 Ou seja após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 48 pessoas por dia No tempo t 4 temos f 8 64 64 64 64 0 28 Derivadas de ordem superior Derivadas sucessivas Ao derivarse uma função de uma variável independente na maioria das vezes obtémse como resultado uma nova função desta variável ou então uma constante isto é se g x x d d f x f x y ou C1 x d d f x Assim essa nova função gx ou mesmo a constante C1 podem ser derivadas novamente em relação à variável independente isto é s x x d f x d x d f x d d x d x d d g x 2 2 ou 2 2 2 d g x d f x C d x d x ou 2 1 2 0 d f x dC d x d x A nova função sx da variável independente ou a constante C2 pode ser derivada novamente Na maioria das vezes obtémse como resultado uma nova função desta variável independente isto é r x x d f x d x d f x d d x d x d f x d d x d d x d x d g x d d x d x d d s x 3 3 2 2 ou 3 3 3 C x d f x d E assim sucessivamente as novas funções da variável independente ou as constantes Cn podem ser derivadas novamente obtendose como resultado novas funções desta variável isto é Odete Amanda UCSal 20242 x r x d f x d n n ou n n n C x d f x d ou 0 n n x d f x d se mesmo após obterse uma constante Cn como resultado prosseguiremse as derivações As derivadas sucessivas podem ser denotadas também como 𝑑𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 x f x d f x d 2 2 x f x d f x d 3 3 x f x f x d f x d IV n 4 4 4 x f x d f x d n n n Exemplo 14 Usando as fórmulas de derivação calcular as derivadas de 1 a e 2a ordem da função fx 2x3 3x2 no ponto 1 0 x Exemplo 15 Encontre todas as derivadas da função fx 3x3 2x2 5x 4 Exemplo 16 Considere uma partícula deslocandose sobre uma reta A sua posição num dado instante é dada por s st A velocidade média dessa partícula é dada pela taxa de variação da posição s de P em relação ao tempo Assim v ds dt E a variação média da velocidade no tempo dá a aceleração da partícula isto é a dv dt d dt ds dt d2s dt2 Portanto a aceleração é a derivada de 2a ordem de s em relação ao tempo Então de v st temse que a dv dt d dt st a st Sugestão de exercícios 11 a 20 BIBLIOGRAFIA Guidorizzi Hamilton Um Curso de Cálculo vol 1 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Munen Mustafá FoulisDavid Cálculo vol 1 Editora Guanabara Dois Leithold Louis Cálculo com Geometria Analítica vol 1 2a Edição Editora HARBRA Ltda Piskounov N Cálculo Diferencial e Integral I vol 1 Editora Lopes da Silva Steinbruch AlfredoWinterle Paulo Geometria Analítica 2a Edição Editora Makron Books Swookowski Earl Cálculo com Geometria Analítica vol 1 2a Edição Editora Makron Books Odete Amanda UCSal 20242 Exercícios 1 A Desenhe o gráfico de y x 1 B Existe algum ponto sobre o gráfico que não tenha reta tangente C Ache fx0 quando x0 1 e fx0 quando x0 1 D O que se pode dizer acerca de fx0 quando x0 1 2 Determine as constantes p e q em cada caso A fx px2 x 1 sendo f 1 9 B fx x2 px q sendo f 2 5 e f1 4 3 Determinar o que se pede A Equação geral da reta tangente à parábola y x 2 no ponto de abscissa 1 B Equação reduzida da reta tangente à parábola y 2x 2 3 no ponto de abscissa 2 C Equação geral da reta tangente à parábola y x 2 que corta o eixo dos x no ponto de abscissa 2 D Equação reduzida da reta r paralela à reta y 2 x 1 4 que é tangente à curva y x 4 Seja y fx uma curva dada