Eletricidade 3

CENTRO PAULA SOUZA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE PIRACICABA CURSO BIOCOMBUSTÍVEIS 2º CAPÍTULO Campo Elétrico EXERCÍCIOS DE ELETRICIDADE Para entregar 01 Calcule o módulo direção e sentido do vetor Campo elétrico num ponto P situado 45 cm de uma carga puntiforme de 80 nC Considere o meio o vácuo 02 Determine o módulo a direção e o sentido do vetor Campo elétrico resultante no ponto P figura abaixo Considere Q1 5 108 C Q2 8108 C e o meio o vácuo 03 Determine o módulo a direção e o sentido do vetor Campo elétrico resultante no ponto P Considere Q1 30 nC Q2 40 nC e Q3 20 nC e o meio o vácuo Q1 60 cm 40 cm 40 cm Q2 40 cm 40 cm 40 cm P Q1 20 cm 40 cm 40 cm Q2 30 cm 40 cm 40 cm P Q3 40 cm 40 cm 40 cm P 45 cm Q 04 Têmse duas pequenas esferas A e B condutoras descarregadas e isoladas uma da outra Seus centros estão distantes entre si de 180 cm Cerca de 40109 elétrons são retirados da esfera A e transferido para a esfera B Qual o módulo direção e sentido o vetor Campo elétrico no ponto médio que une as duas cargas Considere o meio o vácuo 05 Na distribuição de cargas elétricas representadas nas figuras abaixo na linha que une as duas cargas elétricas onde se encontra o ponto onde o Campo elétrico é nulo a b 06 Duas cargas puntiformes Q1 10 nC e Q2 40 nC encontrase no ar distancias de 90 cm Determine o módulo direção e sentido do vetor Campo elétrico no ponto M situado no ponto médio entre as duas cargas Q1 Q2 A B 180 cm Q1 81q 80 cm M Q2 16q Q1 9q 30 cm Q2 16q Q1 Q2 A B 90 cm M 07 Determine o módulo a direção e o sentido do vetor Campo elétrico resultante no ponto P Considere Q1 20 nC Q2 30 nC Q3 30 nC e Q4 25 nC e o meio o vácuo 08 Determine o módulo a direção e o sentido do vetor Campo elétrico resultante no ponto P Considere Q1 80 nC Q2 30 nC Q3 30 nC e Q4 25 nC e o meio o vácuo Q1 40 cm 40 cm 40 cm Q2 30 cm 40 cm 40 cm Q3 20 cm 40 cm 40 cm Q4 P 20 cm 40 cm 40 cm Q1 40 cm 40 cm 40 cm Q2 30 cm 40 cm 40 cm Q3 20 cm 40 cm 40 cm Q4 P 20 cm 40 cm 40 cm Atividade Campos Eletricos BsbAu9lTB Meu Guru Gustavo August 25 2024 1 Questao 1 Para calcular o modulo direcao e sentido do campo eletrico gerado por uma carga puntiforme usamos a formula do campo eletrico E gerado por uma carga Q no vacuo a uma distˆancia r E k Q r2 Onde E e o modulo do campo eletrico k e a constante eletrostatica no vacuo k 8 99109 N m2C2 Q e a carga que gera o campo r e a distˆancia do ponto a carga Dados fornecidos Q 80 nC 80 109 C r 45 cm 0 45 m Vamos calcular o modulo do campo eletrico E 8 99 109 80 109 0 452 Agora vamos fazer as contas Direcao e sentido do campo eletrico A direcao do campo eletrico devido a uma carga pontual e radial isto e ao longo da linha que conecta o ponto a carga Como a carga e negativa o campo eletrico aponta em direcao a carga ou seja o sentido do campo e direcionado para a carga Vou calcular o valor do campo eletrico O modulo do campo eletrico no ponto P e aproximadamente 3551 6 NC Resumo Modulo 3551 6 NC Direcao Radial ao longo da linha que liga o ponto P a carga Sentido Como a carga e negativa o campo aponta em direcao a carga para a carga 2 Questao 2 Vamos calcular o campo eletrico resultante no ponto P devido as cargas Q1 e Q2 As cargas estao no vacuo entao usamos a formula do campo eletrico E gerado por uma carga puntiforme Q E k Q r2 Dados fornecidos Q1 5108 C Q2 8108 C k 8 99109 Nm2C2 Distˆancias Entre Q1 e P 1 m Entre Q2 e P 0 4 m 1 Campo eletrico gerado por Q1 no ponto P E1 k