Lista de Exercícios Estatística - Distribuição de Pareto, Estimadores e Verossimilhança

Estatística Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 3 Questão 1 Uma variável aleatória segue a distribuição de Pareto de parâmetro β1 com densidade dada por fxβ2βxβ1 x2 0 x2 a Determine a média populacional em função do parâmetro β b Seja X1Xn uma amostra desta variável aleatória determine o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro β c Seja X1Xn uma amostra desta variável aleatória determine o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro β Questão 2 Seja X1X2Xn uma amostra aleatória simples de um universo X de média μ e variância σ2 Considere os seguintes estimadores da média μ μ13n2 Xn 2n2 Xn1 μ21n1 i1n Xi μ3μ1μ2 a Calcular o viés de μ1 e μ2 b Verificar se μ3 é consistente para μ c Você usaria X ou μ3 como estimador da média populacional Questão 3 Suponha que X1XN é a amostra de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal dada por cuja fdp é dada por fxμσ1σ2π exp xμ22σ2 a Determine a função log de verossimilhança b Determine o estimador de máxima verossimilhança para os parâmetros μ e σ Questão 4 Sejam θ1 e θ2 estimadores de um parâmetro θ Responda Verdadeiro ou Falso às afirmações abaixo justificando sua resposta Respostas sem justificativa correta serão desconsideradas a Se θ1 é assintoticamente nãoviesado então é consistente b Se θ1 e θ2 são lineares nãoviesados e Varθ1Varθ2 logo θ1 é BLUE c Se θ1 minimiza o MSEθ1 então é nãoviesado d Se θ1 e θ2 são nãoviesados com a mesma variância então um estimador formado pela média aritmética entre os dois será nãoviesado e terá a metade da variância de cada um deles Questão 5 Seja X1Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ e variância σ2 Considere o estimador da variância dado por σ21N i1N Xi X² Página 1 Estatística Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 3 Aonde X i1N Xi N a Mostre que este estimador é viesado para σ2 b Mostre que este estimador é assintoticamente nãoviesado para σ2 Questão 6 Considere que X i1N Xi N Responda Verdadeiro ou Falso para as afirmações a seguir e justifique sua resposta a Se um estimador θ converge em probabilidade para uma constante T dizse que ele é consistente b O Teorema Central do Limite nos diz que a distribuição de uma média amostral devidamente padronizada se assemelha a uma distribuição normal à medida que a amostra cresce o que nos permite fazer inferência causal assintoticamente sem fazer hipóteses fortes sobre a distribuição dos dados c Suponha que X1Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição de Bernoulli com parâmetro p Então pela Lei dos Grandes Números à medida que n X converge para p d Suponha que X1Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme no intervalo 01 Seja X Pelo Teorema Central do Limite à medida que n n X 05112 aproximase de uma distribuição normal padrão e A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por fx 1α para x 0α Considerandose uma amostra aleatória de tamanho n X1Xn o estimador de Máxima Verossimilhança de α será igual ao Mínimo de X1Xn f Sejam X1Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ e variância σ2 Então X é um estimador consistente para μ g Sejam X1Xn variáveis aleatórias com Distribuição de Poisson com parâmetro λ Podemos dizer com base na Lei dos Grandes Números que X se aproxima de λ a medida que n Questão 7 Assuma que temos uma amostra aleatória Yi Xii1n a