Determine a Convergência da Série Pelo Teste da Integral

Aplicar Teste da integral para séries numéricas 3 Determine o intervalo de convergência da série de potências dada a n0 xnn1 b n0 xnn23 c n1 2n xnn2 d n1 n xn3n e n1 1n1 x2n12n1 f n0 x3n2n g n1 1n1 x1n n h n2 1n1 xn nln n2 Considere a série n0 pn n2 3 A convergência independe dos termos iniciais pois a soma ou subtração de um número finito não altera o comportamento da cauda portanto aplicase o teste da integral a partir de n 2 onde o denominador é positivo Definese para t 2 fpt pt t2 3 Para o teste da integral verificase continuidade positividade e monotonicidade em 2 Para 0 p 1 temse fpt 0 e fpt pt en p t2 3 2t pt t232 0 pois en p 0 e o segundo termo também é negativo Logo fp é decrescente em 2 e o teste da integral se aplica à série n2 pn n2 3 A integral associada é 2 pt t2 3 dt Quando 0 p 1 escrevese pt et lnp com lnp 0 Para t 2 vale 0 pt t2 3 pt 1 Assim 0 2 pt t2 3 dt 2 pt dt 2 et lnp dt et lnp lnp2 p2 lnp A integral converge portanto pelo teste da integral a série n2 pn n2 3 converge e concluise que a série original converge absolutamente para p 1 No caso limite p 1 temse f1t 1t2 3 contínua positiva e decrescente em 2 A integral associada é computável em forma exata ₂ dll² 3 123 lnl 3l 32 36 ln2 32 3 0760 Como a integral converge o teste da integral garante a convergência se n2 1n² 3 logo a série original converge para p 1 e também para p 1 neste último por convergência absoluta do mesmo teste aplicado a x 1 Para x 1 temse xl crescente e para l 2 xll² 3 xll² A integral de comparação diverge ₂ xll² dl e portanto ₂ xll² 3 dl Pelo critério integral a série correspondente diverge assim a série dada diverge para x 1 Em p 0 a série é finita pois p⁰ 1 e pⁿ 0 para n 1 resultando em 13 Conclusão por teste da integral n0 pⁿn² 3 converge para x 1 e diverge para x 1 sendo que para p 1 ₂ dll² 3 36 ln2 32 3 0760