A reta normal à curva fx num ponto x0 é a reta perpendicular à reta tangente à curva fx no ponto x0 A Encontre as equações geral e reduzida da reta normal à curva y 3x 2 no ponto 3 27 B Encontre a equação geral da reta normal à curva y 1 x no ponto x0 1 2 C Encontre a equação reduzida da reta normal à curva y x 2 2x 1 no ponto 3 4 5 Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada função dada no ponto indicado de abscissa x0 A fx 2x3 3x 1 x0 1 B fx x2 1x 1 x0 2 6 Determine as abscissas dos pontos do gráfico de fx x3 2x2 4x nos quais a reta tangente é A horizontal B paralela à reta 2y 8x 5 Lembretes Duas retas r e s são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular ou seja a r as Duas retas r e s são perpendiculares quando a r 1 as y ax b onde a é o coeficiente angular é a equação reduzida de uma reta e a equação geral de uma reta que que passa pelos pontos x y e x0 y0 é y yo ax xo Odete Amanda UCSal 20242 7Aplicando as regras e as propriedades da derivação derive as seguintes funções A fx 2x5 B fx 9x 4 C fx 3 5 x15 D fx 2x 1 2 E fx 1 x5 F fx 2x2x G fx xx 1 H fx xlnx 1 I fx tg x sen x J fx 3x2 1x3 3 K fx 3x2 2xx2 3x 5 L fx x7 5x6 3 3x5 5 x4 2x 3 M fx x 7 8 x N fx x a x a O fx x2 3x 1 x2 1 P fx cos x 1 sen x 8 Sendo y sen x determine A A equação da reta tangente à curva no ponto x0 π 2 B A equação das retas tangente e normal à curva no ponto x0 π 24 Se necessário use sen a sen b 2 sen a b 2 cos a b 2 9 Continue praticando A fx x4 15 B fx cos x 4 C fx sen3 2x D fx ln 3x E fx e3x F fx esen x G fx sen x2 1 H fx tg10 x2 3x I fx sen x x 3 K fx ln 2x 1 3x 1 J fx ln x2 1 L fx x2 cos 1 x M fx ex ln x N fx e x x1 O fx x 12 sen 1 x 1 P fx ex3 3x 3 Q fx x2 1 x2 4 R fx x3 3 x2 2 x 1 10Usando a regra de LHospital determine os seguintes limites A lim x 0 2x ex 1 B lim x 2 x2 x 6 x2 3x 2 C lim x 0 sen x x ex ex 2 D lim x ex 1 x3 4x E lim x ex 1 x3 4x F lim x x sen 1 x G lim x 0 1 x2 x 1 cos x 1 Odete Amanda UCSal 20242 11 Sabendo que no instante t a velocidade de um corpo é dada pela equação v 2t 16 determinar A a aceleração média no intervalo 0 4 Ba aceleração no instante t 3 12 Sabendo que no instante t o espaço percorrido por um móvel é dado pela equação v 2t2 2t 12 determinar A a velocidade média no intervalo 0 5 Ba velocidade no instante t 2 Interprete esse resultado 13 A Determinar a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25m para 3m B Determinar a taxa de variação instantânea da área de um quadrado em relação ao lado quando este mede 4m 14 Uma escada de 5m de altura está apoiada numa parede vertical Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 ms a que veloci dade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base se encontra a 4m da parede Nas questões 15 a 20 usando as fórmulas de derivação determinar 15 a derivada de 2a ordem das seguintes funções A fx 3 2x x2 em x0 0 B fx cos2x em x 0 0 16 a derivada genérica de 2 a ordem das seguintes funções A x ln3x 2 B fx sen3xcos2x 17 a derivada de 3a ordem das seguintes funções A fx e8x em x0 0 B fx x23 em x0 1 18 as derivadas de 1a e 2a ordem da função A x3 f x em x0 1 C s t lnt2 em t0 2 B y 3sen x 4 cos2 x 4 em x0 𝜋 19 a derivada de 2a ordem da função A fx 13 x 2 em x0 1 B fx 9 4x em x0 2 20 a derivada de 3a ordem da função A fx ex em x0 1 B fx 2x 38 em x0 1