Aplicação das Derivadas Parciais

UniEVANGÉLICA Profª Cláudia Gomes Lista Aplicação das Derivadas Parciais 1Sabendo que a função 4 ² ² y x T x y representa a temperatura nos pontos de uma placa metálica Esboçe o gráfico do domínio da função Tx y 2 3 Se S for a área da superfície em metros quadrados do corpo de uma pessoa então a fórmula que da um valor aproximado para S será 07 04 2 H S W onde W kg e H m são o peso e altura da pessoa Se W 70 kg e H 18 m ache H S e W S 4 O potencial elétrico no plano em qualquer ponto xy é dado por cos2 2 y e x y V x onde V é dado em volts e x e y em cm Determine o vetor gradiente de V em relação à distância em 0 4 Vetor gradiente é a primeira derivada parcial no ponto dado 5 6 7 O potencial elétrico no ponto xyz é dado por y ysen x xy V x y onde V é dado em volts e x y e z em cm Calcule o vetor gradiente de V em relação à distância em 0 8 A energia consumida em um resistor elétrico é dada por R V P 2 watts Calcule a taxa de variação em relação à resistência para V 120 V e R 10 9 A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus é 2 2 4 3 2 54 y x T Se a distância for medida em centímetros determine a taxa de variação derivadas parciais de 1ª ordem da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y respectivamente no ponto 3 1 10 A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T pressão P e volume V é PV mRT onde R é a constante do gás Utilizando as derivadas parciais de primeira ordem a expressão P T T V V P será igual a a 0 b 1 c 2 d 1 e 2 11 Dada a função ²cos xy z x determine o vetor gradiente no ponto 1 12 Quando materiais tóxicos são despejados ou manipulados num aterro podem ser liberadas partículas contaminadas para a atmosfera circundante Experimentalmente a emissão destas partículas pode ser modelada pela função onde E é a emissão quantidade de partículas liberadas na atmosfera por tonelada de solo manipulado V é a velocidade média do vento mphmetros por hora M é a umidade contida no material dada em porcentagem e K é uma constante que depende do tamanho das partículas Calcule a taxa de variação da emissão para uma partícula tal que K 02 V 10 mph e M 13 em relação a ao vento b à umidade 13 Seja u ux y uma função duas vezes diferenciável num conjunto aberto do plano A equação de Laplace é A equação de Laplace está associada a fenômenos estacionários isto é independentes do tempo como por exemplo potenciais eletrostáticos As soluções desta equação são chamadas funções harmônicas Prove que a função ye sen x u x y 14 Uma corda vibrante de um violão originalmente em repouso ao longo do eixo x é mostrado na Figura UniEVANGÉLICA Profª Cláudia Gomes Lista Aplicação das Derivadas Parciais abaixo Considere x a distancia em metros a partir da extremidade esquerda da corda No instante de tempo t segundos o ponto x foi deslocado verticalmente de y f x t metros a partir de sua posição de repouso onde 2765 0 003 t x sen sen f x t y Determine as derivadas parciais de primeira ordem 15 A função cos 50 5 t x h x t descreve uma onde O valor de hx t fornece a profundidade da água em cm a uma distancia x metros de um ponto fixo no instante de tempo t segundos Calcule o valor das primeiras derivadas parciais no ponto 2 5 16 A velocidade da propagação da onda sonora no oceano é uma função da temperatura da salinidade e da pressão Foi modelada como onde C é a velocidade do som em metros por segundo T é a temperatura em graus Celsius S é a salinidade concentração de sal em partes por milhar o que significa o número de gramas de sólidos dissolvidos por 1 000 g de água e D é a profundidade abaixo da superfície do oceano em metros Calcule as derivadas parciais quando T 10 ºC S 35 partes por milhar e D 100 m Explique o significado físico dessas derivadas parciais Respostas 3 6 4207 H 009435 S W S 4 0 2 8 144 24 R P V P 9 Tx 4 Ty 8 10 d 11 2 0 12 a 458106 b 38 106 14 2765 0 003 t x sen sen f x t y 15 0 7568024 52 0 3784012 52 t h x h 4 vxy vx vy vx 2 e2x cos2y vy 2 e2x sen2y vxy 2 e2x cos2y 2 e2x sen2y v0 π4 0 2 5 Txy 60 1 x2 y2 1 Tx 60 2x 1 1 x2 y22 120x 1 x2 y22 Ty 60 2y 1 1 x2 y22 120y 1 x2 y22 a Tx 21 1202 1 22 122 240 36 20 3 b Ty 21 1201 1 22 122 120 36 10 3 6 Km 12 v2 Kv m v 2 Kv2 m Km 2 Kv2 12 v2 m K 7 vx y y cosx y vx π 0 0 vy x senx y y cosx y vy π 0 π vπ 0 0 π 8 PR v2 R2 vR2 PR 120 10 120102 144 WΩ 9 Direção x Tx 43 x Tx 31 4 Direção y Ty 8y Ty 31 8 10 P mRTV PV mRT V2 V mRTP VT mRP T PVmR TP VmR PV VT TP mRTV2 mRP VmR mRTPV PVPV 1 d 11 zx 2 x cosxy x2 y senxy 2 x cosxy y x2 senxy zx 1 π 2 1 cosπ π 12 sen1 π 2 zy x3 senxy zy 1 π 13 sen1 π 0 z 1 π 2 0 12 a Ev 32 x 104 KM14 13 v03 32 x 104021314 13 1003 458 x 106 1 x2 y2 4 0 x2 y2 4 Dom fxy xy IR2 x2 y2 4 Região hachurada incluindo os pontos pertencentes à circunferência 2 1R R2 R3 R1 R3 R1 R2 R1 R2 R3 R R1 R2 R3 R2 R3 R1 R3 R1 R2 RR1 R2 R3 R2 R3 R1 R3 R1 R2 R1 R2 R3 R3 R2 R2 R3 R1 R3 R1 R22 R2 R32 R1 R22 R3 R1 R2 R32 R1 R2 R32 R12 R22 R3 R2 R3 R1 R3 R1 R22 R2 R3 R2 R3 R1 R3 R1 R22 R2 R3 R2 R3 11 R1R2 R1R3 RR1 1 1 R1R2 R1R3 3 Sw 2 H07 04 W06 08 H07 W06 08 1807 7006 Sw 944 x 102 m2kg SH 2 w04 07 H03 14 W04 H03 14 7004 1803 SH 321 x 102 m cD 0016 A velocidade do som aumenta em 002 ms ao aumentar a profundidade em 1 m dado T e S constantes b EM 3210⁴K V¹³ 14M²⁴ 3210⁴0210¹³1413²⁴ 37910⁶ 13 ux cosxeʸ ²ux² senxeʸ uy senxeʸ ²uy² senxeʸ ²ux² ²uy² senxeʸ senxeʸ 0 14 fx 0003π cosπx sen2765t ft 8295 senπx cos2765t 15 hx 05 sen 05x t hx z5 05 sen1 5 0378 ht sen05xt ht z5 sen1 5 0757 16 cT 46 011T 8710⁴T² 035 0015 cT 46 01110 8710⁴10² 035 00135 3587 A velocidade do som aumenta em 36 ms ao aumentar a temperatura em 1C dado D e S constantes cS 134 001T cS 134 00110 124 A velocidade do som aumenta em 12 ms ao aumentar a salinidade em 1 ppm dado T e D constantes