Q1 r2 1 Substituindo os valores E1 8 99 109 5 108 12 E1 449 5 NC 2 Campo eletrico gerado por Q2 no ponto P 1 E2 k Q2 r2 2 Substituindo os valores E2 8 99 109 8 108 0 42 E2 8 99 109 8 108 0 16 E2 4495 NC Direcao e sentido dos vetores E1 e E2 O campo eletrico E1 gerado por Q1 carga positiva no ponto P tem direcao radial e aponta para fora de Q1 no sentido de P O campo eletrico E2 gerado por Q2 carga negativa no ponto P tem direcao radial e aponta em direcao a Q2 Agora precisamos somar vetorialmente os campos E1 e E2 Como ambos estao ao longo da mesma linha reta entre Q1 Q2 e P podemos tratalos como vetores unidimensionais E1 aponta de Q1 para P da esquerda para a direita E2 aponta de P para Q2 da direita para a esquerda 3 Campo eletrico resultante no ponto P Como os vetores tˆem sentidos opostos o campo resultante sera a diferenca entre os modulos de E2 e E1 Eresultante E2 E1 4495 449 5 4045 5 NC Direcao e sentido do campo resultante O campo resultante tem o mesmo sentido do campo E2 que aponta em direcao a Q2 ou seja para a esquerda Resumo Modulo 4045 5 NC Direcao Ao longo da linha que une Q1 Q2 e P Sentido Aponta para Q2 a esquerda 3 Questao 3 Vamos calcular o campo eletrico resultante no ponto P gerado pelas cargas Q1 Q2 e Q3 que estao localizadas ao longo de uma linha reta conforme indicado Dados fornecidos Q1 30 nC 30 109 C Q2 40 nC 40 109 C Q3 20 nC 20 109 C Distˆancias P a Q1 0 40 m P a Q2 0 60 m P a Q3 0 90 m Constante eletrostatica no vacuo k 8 99 109 N m2C2 Formula do campo eletrico gerado por uma carga pontual Q a uma distˆancia r E k Q r2 Agora vamos calcular o campo eletrico no ponto P devido a cada uma das cargas 1 Campo eletrico gerado por Q1 no ponto P E1 k Q1 r2 1 8 99 109 30 109 0 402 E1 8 99 109 30 109 0 16 269 7 0 16 1685 625 NC A carga Q1 e positiva portanto o campo E1 aponta para fora de Q1 ou seja da direita para a esquerda em relacao a P 2 Campo eletrico gerado por Q2 no ponto P 2 E2 k Q2 r2 2 8 99 109 40 109 0 602 E2 8 99 109 40 109 0 36 359 6 0 36 998 889 NC A carga Q2 e negativa portanto o campo E2 aponta em direcao a Q2 ou seja da esquerda para a direita em relacao a P 3 Campo eletrico gerado por Q3 no ponto P E3 k Q3 r2 3 8 99 109 20 109 0 902 E3 8 99 109 20 109 0 81 179 8 0 81 221 728 NC A carga Q3 e positiva entao o campo E3 aponta para fora de Q3 ou seja da direita para a esquerda em relacao a P 4 Campo eletrico resultante no ponto P Agora precisamos somar vetorialmente os campos E1 E2 e E3 Como todos estao na mesma linha a soma sera algebrica considerando o sentido de cada campo E1 e E3 tˆem o mesmo sentido da direita para a esquerda E2 tem o sentido oposto da esquerda para a direita Portanto o campo resultante sera Eresultante E1 E3 E2 Eresultante 1685 625 221 728 998 889 Eresultante 1907 353 998 889 908 464 NC Direcao e sentido do campo resultante O campo resultante tera o mesmo sentido dos campos E1 e E3 ou seja da direita para a esquerda aponta para Q1 e Q3 Resumo Modulo do campo eletrico resultante 908 464 NC Direcao Ao longo da linha reta que une P Q1 Q2 e Q3 Sentido Da direita para a esquerda em direcao a Q1 e Q3 4 Questao 4 O problema envolve o calculo do campo eletrico no ponto medio entre duas pequenas esferas condutoras e isoladas apos a transferˆencia de eletrons de uma para a outra Vamos resolvˆelo passo a passo Passo 1 Determinar a carga transferida Sabemos que a carga elementar de um eletron e e 1 6 1019 C Foi informado que 40 109 eletrons foram transferidos da esfera