qual segue o seguinte modelo YiαβXiei aonde eiN0σ2 Resolva o problema da minimização da soma dos quadrados dos resíduos cuja solução é o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários apresentado em sala Questão 8 Suponha que X1XN é a amostra de uma variável aleatória que segue uma distribuição de Lindley com fdp dada por fyθ²1θ1yeθy com parâmetro dado por θ0 e y0 Esta distribuição pode ser utilizada para modelar o tempo de espera dos clientes em um banco por exemplo Determine o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro Exercícios Práticos Questão 9 Para testar a validade empírica do TLC lançamos n dados Suponha que uma variável aleatória X descreva a proporção de 6s tirados nesse lançamento Essa variável tem média p16 e variância p1pn Página 2 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 3 a Calcule Z que siga uma normal padrao de acordo com o TLC b Assuma que a quantidade de dados lancados seja n 1000 e que fazemos o lancamento de cada dado por 10000 vezes Faca uma simulacao do lancamento dos dados e calcule as amostras de tamanho n de X e Z c Faca o histograma da amostra de Z Vocˆe acha que o resultado e condizente com o TLC Questao 10 Na base de dados SMarket temos observacoes do SP 500 Index um ındice ponderado da capitalizacao de mercado das 500 maiores empresas americanas de capital aberto Alem do ındice no dia t descrito pela coluna Today cada coluna da base possui lags do ındice A coluna Lag1 por exemplo descreve o ındice no dia anterior t 1 a coluna Lag2 descreve o ındice em dois dias anteriores t 2 e assim por diante Tambem temos a coluna Direction que diz se o ındice e positivo Up ou se ele e negativo Down na data presente Queremos usar os valores diarios de volume e os ultimos 5 dias para prever se o ındice sera positivo ou negativo no proximo perıodo Faca um modelo logit que correlaciona Direction com Volume e os 5 Lags do ındice Qual e a media da chance do ındice ser positivo no proximo perıodo Questao 11 A base de dados mroz possui uma variavel binaria que indica a participacao de mulheres no mercado de trabalho e outras informacoes Queremos explicar a participacao das mulheres no mercado de trabalho inlf usando as variaveis renda familiar nwifeinc anos de escolaridade educ experiˆencia exper idade age e quantidade de filhos com menos de 6 anos kidslt6 a Faca a estimacao do modelo linear por OLS da relacao entre a partipacao da mulher no mercado de trabalho e as variaveis descritas b Faca a estimacao do modelo probit por MLE da relacao entre a partipacao da mulher no mercado de trabalho e as variaveis descritas c Quais sao os efeitos parciais medios da renda familiar nwifeinc na participacao da mulher no mercado de trabalho inlf no modelo linear e no modelo probit Pagina 3 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 1 1 Exercıcios Teoricos Questao 1 Uma empresa de credito precisa saber como a inadimplˆencia esta distribuıda entre seus clientes Sabese que 10 pertencem a classe A e 5 destes estao inadimplentes 20 pertencem a classe B e destes 8 estao inadimplentes 30 pertencem a classe C e destes 10 estao inadimplentes 40 pertencem a classe D e destes 2 estao inadimplentes Um cliente e escolhido aleatoriamente e nao esta inadimplente Qual a probabilidade de ele pertencer a cada uma das classes Questao 2 Em uma regiao 25 da populacao sao pobres As mulheres sao sobrerrepresentadas neste grupo pois constituem 75 dos pobres mas 