Distribuições Binomial e de Poisson: Exemplos e Cálculos de Probabilidade

Distribuição Binomial fx P 𝑋 𝑥 𝐶𝑛𝑥 𝑝𝑥 𝑞𝑛𝑥 Exemplo Num determinado processo de fabricação 10 das peças são consideradas defeituosas As peças são acondicionadas com 5 unidades cada uma Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 1 05905 03280 00815 𝑃 𝑋 0 𝐶5 0 0100 0905 05905 𝑃 𝑋 1 𝐶5 1 0101 0904 03280 𝐶𝑛𝑥 Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço Tal processo chamado de processo de Poisson é similar ao processo de Bernoulli exceto que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou observações fixadas Tal como no caso do processo de Bernoulli supõese que os eventos são independentes e que o processo é estacionário Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos em um processo de Poisson o número médio de sucessos para a específica dimensão de tempo ou espaço de interesse Este número médio é geralmente representado por λ letra grega lambda ou por μ Exemplo Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de λ 2 navioshora e que essa razão seja bem aproximada por um sucesso de Poisson Observando o processo durante um período de meia hora t ½ determine a probabilidade de chegarem 3 navios 𝜇𝑥 𝜆𝑡 2 1 2 1 𝑃𝑋 3 𝑒113 3 0061 Aproximação da Binomial à Poisson A vantagem da aproximação reside no fato de que a precisão sofre muito pouco e que o trabalho necessário é consideravelmente menor Para usar a aproximação basta determinar a média ou o valor esperado da distribuição binomial Essa média é então considerada como a média do processo para a distribuição de Poisson Ou seja a média λ do processo é igual à média binomial np Exemplo Em uma certa fábrica os acidentes acontecem com pouca frequência Sabese que a probabilidade de ocorrer um acidente em um determinado dia é de 0005 e que os acidentes são independentes entre si Qual é a probabilidade de que em um dia de qualquer período de 400 dias ocorre um acidente 𝑃𝑋 1 𝑒2 21 1 00271 𝜆 𝑛 𝑝 400 0005 2 Distribuição de Probabilidade Normal ou Gaussiana Definição A va contínua X segue uma distribuição Normal com média 𝜇 e desviopadrão 𝜎2 ie com notação 𝑋 𝑁𝜇 𝜎2 se a sua função densidade de probabilidade é 𝑓 𝑥 𝜇 𝜎 1 𝜎 2𝛱 𝑒1 2 𝑋𝜇 𝜎 2 𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝜇 𝑒 0 𝜎 É contínua unimodal tem a forma de um sino cujas extremidades de suas caudas são ditas assintóticas Isto significa que teoricamente os valores assumidos para x podem variar de a Apresentase simétrica em relação à média µ e portanto a média a mediana e a moda são coincidentes Possui dois pontos de inflexão que correspondem aos valores de x situados à distância de um desvio padrão σ acima e abaixo da média A área total da curva delimitada pela linha base é igual a 1 ou 100 e abrange o total dos dados da distribuição 𝐸𝑋 𝜇 𝑒 𝑉𝐴𝑅𝑋 𝜎2 Características da Curva Normal Áreas sob a Curva Normal Para o cálculo das probabilidades surgem dois grandes