Ecuaciones Diferenciales 8 4

4. 2y''' - 3y'' - 3y' + 2y = (e^x + e^-x)^2 Resolviendo la ec homogenea asociada: 2m^3 - 3m^2 - 3m + 2 = 0 2 -3 -3 2 | >>m1=-1 -2 5 -2 2 -5 2 | >>m2=2 9 -2 2 -1 0 (2m-1)=0 >> m3=1/2 La función complementario queda de la forma: yc = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^x Reescribiendo la ec. diferencial: 2y''' - 3y'' - 3y' + 2y = 2 + e^x + e^-2x 2D^3 - 3D^2 - 3D + 2 = 2 + e^x + e^-2x Ahora, puesto que 2D=0, (D-2)e^x = 0 u (D+2)e^-2x=0, se aplica el operador diferencial D(D-2)(D+2) a ambas lados de la ec.: D(D-2)(D+2)(2(3-3D^2-3D)+2)-(2+e^x+e^-2x))(D-2)(D+2) = 0 Se obtiene la ec. auxiliar: m(m-2)(m+1)(2m^3-3m^2-3m+2) = 0 Las raíces son: m1=0, m2=m3=2, m4=-2, m5=-1, m6=1/2. Así, y = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^x + C4 C5 x e^2 x + C6 e^-2 x yc yp Reescribiendo yp = A + Bx e^2x + C e^-2x Sus derivadas: yp' = B e^2x + 2Bx e^2x - 2Ce^-2x yp'' = 2Be^2x + 2Be^2x + 4Bx e^2x + 4Ce^-2x Sustituyendo en la ec. diferencial: -4A sen(2x) - 4A x cos(2x) + 4B cos 2x - 4B x sen(2x) + 4(Ax cos(2x) + B x sen(2x) + C)= 1/2 + 1/2 cos 2x -4A sen(2x) + 4B cos(2x) + 4C = 1/2 + 1/2 cos(2x) Se obtiene el sistema de ecuaciones: { -4A = 0 A = 0 { 4B = 1/2 => B=1/8 { 4C = 1/2 C = 1/8 Sustituyendo en yp y después en y, se obtiene: y = C1 Cos(2x) + C2 sen(2x) + 1/8 x sen(2x) + 1/8