Derivadas

Considerando a função fx 2x² 3x 4 resolva as questões 1 a 3 1 Determine a derivada da função em qualquer x₀ pertencente ao seu domínio usando o conceito inicial usando limite de derivada de uma função num ponto qualquer do seu domínio 2 A partir da sua resposta à questão 1 determine a equação da reta tangente à curva fx no ponto x₀ 3 3 A partir da sua resposta à questão 1 determine a equação da reta normal à curva no ponto x₀ 0 4 Usando as regras de derivação determine A A derivada da função fx sen x 3 no ponto 2π 3 B A derivada da função fx 2x² 3x³ 4 Considerando a função fx 2x² 3x 4 resolva as questões 1 a 3 1 Determine a derivada da função em qualquer x₀ pertencente ao seu domínio usando o conceito inicial usando limite de derivada de uma função num ponto qualquer do seu domínio O cálculo de derivada por meio de limite é dado por fx₀ lim x x₀ fx fx₀ x x₀ Sendo a função fx 2x² 3x 4 segue que fx₀ lim x x₀ 2x² 3x 4 2x₀² 3x₀ 4 x x₀ fx₀ lim x x₀ 2x² 3x 2x₀² 3x₀ x x₀ lim x x₀ 2x² x₀² 3x x₀ x x₀ fx₀ lim x x₀ 2x x₀x x₀ 3x x₀ x x₀ fx₀ lim x x₀ x x₀2x x₀ 3 x x₀ lim x x₀ 2x x₀ 3 fx₀ 2x₀ x₀ 3 22x₀ 3 4x₀ 3 Portanto a derivada da função em qualquer x₀ pertencente ao seu domínio é fx₀ 4x₀ 3 2 A partir da sua resposta à questão 1 determine a equação da reta tangente à curva fx no ponto x₀ 3 OBSERVAÇÃO Nessa e na próxima questão apresentarei duas maneiras de resolvêlas A primeira é baseada no exemplo que foi mandado E a segunda é feita a partir da resposta dada na questão 1 que é o que se pede Método 1 A equação da reta tangente é dada por y y₀ fx₀x x₀ Logo y₀ fx₀ f3 23² 33 4 29 9 4 18 5 13 Para fx₀ onde x₀ 3 temos f3 lim x 3 fx f3 x 3 lim x 3 2x² 3x 4 13 x 3 00 Como temse uma indeterminação do tipo 00 é necessário buscar manipulações que tornem possível o cálculo do limite Logo sabendo que 2x² 3x 9 pode ser escrito como 2x 3x 3 segue que f3 lim x 3 2x 3x 3 x 3 lim x 3 2x 3 23 3 6 3 9 Temos então y 13 9x 3 y 9x 27 13 y 9x 14 Portanto a equação da reta tangente é y 9x 14 Método 2 Como no item 1 já foi calculada a derivada para qualquer ponto x₀ é possível determinar f3 a partir disso A equação da reta tangente é dada por y y₀ fx₀x x₀ Logo y₀ fx₀ f3 23² 33 4 29 9 4 18 5 13 Para fx₀ onde x₀ 3 temos f3 43 3 12 3 9 Temos então y 13 9x 3 y 9x 27 13 y 9x 14 Portanto a equação da reta tangente é y 9x 14 A equação da reta normal ao ponto é dada por Y Yo 1fxo xxo onde Yo fxo Como xo0 vamos determinar Yo Yo f0 20² 30 4 4 Precisamos ainda determinar f0 f0 lim x0 2x²3x44x0 lim x0 2x²3xx 00 f0 lim x0 x2x3x lim x0 2x3 203 3 Sendo assim y 4 13x0 y x3 4 Portanto a equação da reta normal é y x3 4 Método 2 A equação da reta normal ao ponto é dada por Y Yo 1fxo xxo onde Yo fxo Como xo0 vamos determinar Yo Yo f0 20² 30 4 4 Precisamos ainda determinar f0 Da resposta da questão 1 temos que fxo 4xo 3 então sendo xo0 segue que f0 40 3 3 Sendo assim y 4 13x0 y x3 4 Portanto a equação da reta normal é y x3 4 Por meio de regras de derivação temse fx cos x 0 cos x Então no ponto f2π cos2π 1 A regra de derivação a ser utilizada é a regra do produto dada por gxhx gxhx gxhx Para a função fx 2x²3x³4 chamaremos gx 2x²3 e hx x³4 Dessa forma teremos fx 2x²3x³4 2x²3x³4 2x²3x³4 22 x²1 0x³4 2x²33x³1 0 4xx³4 2x²33x² 4x⁴ 16x 6x⁴ 9x² 10x⁴ 9x² 16x Portanto fx 10x⁴ 9x² 16x