50 da populacao Calcule a proporcao de pobres entre as mulheres Questao 3 Suponha que uma companhia administre trˆes fundos mutuos Denote por A B e C o evento associado a um acrescimo de valor do fundo mutuo A B ou C em um determinado dia respectivamente PA 0 55 PB 0 60 PC 0 45 PA B 0 82 PA C 0 7525 PB C 0 78 PB CA 0 2 Responda Verdadeiro ou Falso sempre justificando sua resposta a Os eventos A e B sao independentes b A probabilidade dos fundos A e B aumentarem dado que C aumentou e 033 c A Probabilidade dos fundos A e B aumentarem de valor e 033 d Os eventos A B e C sao independentes Questao 4 Demonstre que Se P AB P A entao P BA P B Questao 5 Sejam os A e B eventos com P A 38 P B 12 e P A B 14 encontre P Ac Bc Questao 6 Vocˆe tem trˆes cartoes magneticos de bancos diferentes A B e C Nesta ultima semana vocˆe usou os trˆes cartoes cada um deles uma vez para retirar dinheiro em caixas eletrˆonicos e descobriu que uma das notas sacada durante este perıodo era falsa O banco A diz que a probabilidade de uma nota falsa dado que o dinheiro foi retirado de um de seus caixas eletrˆonicos e de 02 Os bancos B e C afirmam que estas probabilidades para os seus caixas eletrˆonicos sao respectivamente 01 e 005 Determine a A probabilidade da nota falsa ter vindo do caixa eletrˆonico do banco A b A probabilidade da nota falsa ter vindo do caixa eletrˆonico do banco B c A probabilidade da nota falsa ter vindo do caixa eletrˆonico do banco C Questao 7 Suponha que 3 moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofre no qual ja continha 9 moedas comuns sendo assim o cofre ficou contendo um total de 12 moedas Vamos retirar ao acaso um total de 4 moedas do cofre Qual a probabilidade de retirarmos no mınimo 1 moeda comemorativa Pagina 1 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 1 Questao 8 Em um baralho comum 52 cartas selecionamos duas cartas ao acaso Determine a Qual a probabilidade de se ter 2 Reis b Qual a probabilidade de se ter 2 Reis dado que ao menos uma das cartas e um Rei c Qual a probabilidade de se ter 2 Reis dado que ao menos uma das cartas e o Reis de espadas 2 Exercıcios Praticos Questao 9 Preocupados com a incidˆencia dos casos de COVID19 nos domicılios brasileiros pesquisadores pre tendem calcular correlacoes dos casos com caracterısticas dos domicılios Para isso e preciso ter uma amostra dos domicılios Felizmente o IBGE visita os domicılios brasileiros e faz uma serie de perguntas para os moradores acerca de informacoes do cotidiano e sobre o mercado de trabalho Essa pesquisa dos domicılios se chama PNAD Pesquisa Nacional por Amostra de Domicılios A periodicidade dessa pesquisa e anual PNAD Completa ou trimestral PNAD Contınua Nesse exercıcio vamos utilizar a PNAD Contınua que particularmente incluıa algumas perguntas sobre a COVID19 A PNADCovid a Encontre o valor mınimo e maximo da variavel idade Encontre tambem a sua media e a mediana b Faca um histograma do rendimento do trabalho entre 0 a 5000 reais dividindoo em 5 faixas de rendimento c Qual e a variˆancia do rendimento d A variavel atendimeto COVID e 1 caso o morador precisou de atendimento medico por causa da COVID e 0 caso nao precisou de atendimento Qual a proporcao de moradores que precisaram de atendimento e A variavel atendimeto COVID type e a versao categorica da variavel atendimeto COVID Faca um boxplot da relacao entre atendimeto COVID type e a idade Como vocˆe interpreta o resultado Questao 10 A