A para a esfera B Portanto a quantidade de carga transferida e Q n e 40 109 1 6 1019 C 6 4 109 C Essa quantidade de carga 64 109 C foi retirada da esfera A e transferida para a esfera B Ou seja A esfera A ficou com uma carga de 64 109 C pois perdeu eletrons 3 A esfera B ficou com uma carga de 64 109 C pois ganhou eletrons Passo 2 Distˆancia entre as esferas e ponto medio A distˆancia entre os centros das esferas e de 180 cm 180 m O ponto medio entre as duas esferas esta a 090 m de cada uma Passo 3 Campo eletrico gerado por cada esfera no ponto medio O campo eletrico gerado por uma carga pontual Q a uma distˆancia r no vacuo e dado pela formula E kQ r2 Onde k 9 109 N m2C2 constante eletrostatica no vacuo Q e a carga em Coulombs r e a distˆancia entre a carga e o ponto onde se deseja calcular o campo Agora vamos calcular o campo gerado pelas esferas A e B separadamente no ponto medio Campo gerado pela esfera A A carga da esfera A e 64 109 C e a distˆancia ate o ponto medio e 090 m Assim EA 9 109 6 4 109 0 902 EA 9 109 6 4 109 0 81 EA 71 1 NC Campo gerado pela esfera B A carga da esfera B e 64 109 C e a distˆancia ate o ponto medio tambem e 090 m O modulo do campo gerado por B e o mesmo EB 9 109 6 4 109 0 81 EB 71 1 NC Passo 4 Direcao e sentido do campo eletrico O campo gerado pela esfera A positiva aponta para fora da esfera ou seja do ponto medio em direcao a esfera B O campo gerado pela esfera B negativa aponta para dentro da esfera ou seja do ponto medio em direcao a esfera B Como ambos os campos tˆem a mesma direcao do ponto medio para a esfera B eles se somam Passo 5 Resultado final O campo eletrico total no ponto medio sera a soma dos dois campos Etotal EA EB 71 1 71 1 142 2 NC A direcao do campo e da esfera A para a esfera B e o sentido e apontando da esfera A positiva para a esfera B negativa Resposta final O modulo do campo eletrico no ponto medio e Etotal 142 2 NC A direcao e ao longo da linha que une as esferas e o sentido e da esfera A para a esfera B 5 Questao 5 51 a Para encontrar o ponto na linha que une as duas cargas Q1 e Q2 onde o campo eletrico e nulo precisamos resolver o problema considerando a superposicao dos campos eletricos das duas cargas Dados fornecidos Q1 81q Q2 16q Distˆancia entre Q1 e Q2 80 cm 0 80 m Conceito O campo eletrico e nulo em um ponto onde os campos eletricos gerados pelas duas cargas se cancelam 4 Vamos encontrar o ponto na linha entre Q1 e Q2 onde o campo elétrico resultante é zero Passos para encontrar o ponto nulo 1 Defina as posições Suponha que o ponto onde o campo é nulo esteja a uma distância x de Q1 e a distância 080 x de Q2 2 Campo elétrico devido a cada carga O campo elétrico devido a Q1 em um ponto a uma distância x é EQ1 frack cdot Q1x2 O campo elétrico devido a Q2 em um ponto a uma distância 080 x é EQ2 frack cdot Q2080x2 3 Igualar os campos para que o campo resultante seja nulo Os campos devem se igualar em magnitude frack cdot 81qx2 frack cdot 16q080x2 Simplificando a equação o fator k cdot q é constante e pode ser cancelado frac81x2 frac16080x2 4 Resolver a equação Multiplicando em cruz para resolver 81 cdot 080x2 16 cdot x2 81 cdot 064 160x x2 16x2 5208 1296x 81x2 16x2 81x2 16x2 1296x 5208 65x2 1296x 5208 65x2 1296x 5208 0 Usando a fórmula quadrática ax2 bx c 0 onde a 65 b 1296 e c 5208 x fracb pm sqrtb2 4ac2a x frac1296 pm sqrt12962 4 cdot 65 cdot 52082 cdot 65 x frac1296 pm sqrt1684176 135344130 x frac1296 pm sqrt329736130 x frac1296 pm 574130 Calculando