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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO Campus São Luís Disciplina Cálculo Diferencial Data Professora Ronal Quispe Caljaro Discente Matrícula Curso Semestre Tarefa extra Orientações gerais 1 Fazer as questões nos espaços em branco de forma clara e organizada 2 Escanear em formato pdf e envie no prazo estabelecido Questão 1 2 3 4 5 Total Valor 0 0 0 0 0 0 Pontuação 1 pontos Verdadeiro ou falso justifique a Se x2 16 então 4 x 4 b Se x2 16 então x 4 c Se x2 16 então x 4 d Se 0 x y então x2 y2 a Verdadeiro Se x2 16 então 16 x 16 o que implica 4 x 4 b Falso Se x2 16 então 4 x 4 A afirmação x 4 é incorreta porque x também pode estar entre 4 e 4 Por exemplo x 0 satisfaz x2 16 mas 0 não é menor ou igual a 4 c Falso Se x2 16 então x 4 ou x 4 A afirmação x 4 é apenas uma parte da solução Por exemplo x 5 satisfaz x2 16 mas 5 não é menor ou igual a 4 d Verdadeiro Se 0 x y então x e y são ambos positivos Multiplicando a desigualdade x y por x que é positivo obtemos x2 xy Multiplicando a desigualdade x y por y que é positivo obtemos xy y2 Portanto x2 xy y2 o que implica x2 y2 Cálculo Diferencial Tarefa extra 4 pontos Sejam fx 2 3x x 1 5 e gx 5 x 2x2 x 1 10 Encontrar a g fx b Dg f Page 3 a x2 1x 4 0 x 1x 1x 4 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 4 0 x 4 1 Para x 4 por exemplo x 5 negativo 2 Para 4 x 1 por exemplo x 2 positivo 3 Para 1 x 1 por exemplo x 0 negativo 4 Para x 1 por exemplo x 2 positivo Assim a solução é x 4 1 1 Cálculo Diferencial Tarefa extra 5 pontos Seja fx 2x 2 se 3 x 1 1 4x 12 se x 1 a Verifique que f tem inversa e encontre f 1x b Faça um esboço do gráfico da função inversa Page 4 Image 3 was not provided Image 4 was not provided Image 5 was not provided b x 4 2x 6 x 42 2x 62 x2 8x 16 4x2 24x 36 0 3x2 32x 20 x b b2 4ac 2a x 32 322 4320 23 x 32 1024 240 6 x 32 784 6 x 32 28 6 As duas raízes são x₁ 32 28 6 60 6 10 x₂ 32 28 6 4 6 2 3 Assim a solução é x 23 10 3 a 1 Para a primeira raiz 1 x² temos 1 x² 0 x² 1 1 x 1 2 Para a segunda raiz x² 1 temos x² 1 0 x² 1 x 1 ou x 1 Combinando ambas as condições vemos que a única forma de ambas as desigualdades serem satisfeitas é quando x 1 ou x 1 Portanto o domínio da função fx é 1 1 b 3 x 4 x 0 3 x 4 x 1 Se x 3 3 x 4 x 3 x 4 x 3 4 Esta desigualdade é falsa então não há solução para x 3 2 Se 3 x 4 3 x 4 x 3 x 4 x 2x 1 x 12 Então para este intervalo temos 12 x 4 3 Se x 4 3 x 4 x 3 x 4 x 3 4 Esta desigualdade é sempre verdadeira então todos os x 4 são soluções Combinando os resultados dos intervalos temos que o domínio da função fx é x 12 Portanto o domínio é 12 4 a g o fx gfx 5 2 3x 22 3x2 Agora vamos simplificar a expressão 5 2 3x 24 12x 9x2 3 3x 8 24x 18x2 18x2 27x 5 Portanto g o fx 18x2 27x 5 b 1 O domínio de fx que é dado como x 15 2 Os valores de fx que estão no domínio de gx que é 110 Primeiro vamos encontrar os valores de fx quando x 15 f1 2 31 2 3 5 f5 2 35 2 15 13 1 2 3x 10 1 1 2 3x 3x 2 1 3x 1 x 13 2 2 3x 10 3x 10 2 3x 8 x 83 Então 83 x 13 Agora precisamos considerar o domínio original de fx que é 15 Portanto o domínio de g o f é a interseção de 15 e 83 13 Como 83 267 a interseção é 1 13 Portanto o domínio de g o f é 1 13 5 a 1 Para 3 x 1 temos fx 2x 2 Esta é uma função linear com uma inclinação de 2 que é diferente de zero Portanto esta parte da função é injetora 2 Para x 1 temos fx 14 x 12 Para verificar se esta parte é injetora podemos analisar sua derivada A derivada de fx é fx 12 x 1 Para x 1 fx 0 o que significa que a função é estritamente crescente e portanto injetora No entanto em x 1 f1 0 o que indica que a função pode não ser injetora neste ponto Para encontrar a inversa f1x precisamos inverter cada parte da função separadamente 1 Para 3 x 1 temos fx 2x 2 Para encontrar a inversa trocamos x e y e resolvemos para y x 2y 2 2y x 2 y x 22 O domínio desta inversa é o intervalo de fx para 3 x 1 Quando x 3 fx 23 2 4 Quando x se aproxima de 1 fx se aproxima de 0 Portanto o domínio da inversa é 4 x 0 2 Para x 1 temos fx 14x 12 Trocamos x e y e resolvemos para y x 14y 12 4x y 12 y 1 4x y 1 4x y 1 2x Como x 1 fx 0 Portanto o domínio desta inversa é x 0 Como y 1 escolhemos a raiz positiva y 1 2x Portanto a função inversa é f¹x x22 4 x 0 1 2x x 0 b