base de dados fertil2 foi coletada a partir de uma amostra de mulheres que vivem na Republica de Botswana em 1988 A variavel children referese ao numero de filhos vivos A variavel electric e um indicador binario igual a um se a casa da mulher tiver eletricidade e zero caso contrario a Encontre o menor e o maior valor de children na amostra Qual e a media de children b Qual e a porcentagem de mulheres tem eletricidade em casa c Calcule a media de criancas sem eletricidade e faca o mesmo para aqueles com eletricidade Comente sobre o que vocˆe encontrar d Do item anterior vocˆe pode inferir que ter eletricidade faz com que as mulheres tenham menos criancas Explique Questao 11 Um pesquisador cientıfico precisa escolher trˆes cobaias num grupo de oito cobaias Determine o numero de maneiras que ele pode realizar a escolha Questao 12 Em problemas de controle de qualidade suponha que num lote de N 100 pecas r 10 sejam defeitu osas Escolhendo n 5 pecas sem reposicao a Qual e a probabilidade de nao se obter pecas defeituosas b Qual e a probabilidade de se obter pelo menos uma defeituosa Pagina 2 Estatística Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 2 Questão 1 Sejam W1 e W2 variáveis aleatórias discretas independentes com a seguinte função de probabilidade f012 f113 e f216 Seja YW1 W2 podemos afirmar que EY 43 e VarY 109 Questão 2 Dado que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes com distribuições de Bernoulli com parâmetros p e q isto é X1 com probabilidade p 0 com probabilidade 1p Y1 com probabilidade q 0 com probabilidade 1q Considere que ZaY bX para a e b constantes Calcule a variância de Z Questão 3 A função distribuição de probabilidade de Weibull é dada pela função abaixo fxαβ αβᵅ xᵅ¹ exp xβᵅ x0 0 x0 a Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros da distribuição α e β b Determine a função de distribuição acumulada lembrando que x0 c Determine P1 x 2 caso α2 e β4 Questão 4 Sejam X1 e X2 variáveis independentes com mesma distribuição Exponencial de parâmetro λ dada por fxλeʸˣ responda a Determine a função de distribuição conjunta das duas variáveis b Dado que a função densidade acumulada conjunta é dada por FX₁X₂ z PX₁ X₂ z 1 expλz λz expλz determine a função densidade dada pela derivada de FX₁X₂ z em relação a z e mostre que esta será idêntica a densidade de uma distribuição Gama com parâmetros α2 e β1λ Questão 5 Mais de uma década atrás Grable e Lytton 1999 desenvolveram testaram e publicaram uma escala de tolerância ao risco financeiro na Financial Services Review que desde então tem sido amplamente usada por consumidores consultores financeiros e pesquisadores para avaliar a disposição de uma pessoa em se envolver em um comportamento financeiro de risco Página 1 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 2 Em 2015 Kuzniak et al utilizou a escala de Grable e Lytton 1999 e analisaram uma base de dados n 160279 abrangendo o perıodo de 2007 a 2013 O estudo forneceu a distribuicao apresentada na figura acima A media da pontuacao entre as 160279 respostas e de 2753 com desvio padrao de 548 Utilizando uma distribuicao Normal calcule as probabilidade dos perfis de risco abaixo Pontuacao Descricao 18 ou abaixo Baixa tolerancia a risco 19 a 22 Tolerancia a risco abaixo da media 23 a 28 Tolerancia a risco moderada 29 a 32 Tolerancia a risco acima da media 33 ou superior Alta tolerancia a risco Questao 6 Considere a funcao de distribuicao conjunta