problemas Primeiro para a integração de fx pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries Segundo seria a elaboração de um a tabela de probabilidades pois fx depende de dois parâmetros média e desviopadrão fato que acarretaria um grande trabalho para tabelar essas probabilidades considerandose as várias combinações 𝜇 e 𝜎 Esses problemas podem ser solucionados por meio de uma mudança de variável obtendose assim a distribuição normal padronizada ou reduzida 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 න 𝑥1 𝑥2 1 𝜎 2𝛱 𝑒1 2 𝑋𝜇 𝜎 2 𝑑𝑥 Curva Normal Padrão ou Reduzida 𝑍 𝑋𝜇 𝜎 onde Z valor da variável X expresso em desviospadrões 𝐸 𝑍 𝐸 𝑋 𝜇 𝜎 1 𝜎 𝐸 𝑋 𝜇 1 𝜎 𝐸 𝑋 𝐸 𝜇 1 𝜎 𝜇 𝜇 0 𝑉𝐴𝑅 𝑍 𝑉𝐴𝑅 𝑋 𝜇 𝜎 1 𝜎2 𝑉𝐴𝑅 𝑋 𝜇 1 𝜎2 𝑉𝐴𝑅 𝑋 𝜎2 𝜎2 1 Características Média Variância Esses problemas podem ser solucionados por meio de uma mudança de variável obtendose assim a distribuição normal padronizada ou reduzida Z Os valores da variável Z são obtidos em função de X pela transformação linear Curva Normal Padrão ou Reduzida 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 න 𝑥1 𝑥2 1 𝜎 2𝛱 𝑒1 2 𝑋𝜇 𝜎 2 𝑑𝑥 𝑃 𝑧1 𝑍 𝑧2 න 𝑧1 𝑧2 1 2𝛱 𝑒1 2𝑧2 𝑑𝑧 𝑍 𝑧1 0 𝑧2 f z 1 2𝛱 𝑒1 2𝑧2 𝑧 Quando 𝜇 0 e 𝜎2 1 temos uma distribuição padrão ou reduzida ou N01 Para essa a função densidade reduzse a Uso da Tabela da Curva Normal Padrão Seja x taxa de lucro µ 20 σ 4 P 20 X 26 𝑍1 𝑋 𝜇 𝜎 26 20 4 6 4 15 𝑃20 𝑋 26 𝑃0 𝑍 15 04332 04332 Seja x tempo min µ 80 σ 20 P X 120 𝑃 𝑋 26 𝑃 𝑍 20 050 04772 00228 𝑍1 120 80 20 20 04772 Seja x tempo min µ 45 σ 20 P X 10 𝑃 𝑋 10 𝑃 𝑍 175 050 04599 00401 𝑍1 10 45 20 175 04599 Seja x preço R µ 180 σ 25 P 190 X 200 𝑍1 190 180 25 04 𝑍1 200 180 25 08 𝑃 190 𝑋 200 𝑃 04 𝑍 08 02881 01554 01327 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 040 As taxas de lucros um conjunto de 500 empresas se distribuem normalmente com média 16 e desviopadrão de 2 Qual a taxa mínima de lucro que deve ter uma empresa para pertencer ao grupo composto pelas 50 empresas mais rentáveis 𝑝 50 500 010 𝑋 𝜇 𝑍 𝜎 𝑋 16 128 2 1856 Observação A área menor ou igual a 040 tabelado é 03997 que corresponde a um Z 128 Função de Distribuição Acumulada da Normal A fda Fy de uma va normal X No caso específico da normal padrão utilizamos a seguinte notação que é universal Φ𝑦 න 𝑦 𝜙 𝑧 𝑑𝑧 න 𝑦 1 2𝛱 𝑒1 2𝑧2𝑑𝑧 𝐹 𝑦 න 𝑦 1 𝜎 2𝛱 𝑒1 2 𝑋𝜇 𝜎 2 𝑑𝑥 Uso da Tabela da Curva Normal Padrão Acumulada Seja x taxa de lucro µ 20 σ 4 P 20 X 26 𝑍1 𝑋 𝜇 𝜎 26 20 4 6 4 15 𝑃 20 𝑋 26 𝑃 0 𝑍 15 Φ 15 Φ 0 09332 050 04332 04332 Seja x tempo min µ 80 σ 20 P X 120 𝑃 𝑋 26 𝑃 𝑍 20 1 Φ 20 1 09772 00228 𝑍1 120 80 20 20 04772 𝑃 𝑋 𝑥0 𝑒𝜆𝑥 𝑃 𝑋 𝑥0 1 𝑒𝜆𝑥 Suponha que em determinado período do dia o tempo médio de atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial determinar a probabilidade de um cliente a esperar mais do que 5 minutos 𝑃 𝑋 5 𝑒02 5 03679 b esperar menos do que 4 minutos 𝑃 𝑋 4 1 𝑒024 05507 c esperar entre 3 e 8 minutos P3 X 8 PX 3 PX 8 e023 e028 05488 02019 03469