as raízes x1 frac1296 574130 approx 144m não é uma solução válida pois está fora do intervalo de 080 m x2 frac1296 574130 approx 0556 m Portanto o ponto onde o campo elétrico é nulo está a aproximadamente 0556 m de Q1 e a 080 0556 0244 m de Q2 Resumo Localização do ponto nulo Aproximadamente 0556 m de Q1 e 0244 m de Q2 52 b Vamos refazer o cálculo considerando a possibilidade de que o ponto onde o campo elétrico é nulo esteja à esquerda de Q1 ou seja fora da região entre as cargas Dados fornecidos Q1 9q Q2 16q Distância entre Q1 e Q2 30 cm 030 m Objetivo Encontrar o ponto P onde o campo elétrico é nulo considerando que esse ponto pode estar à esquerda de Q1 fora do intervalo entre as cargas Passos 1 Definir as posições Suponha que o ponto P esteja a uma distância x de Q1 à esquerda de Q1 Isso significa que a distância entre P e Q2 será 030 x m já que o ponto está fora da linha que une as cargas 2 Expressar os campos elétricos O campo elétrico gerado por Q1 em P é EQ1 frack cdot Q1x2 frack cdot 9qx2 O campo elétrico gerado por Q2 em P que está a uma distância 030 x é EQ2 frack cdot Q2030 x2 frack cdot 16q030 x2 3 Igualar os campos elétricos Para que o campo resultante seja nulo os campos elétricos de Q1 e Q2 devem ter a mesma magnitude frac9x2 frac16030 x2 4 Resolver a equação Multiplicando em cruz para resolver 9 cdot 030 x2 16 cdot x2 Expansão do termo à esquerda 9 cdot 009 060x x2 16x2 081 540x 9x2 16x2 Agora reorganizamos a equação 9x2 16x2 540x 081 0 7x2 540x 081 0 5 Usar a fórmula de Bhaskara Agora aplicamos a fórmula quadrática ax2 bx c 0 onde a 7 b 540 e c 081 x fracb pm sqrtb2 4ac2a Substituindo os valores x frac540 pm sqrt5402 4 cdot 7 cdot 0812 cdot 7 x frac540 pm sqrt2916 226814 x frac540 pm sqrt518414 x frac540 pm 7214 6 Calcular as raízes Para a primeira raiz x1 frac540 7214 frac18014 approx 0129 m Para a segunda raiz x2 5 40 7 2 14 12 60 14 0 9 m Solucao Temos duas solucoes para x x1 0 129 m que esta a esquerda de Q1 o que e invalido neste caso porque Q1 esta na posicao 30 cm x2 0 9 m que esta a direita Sim o valor de x 0 9 m estaria correto se considerarmos o ponto a esquerda de Q1 fora da linha entre Q1 e Q2 Neste cenario estamos buscando o ponto onde o campo eletrico e nulo que pode estar localizado fora da regiao entre as duas cargas Como Q1 e negativo e Q2 e positivo o campo eletrico gerado por Q1 tende a atrair cargas positivas e o campo gerado por Q2 tende a repelir cargas positivas Portanto o ponto onde o campo eletrico e nulo pode de fato estar fora da linha entre as cargas especificamente a esquerda de Q1 Verificacao Se o ponto P estiver a 0 9 m a esquerda de Q1 ele estara a uma distˆancia de 1 2 m de Q2 ja que a distˆancia entre Q1 e Q2 e de 0 30 m Nesse caso a equacao para igualar os campos eletricos seria k Q1 0 92 k Q2 1 22 Simplificando os fatores k q sao constantes e podem ser cancelados 9 0 92 16 1 22 Agora calculando os valores 9 0 81 16 1 44 11 11 11 11 Portanto o campo eletrico e realmente nulo nesse ponto a esquerda de Q1 a 0 9 m 6 Questao 6 Vocˆe esta certo em questionar isso Na verdade como os dois campos estao na mesma direcao ambos apontam para a esquerda deverıamos somar as magnitudes dos campos eletricos e nao subtraılas Vamos revisar a analise com essa correcao Dados fornecidos Q1 10 nC 10 109 C Q2 40 nC 40 109 C Distˆancia entre Q1 e Q2 90 cm 0 90 m Ponto M esta a 0 45 m de cada carga ponto medio Calculo dos campos eletricos 1 Campo eletrico devido a Q1 em M EQ1 k