dada por fx y 8xy 0 x y 1 0 caso contrario Podemos afirmar que as duas variaveis sao independentes Questao 7 A funcao de probabilidade conjunta de duas variaveis aleatorias discretas X e Y e dada por fx y cxy aonde x e y assumem qualquer valor inteiro tal que x 0 3 e y 1 3 Determine a O valor da constante c b E Y X 1 Pagina 2 Estatística Prof Bruno Tebaldi MPE Monitor Kelly G Santos Lista 2 c E Y²X 1 d VarYX 1 Questão 8 Dada a função de distribuição de probabilidade da distribuição de Cauchy a seguir determine sua moda fx α πx² α² x R Questão 9 Mostre que para um vetor aleatório XY que possua uma distribuição normal bivariada se ρ 0 então X e Y são independentes Exercícios Práticos Questão 10 A Organização Mundial da Saúde OMS divulga diariamente dados sobre a COVID191 Vamos utilizar nesse exercício uma base em formato xlsx que contém as seguintes informações newcases Novos casos de COVID totalcases Total de casos de COVID newvaccinations Doses de vacinas diárias population População total a Faça o gráfico dos novos casos de COVID no tempo Faça também o gráfico do total de casos acumulados b Calcule a quantidade de doses de vacinas aplicadas acumuladas para cada data Faça os gráficos da quantidade de vacinas aplicadas diárias e do total de vacinas acumuladas no tempo c Considerando o total da população qual é a probabilidade de uma pessoa ter sido vacinada no dia 26 de janeiro de 2021 Qual é a probabilidade de uma pessoa ter sido vacinada antes de 29 de junho de 2021 Questão 11 Lançamos uma moeda honesta 100 vezes e computamos o resultado de Cara como X 1 e Coroa como X 0 Fazemos esse experimento 1000 vezes Para cada experimento calculamos a média amostral de X Faça o histograma das médias calculadas Questão 12 Suponha que as pontuações do teste de um vestibular sejam descritos por uma distribuição normal Além disso a pontuação média do teste é 72 e o desvio padrão é 152 Qual é a porcentagem de alunos que pontuam 84 ou mais no exame Questão 13 A distribuição exponencial descreve o tempo de chegada de uma sequência de eventos independentes recorrentes aleatoriamente Se μ é o tempo médio de espera para a próxima recorrência de evento sua função de densidade de probabilidade é fx 1μexμ when x 0 0 when x 0 Suponha que o tempo médio de atendimento de um caixa de supermercado seja de três minutos Responda 1 Dados podem ser acessados em httpsourworldindataorgcovidvaccinationscountryBRA Página 3 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 2 a Faca o grafico da funcao de probabilidade e da funcao de probabilidade acumulada desse evento b Qual e a probabilidade do atendimento de um cliente ser concluıdo pelo caixa em exatamente dois minutos Qual a probabilidade do atendimento ser concluıdo em menos dois minutos Pagina 4 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 4 Questao 1 Responda Verdadeiro ou Falso as afirmacoes abaixo justificando sua resposta Respostas sem justifica tiva ou com justificativas incorretas serao desconsideradas Lembremse mesmo afirmacoes verdadeiras devem ser justificadas a Um Intervalo de Confianca com 1 α de significˆancia indica que existe uma probabilidade de 1 α de que o parˆametro populacional pertenca aquele intervalo b Para testar uma hipotese a respeito de duas variˆancias de duas amostras aleatorias usamos uma distribuicao F definida como a razao de duas χ2 ponderadas pelo inverso do seus graus de liberdade c Dado um tamanho de amostra