Distribucion Normal

c) Entre Z = -1.4 y Z = -2.4 (véase figura 3.11).\nA1 para Z = -1.4 = -0.4192\nA2 para Z = -2.4 = -0.4918\nA = A2 - A1 = 0.0726\n\nFIGURA 3.11\n\nd) A la izquierda de Z = -1.75 (véase figura 3.12).\nA para Z = -1.75 = 0.4599\nA = 0.5000 - 0.4599\n= 0.0401\n\nFIGURA 3.12\n\n5. Problemas tipo\n\nLa distribución normal es extraordinariamente importante desde el punto de vista teórico como práctico. Gran parte del desarrollo estadístico aplica consideraciones sobre la normalización de datos.\n\nAl respecto se presentan los siguientes tipos de problemas:\n\na) Determinar la probabilidad de que la variable X se encuentre entre dos valores predefinidos.\n\nPara este caso debe conocerse la media y la desviación típica de la distribución. Se tipifican los valores extremos dados y se procede a calcular el área bajo la curva, limitada por estos valores. Esta área, expresada en términos porcentuales, es la probabilidad pedida.\n Ejemplo\nCalcular la probabilidad de que X se encuentre entre 25 y 35, siendo la media 28 y la desviación típica 4.\n\nLos valores registrados entre 25 y 35 pueden realmente tener valores entre 25.4 y 35.4 suponiendo una aproximación de 1.\n\nTipificando estos valores:\n\n25.4 - 28 = z1\n4\n-2.6 / 4 = z1\nz1 = 0.65\n\n35.4 - 28 = z2\n4\n7.4 / 4 = z2\nz2 = 1.85\n\nP(25 < X < 35)\n\nFIGURA 3.13\n\nLa figura 3.13 muestra los valores de X y su respectiva tipificación.\n\nLa probabilidad pedida es el área sombreada:\n\nÁrea para Z = -0.65 0.2422\nÁrea para Z = 1.85 0.4678\nÁrea total 0.7100\n\nSignifica: p(25 < X < 35) = 71.00%\n\nb) Determinar la cantidad de elementos que se encontraran en un intervalo fijado.\n\nConocido el valor del área sombreada, comprendida entre los límites indicados, se calcula a cuántos elementos del conjunto corresponde este porcentaje. e) Respecto a estadígrafos:\n\nLa media, la varianza y la desviación típica se calculan a través de un procedimiento igual al empleado para la distribución binomial:\n\nmedia: μ = Np\nvarianza: σ² = Npq\ndesviación típica: σ = √Npq\n\nN: tamaño de la muestra\np: probabilidad de éxito en un solo ensayo\nq: probabilidad de fallo en un solo ensayo\n\nLa desviación media se calcula mediante la relación matemática:\nM - D = σ√2/n = 0.7979 σ\n\nDeterminar el área bajo la curva normal:\na) Entre z1 = 1 y z2 = -1 (véase figura 3.9).\nA1 = 0.3413\nA1 = A3\nA = 0.6826\n\nFIGURA 3.9\n\nb) Entre z1 = 1 y z2 = 2.4 (véase figura 3.10).\nA1 para z = 1 = 0.3413\nA2 para z = 2.4 = 0.4918\nA = A2 - A1 = 0.1505\n\nFIGURA 3.10 Ejemplo\nLa estatura media de un grupo de 300 estudiantes es 165 cm y su desviación típica 12 cm. Suponiendo que las estaturas se distribuyen normalmente, calcular la cantidad de estudiantes cuyas estaturas están entre 140 y 160 cm.\n\nz1 = 139.5 - 165 = -25.5 = -2.12\n12\n\nz2 = 160.5 - 165 = -4.5 = -0.38\n12\n\nLa figura 3.14 ilustra esta situación.\n\nP{140 < X < 160} \n-2.12 -0.38\n140 160 165\n\nFIGURA 3.14\n\nArea para z1 = -2.12 es: 0.4830\nArea para z2 = -0.38 es: 0.1480\nArea total = 0.3350 = 33.50%\n\nLa cantidad de estudiantes cuyas estaturas se encuentran en este intervalo se halla mediante la siguiente regla de tres:\n\n300 = 100%\nX = 100.50 = 100 estudiantes\nX = 33.50%\n\nc) Hallar el rango percentil de un dato.