Derivadas Parciais - Conceitos e Aplicações

82 Derivadas Parciais Para uma função fx de uma variável x não existe ambiguidade quando falamos da taxa de variação de fx com relação a x pois x está compelida a se mover ao longo do eixo x Essa situação se complica entretanto quando estudamos a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis Por exemplo o domínio D de uma função de duas variáveis fx y é um subconjunto do plano de forma que se a b for algum ponto do domínio de f então existem infinitas direções ao longo das quais podemos nos aproximar do ponto a b Figura 12 Podemos então perguntar qual é a taxa de variação de f no ponto a b ao longo de alguma dessas direções Não lidaremos com esse problema geral Em vez disso vamos nos restringir ao estudo da taxa de variação da função fx y em um ponto a b ao longo de duas direções privilegiadas a saber a direção paralela ao eixo x e a direção paralela ao eixo y Seja y b onde b é uma constante de forma que fx b é uma função de única variável x Como a equação z fx y é a equação de uma superfície a equação z fx b é a equação da curva C na superfície formada pela interseção da superfície e do plano y b Figura 13 Como fx b é uma função da única variável x podemos calcular a derivada de f com relação a x no ponto x a Essa derivada obtida com a manutenção da variável y fixa em b e diferenciando a função resultante fx b com relação a x é chamada derivada parcial de primeira ordem de f com relação a x no ponto a b escrita 𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃 ou 𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃 ou 𝑓𝑎 𝑏 𐤉𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃 𐤉𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𐤃𝑎𝑏 𝐷𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 ⅆ𝑧ⅆ𝑥𝑎𝑏 ⅆ𝑓ⅆ𝑥𝑎 𝑏 𝑓𝑥𝑎 𝑏 lim ℎ0 𝑓𝑎 ℎ 𝑏 𝑓𝑎 𝑏ℎ desde que o limite exista A derivada parcial de primeira ordem de 𝑓 com relação a 𝑥 no ponto 𝑎 𝑏 mede tanto a inclinação da reta tangente T à curva C quanto a taxa de variação da função f na direção x quando x a e y b Também escrevemos ⅆ𝑓ⅆ𝑥 𝑎𝑏 𝑓𝑥𝑎 𝑏 Analogamente definimos a derivada parcial de primeira ordem de 𝑓 com relação a y no ponto a b denotada ⅆ𝑧ⅆ𝑦 𝑎 𝑏 ou ⅆ𝑓ⅆ𝑦 𝑎 𝑏 ou 𝑓𝑦𝑎 𝑏 como a derivada obtida que mantém a variável x fixa em a e diferencia a função resultante fa y com relação a y Isto é ⅆ𝑧 ⅆ𝑦 𝑎 𝑏 ⅆ𝑓ⅆ𝑦 𝑎 𝑏 𝑓𝑦𝑎 𝑏 lim 𝑘0 𝑓𝑎 𝑏 𝑘 𝑓𝑎 𝑏𝑘 desde que o limite exista A derivada parcial de primeira ordem de f com relação a y no ponto a b mede tanto a inclinação da reta tangente T à curva C obtida que mantém x constante Figura 14 quanto a taxa de variação da função f na direção y quando x a e y b Também escrevemos ⅆ𝑓 ⅆ𝑦 𝑎 𝑏 𝑓𝑦𝑎 𝑏 Antes de ver alguns exemplos vamos resumir essas definições Derivadas Parciais de Primeira Ordem de 𝑓𝑥 𝑦 Suponha que 𝑓𝑥 𝑦 seja uma função de duas variáveis x e y Então a derivada parcial de primeira ordem de 𝑓 com relação a 𝑥 no ponto 𝑥 𝑦 é ⅆ𝑓ⅆ𝑥 lim ℎ0 𝑓𝑥 ℎ 𝑦 𝑓𝑥 𝑦ℎ uma vez que o limite exista A derivada parcial de primeira ordem de 𝑓 com relação a y no ponto 𝑥 𝑦 é ⅆ𝑓ⅆ𝑦 lim 𝑘0 𝑓𝑥 𝑦 𝑘 𝑓𝑥 𝑦𝑘 desde que o limite exista