quanto maior o nıvel de confianca menor o erro amostral permitido d Para aumentar a precisao de uma estimativa por intervalo o pesquisador deve aumentar o intervalo de confianca de 95 para 99 por exemplo e Seja X1 Xn uma amostra aleatoria de tamanho n de uma populacao normal com media µ e variˆancia σ2 Se construirmos varios intervalos de confianca para a media µ com amostras de idˆentico tamanho n mesma variˆancia σ2 e mesma margem de confianca estes terao extremos aleatorios mas todos terao a mesma amplitude Questao 2 Com o intuito de reduzir os acidentes nas vias o prefeito de determinada cidade resolveu reduzir o limite de velocidade de algumas das vias expressas A media historica amostral dessas vias dos 6 meses anteriores a reducao tinha sido de 53 acidentes por mˆes com desvio padrao amostral de 12 Observando uma amostra de dados nos 10 meses subsequentes a medida constatase que essa media passou para 26 acidentes por mˆes com desvio padrao amostral de 22 O prefeito deseja testar se sua polıtica surtiu efeito Nos items abaixo identifique explicitamente i hipoteses nula e alternativa ii estatıstica de teste iii valores crıticos iv area de rejeicao e v resultado final do teste a Usando um argumento assintotico proponha e teste a hipotese do prefeito a um nıvel de significˆancia de 5 b Construa um intervalo de confianca para a media de acidentes nas vias antes e depois da polıtica implementada pelo prefeito com 95 de confianca c Um assessor do prefeito argumenta que algo que pode ter acontecido e que alem da mudanca na velocidade a crise econˆomica pode ter feito com que as pessoas passassem a utilizar menos os veıculos O assessor entao argumenta Se essa minha hipotese e verdade acho razoavel imaginar que o efeito sazonal isso e a variabilidade dos acidentes antes da alteracao de velocidade deve ser menor Proponha e teste a hipotese do assessor em amostra finita sob a hipotese de normalidade a 5 de significˆancia d Construa um Intervalo de Confianca com 95 de confianca para testar a hipotese do item anterior Questao 3 Em uma pesquisa eleitoral com 2000 eleitores foram obtidos as informacoes abaixo sobre as intencoes de voto de um bairro Candidato Porcentagem A 43 B 37 Brancos e Nulos 20 Table 1 Tabela de intencoes de voto Encontre limites de confianca de 95 para cada uma das intencoes de voto Z25 1 96 Pagina 1 MPE Estatıstica Prof Bruno Tebaldi Monitor Kelly G Santos Lista 4 Questao 4 Em uma amostra aleatoria de 400 adultos e 600 adolescentes que assistem a um certo programa de televisao 100 adultos e 300 adolescentes indicaram que gostam do programa Com essas informacoes foi obtido um intervalo de confianca para a diferenca da proporcao entre 019 e 031 Qual foi o nıvel de confianca utilizado Questao 5 Seja uma amostra aleatoria de tamanho n1 com distribuicao Nµ1 σ2 1 e outra amostra aleatoria de tamanho n2 com distribuicao Nµ2 σ2 2 Ambas independentes entre si a Derive um intervalo de confianca 1 α para diferenca de media µ1 µ2 para o caso de σ2 1 e σ2 2 conhecidos b Derive um intervalo de confianca 1 α para razao do desviopadrao σ1σ2 Questao 6 Usuarios de uma rede de transmissao de energia eletrica tem reclamado da alta variacao na tensao desvio padrao de 12 volts A empresa encarregada da transmissao de energia eletrica na regiao instalou novos transformadores O desvio padrao calculado sobre 30 observacoes independentes foi de 8 volts e a distribuicao de frequˆencias dos