\nEl rango percentil de un dato X corresponde al área porcentual localizada a la izquierda del valor tipificado Z de X. FIGURA 3.15\n\nPara precisar el rango percentil se tipifica el dato y se construye y analiza la curva correspondiente.\n\nEjemplo\nHallar los rangos percentiles de los elementos de una población que sigue una distribución normal y tiene los siguientes puntajes:\n\na1 1.8 y b1 -0.85\n\nFIGURA 3.16\n\nFIGURA 3.17 a) El área para Z = 1.8 es 0.4641\nArea a la izquierda de Z = 0.5000 + 0.4641 = 0.9641\nSignifica que el rango percentil para Z = 1.8 es 96.41%\n\nb) El área para Z = -0.85 es 0.3023\nArea a la izquierda de Z = 0.5000 - 0.3023 = 0.1977\nSignifica que el rango percentil para Z = -0.85 es 19.77%\n\nd) Conocer el puntaje Z de un rango percentil dado.\nConocido el percentil, se ubica en la tabla que aparece al final de la presente unidad, el valor de Z correspondiente a esta área.\n\nSi el valor del área no coincide exactamente con un valor de la tabla, se toma el más próximo.\n\nEl signo de la variante Z depende de la posición del área o percentil dado respecto al eje vertical.\n\nEjemplo\nCalcular el puntaje Z para un rango percentil de 40. Un rango percentil de 40 significa que el área a la izquierda de Z = 2 es el 40%. La figura 3.18 nos indica que debemos calcular Z para un área del 10%. En la tabla de valores de áreas por Z leemos un área de 0.1026 como la más próxima a 10. El valor Z correspondiente es 0.26.\n\nEjemplo\nHallar el puntaje Z para un rango percentil de 72. La figura 3.19 indica que para el rango percentil de 72 corresponde un valor Z igual que para el 22% del área. La tabla nos da un área de 0.2224 como la más acertada. El puntaje Z correspondiente es 0.59. APENDICE I\nAreas\nbajo la\ncurva normal\ntipificada\nde 0 a z\n\n0.0000\t0.0400\t0.008\t0.1200\t0.0160\t0.199\t0.0239\t0.0279\t0.0319\t0.0359\n... (continued table data) 750 ml\n75 ENFERMOS\nμ = 755\nσ = 8\n\nMANUALMENTE\n\nZ = (X - μ) / σ\nZ = (750 - 755) / 8 = -0.625\n\nCALC\nMBNU - STAT - DIST - NORM\n(...) Ejemplo 5.\n\\mu = 1103\n\\sigma = 8\n\na) 100 - 150\n\n\\displaystyle z = \\frac{x - \\mu}{\\sigma}\n\n\\text{MANUALMENTE:}\n\nZ_1 = \\frac{80 - 1103}{8} = -125 = 0.9934 - P\\\nZ_2 = \\frac{85 - 1103}{8} = -127.5 = 0.9939 - P\nP_0 = P_1 + P_2 = 0.9982\n\n\\text{CALCULADORA}\n\\text{MEAN -> STAT -> DIST -> NORMAL}\n\\text{Data: Variable}\n\\text{Lower: 100}\n\\text{Upper: 150}\n\\text{S: 8}\n\\text{M: 110}\n\nP = 0.888\nZ_1 = -1.15\nZ_2 = 2.5\n\n\\text{b) } z = \\frac{x - \\mu}{\\sigma}\n\nZ = 1.505\n\\text{Para el mean, el 2% para más -> 92% para menos}\n\n\\displaystyle z = \\frac{x - \\mu}{\\sigma}\n\nx = 410 + 1.645(8) = 421.2 = 121.2\n\nC = 18 = 250\n\nZ = \\frac{X - 110}{8} -> P = 0.2397\n\nP = P_{z1} = 0.6879\ny\\text{ con e: 9.00}\n\nPara continuar: 0.2661 x 250 = 61.5\n\\text{Las penas pueden ser 66 el 61}\n\n\\text{Data: Variable}\n\\text{Total: 2/f}\n\\text{Area: 0.972}\n\\text{S: 8}\n\nX_{MV} = 121.24 = 121\n\nP_{0.2639} = 0.266\nZ_1 = -0.463\nZ_{2} = -0.622