valores da amostra sugere uma distribuicao normal Ha evidˆencias de reducao na variacao da tensao Use nıvel de significˆancia de 5 χ2 290025 4572 e χ2 290975 1605 Questao 7 O tempo de vida medio de uma amostra de 100 lˆampadas eletricas fluorescentes produzidas por uma companhia e calculada como sendo de 1570 horas com um desvio padrao de 120 horas Seja µ o tempo de vida medio de todas as lˆampadas produzidas pela companhia calcule o pvalor associado a hipotese de que µ 1600 horas contra a hipotese alternativa µ 1600 horas Exercıcios Praticos Questao 8 Em uma pesquisa foram obtidos os consumos caloricos medios de 100 pessoas em kJ Vocˆe quer investigar se a ingestao de energia dessas pessoas desvia sistematicamente de um valor recomendado de 7725 kJ Ha evidˆencias de que as pessoas desviam do valor recomendado As informacoes para esse exercıcio estao no arquivo Lista 4 Caloriasxlsx Questao 9 Suponha que os cientistas inventaram uma vacina contra um determinado vırus que induz uma producao media de anticorpos de 15 UIL Para testar sua hipotese foi realizado um ensaio clınico A vacina foi administrada a 25 pacientes e apos um perıodo especıfico uma amostra de sangue foi coletada para cada paciente As medidas dos pacientes vacinados sao mostradas no arquivo Lista 4 Vacinaxlsx Construa um intervalo de 95 de confianca para a producao de anticorpos usando os dados amostrais Teste a hipotese de que a vacina induz uma producao de 15 UIL a 5 de significˆancia Questao 10 Faca o levantamento do preco de abertura da acao PETR4SA a partir de 01012016 Queremos testar se a eleicao do Bolsonaro no dia 01012019 esta associado a um aumento da variˆancia das acoes da PETR4SA Teste essa hipotese a 5 de significˆancia Pagina 2 Lista J Questão 1 PNJ PNJAPA PNJBPB PNJCPC PNJDPD 09501 09202 0903 09804 0941 PANJ PANJPAPNJ 095010941 01010 1010 PBNJ PBNJPBPNJ 092020941 01955 1955 PCNJ PCNJPCPNJ 09030941 02869 2869 PDNJ PDNJPDPNJ 098040941 04166 4466 Questão 2 PPm PPmPm 0187505 0375 375 1 025 375 das Mulheres são pobres 075 x x 01875 Questão 3 a PA B PA PB 055 060 115 082 Falso b PA Bc PAcPBc PA cPcPB cPc 02475045 027045 033 PA c PA Pc PA c PB c PB Pc PA c 07525 055 045 PA c 060 045 078 PA c 02475 027 Verdadeiro Verdadeiro c PAPB 055060 033 Verdadeiro d Falso Questão 4 PAB PA PA B PA PB PA B PA PB PBA PA B PA PA PB Pn PB Questão 5 PAc Bc PAc PBc PAc Bc 58 12 1 PA B 5 4 8 1 PA PB PAnB 98 1 38 12 14 98 1 3 4 2 8 98 158 98 38 68 075 75 Questão 6 PUF PUF PA PPA PUF AB PB PUF Pc Pc 0002 13 0001 13 00006 13 00012 a PA1F PAnF PPA PNF 0002 13 00012 05714 5714 b PBNF 0001 13 00012 02857 2857 c PCNF 00006 13 00012 00006 13 00012 01429 1429 Questão 7 X Retirar moede com moratória X Hiper Geo 12 4 3 Px 1 1 Px 1 1 Px0 1 84 495 3 0 123 1 091677 08303 8303 Questão 8 a P2R PR PR 452 351 122652 00045 045 b P2R R P2R R PR 00045 00769 00588 588 c P2RRE P2R PRE 00045 00192 02353 2353 Lista 2 Questão 1 Ew₁ 0 12 1 13 2 16 13 13 23 Ew₁² 0 12 1 13 4 16 13 23 1 Varw₁ 1 23² 1 49 59 EY Ew₁ w₂ Ew₁ Ew₂ 23 23 43 VarY Varw₁ w₂ Varw₁ Varw₂ 59 59 109 Questão 2 Varx p1p Vary q1q z a y b x Varz Vara y b x Vara y Varb x a² Vary b² Varx a² p1p b² q1q Questão 3 a α e β 0 b Fx ₀ˣ d βα xα1 exβα dx ₀ˣ eu du ₀⁰ eu du eu xβα0 1 exβα u xα βα du d xα1 βα dx du d xα1 βα dx du d xα1 βα dx 17 c P1 x 2 ₁² 18 x ex²16 dx 14116 eu du 11614 eu du eu 11614 e116 e14 01606 1606 u x²16 du x8 dx du x8 dx Questão 4 a fx₁x₂x₁x₂ fx₁x₁fx₂x₂ λ eλ x₁λ eλ x₂ λ² eλ x₁ x₂ b Fx₁x₂z 1 eλ z λ z eλ z fx₁x₂z λ eλ z λ eλ z λ² z eλ z λ² z eλ z 18 Questão 5 Px 18 Pz 18 2753 548 Pz 174 05 045907 004093 P19 x 22 P19 2753 548 z 22 2753 548 P156 z 105 044062 034375 009687 P23 x 28 P23 2753 548 z 28 2703 548 P083 z 009 029673 003586 033259 P29 x 32 P292753548 z 322753548 P027 z 082 010642 029389 040031 Px 33 Pz 332753 548 Pz 100 05 034134 015866 Questão 6 Não pois fxyxy fxx fyy Questão 7 f010 f313c f020 f122c f030 f133c f232c f224c f236c f326c f339c Σ i1 3 Σ j0 3 fxiyj 1 36c 1 c 136 b EY x1 11136 21336 31336 1636 49 c EY2 x1 136 1236 2736 4036 109 d VarY x1 109 492 109 1681 7481 Questão 8 fx 2x d π x2 d2 x2 d22 2x d π x2 d2 fx0 2x d π 0 x0 o valor modal b μ1 Ex 2 x β 2β xβ1 dx 2 m3 1n Σ i1n xi x μ3 m3 2 x x2 Lβ Π u2n β 2β xβ1 βn 2n β Σ i2n xiβ1 lnβ lnβn 2n β Σ i2n xiβ1 lnβ lnβ 2βn lnΣ xiβ1 lnβ n lnβ 2β β1 lnΣ xi β c nlnβ β ln2 β1 lnΣ xi elnβ eβ ln2n elnΣ xiβ1 β 2βn Σ xiβ1 0 β Σ xiβ1 Questão 9 ρ 0 cov x y σx σy 0 cov x y 0 cov x y E xy E x E y 0 E xy μx μy E xy μx μy logo XY Lista 3 Questão 1 a μx E x 0 x β 2 β x β 1 dx 1 β 2 β x β dx β 2 β x β 1 β 2 lim x 0 β x β 1 2 β 2 β 1 2 Questão 2 a E μ1 E 3n2 Xn 2n2 Xn1 3n2 E Xn 2n2 E Xn1 3n2 μ 2n2 μ μn2 Viés 1 n 2 E μ2 E 1 n3 Σ Xi 1 n3 E X1 X2 Xn 1 n3 E X1 E X2 E Xn 1 n3 μ μ μ n n3 μ Viés n n3 b Var μ3 Var μ1 μ2 Var μ1 Var μ2 Var 3n2 Xn 2n2 Xn1 Var 1n3 Σ Xi 9 n2² Var Xn 4 n2² Var Xn1 1 n3² Var Σ Xi 9 n2² σ² 4 n2² σ² 1 n3² n σ² 5 n2² σ² n n3² σ² n 2 Var Xn Var Xn1 logo μ3 é consistente para μ c Usaria X1 pois é não viesado e consistente Questão 3 L x μ σ π 1 σ 2π e xμ²2σ² 1 σn 2π n2 e Σ xi μ²2σ² l x μ σ ln 1 σn 2π n2 e Σ xi μ²2σ² a lxμσ lnexiμ22σ2 lnσn 2πn2 xiμ22σ2 n lnσ n2 ln2π d lxμσdμ xi μσ2 0 xi μ 0 xi nμ 0 nμ xi μ xin d lxμσdσ xi μ2σ3 nσ 0 xi μ2σ3 nσ σ2 n σ xi μ2 σ xi μ2n Questão 4 a Verdadeiro b Falso c Falso d Verdadeiro xin x xi n x Questão 5 a Eσ2 E1n Xi X2 1n Exi2 2xi X X2 1n Exi2 2X xi n X2 1n EX12 X22 Xn2 2nX2 nX2 1n EX12 EX22 EXn2 nX2 1n EX12 X2 EX22 X2 EXn2 X2 1n 52 52 52 1n x 52 Eσ2 52 σ2n Questão 6 a Falso b Verdadeiro c Verdadeiro d Verdadeiro e Falso f Verdadeiro g Verdadeiro Questão 7 β xi yi nX Ȳ xi2 n X2 α Ȳ β X Questão 8 Lyθ π θ2 1 θ 1 y eθy θ2 n 1θn 1yn eθ yi lyθ lnθ2 n 1θn eθ yi lnθ2 n 1θn lneθ yi lyθ 2n lnθ n ln 1θ θ yi dldθ 2nθ n1θ yi 0 2n1θ nθ θ1θ yiθ1θ 0 2n 2nθ θyi θ²yi 0 θ2n yi θyi 2n θ 2n 2n yi θyi Lista 4 Questão 1 a V b V c F d F e V Questão 2 a H0 μA μd μA μd 0 H1 μA μd μA μd 0 Sp 5 12² 9 22²14 36257 χcalo 53 2636257 342 bell curve RC 5 RN H0 95 176 142 R bom o Tcalculado está na RNH0 portanto não rejeitose a hipótese nula e com 5 de significância não tem evidência suficiente para concluir que a média de acidentes diminuiu Questão b Antero P53 2571 126 μ 53 2571 126 095 P404 μ 656 095 ICμ 404 656 Depois P26 2263 2210 μ 26 2263 2210 095 P303 μ 417 095 ICμ 103 417 c H0 σA² σD² H1 σA² σD² Fcalo 12²22² 02975 bell curve RN H0 95 015 0975 4484 d Antes P5112²4484 σ² 5112²015 095 P172 σ² 48 095 ICσ² 172 48 Depois P922²4484 σ² 922²015 095 P971 σ² 2904 095 ICσ² 971 2904 Questão 3 candidato A P043 196 04310432000 p 043 196 04310432000 095 P041 p 045 095 ICp 41 46 candidato B P036 p 039 095 ICp 36 39 Questão 4 P019 p1 p2 031 e 006 006 z212 025075400 0505600 z212 202 𝛼 0092 1 𝛼 0908 Questão 5 a Px1 x2 z𝛼2 σ1²n1 σ2²n2 μ1 μ2 x1 x2 z𝛼2 σ1²n1 σ2²n2 1 𝛼 b Pn1 s1²𝜒² σ1² n1 s1²𝜒² 1 𝛼 Questão 6 H0 σ² 12 H1 σ² 12 R Não rejeita se H0 portanto não ha evidências que a variância antes da implementação seja menor