Q1 r2 Substituindo os valores EQ1 8 99 109 10 109 0 452 EQ1 8 99 101 0 2025 443 5 NC Como Q1 e negativa o campo EQ1 aponta para Q1 para a direita 2 Campo eletrico devido a Q2 em M EQ2 k Q2 r2 Substituindo os valores EQ2 8 99 109 40 109 0 452 7 EQ2 359 6 101 0 2025 1774 5 NC Como Q2 e positiva o campo EQ2 aponta para longe de Q2 tambem para a esquerda Soma dos campos eletricos Agora como ambos os campos eletricos EQ1 e EQ2 estao na mesma direcao ambos para a esquerda devemos somar suas magnitudes Etotal EQ1 EQ2 Etotal 443 5 NC 1774 5 NC Etotal 2218 NC Resumo Modulo do campo eletrico total 2218 NC Direcao Para a esquerda pois tanto EQ1 quanto EQ2 apontam para essa direcao Sentido Para a esquerda na direcao de Q1 a carga negativa atrai o campo e Q2 a carga positiva repele o campo 7 Questao 7 71 a Para resolver essa questao e determinar o campo eletrico resultante no ponto P precisamos calcular o campo eletrico produzido por cada uma das cargas Q1 Q2 Q3 e Q4 separadamente no ponto P levando em consideracao suas distˆancias e a direcao em que os campos apontam Depois somamos os vetores resultantes Dados fornecidos Q1 20 nC 20 109 C Q2 30 nC 30 109 C Q3 30 nC 30 109 C Q4 25 nC 25 109 C Distˆancias de cada carga ate P dQ1P 60 cm 0 60 m dQ2P 40 cm 0 40 m dQ3P 20 cm 0 20 m dQ4P 50 cm 0 50 m Constante eletrostatica no vacuo k 8 99 109 N m2C2 Calculo dos campos eletricos 1 Campo eletrico gerado por Q1 no ponto P EQ1 k Q1 d2 Q1P EQ1 8 99 109 20 109 0 602 EQ1 179 8 0 36 499 4 NC Como Q1 e positiva o campo eletrico EQ1 aponta para fora de Q1 ou seja para a direita 2 Campo eletrico gerado por Q2 no ponto P EQ2 k Q2 d2 Q2P EQ2 8 99 109 30 109 0 402 EQ2 269 7 0 16 1685 6 NC Como Q2 tambem e positiva o campo EQ2 aponta para fora de Q2 ou seja para a direita 3 Campo eletrico gerado por Q3 no ponto P EQ3 k Q3 d2 Q3P 8 EQ3 8 99 109 30 109 0 202 EQ3 269 7 0 04 6742 5 NC Como Q3 e positiva o campo EQ3 aponta para fora de Q3 ou seja para a esquerda 4 Campo eletrico gerado por Q4 no ponto P EQ4 k Q4 d2 Q4P EQ4 8 99 109 25 109 0 502 EQ4 224 75 0 25 899 NC Como Q4 e negativa o campo EQ4 aponta para Q4 ou seja para a direita Direcao dos vetores EQ1 EQ2 EQ4 apontam para a direita EQ3 aponta para a esquerda Calculo do campo eletrico resultante Vamos somar os campos eletricos de acordo com suas direcoes Etotal EQ1 EQ2 EQ4 EQ3 Substituindo os valores Etotal 499 4 1685 6 899 6742 5 Etotal 3084 6742 5 Etotal 3658 5 NC Resumo Modulo do campo eletrico total 3658 5 NC Direcao Para a esquerda pois o campo gerado por Q3 e dominante Sentido O campo resultante aponta para a esquerda na direcao de Q3 72 b Vamos calcular o campo eletrico resultante no ponto P considerando as cargas Q1 Q2 Q3 e Q4 suas respectivas distˆancias ate P e o fato de que cada carga pode atrair ou repelir o campo eletrico dependendo do seu sinal Dados fornecidos Q1 80 nC 80 109 C Q2 30 nC 30 109 C Q3 30 nC 30 109 C Q4 25 nC 25 109 C Distˆancias de cada carga ate P dQ1P 110 cm 1 10 m dQ2P 90 cm 0 90 m dQ3P 50 cm 0 50 m dQ4P 30 cm 0 30 m Constante eletrostatica no vacuo k 8 99 109 N m2C2 Calculo dos campos eletricos 1 Campo eletrico gerado por Q1 no ponto P EQ1 k Q1 d2 Q1P Substituindo os valores EQ1 8 99 109 80 109 1 102 EQ1 719 2 1 21 594 4 NC Como Q1 e positiva o campo eletrico EQ1 aponta para fora de Q1 ou seja para a direita 9 2 Campo eletrico gerado por Q2 no ponto P EQ2 k Q2 d2 Q2P Substituindo os valores EQ2 8 99 109 30 109 0 902 EQ2 269 7 0 81 332 8 NC Como Q2 e positiva o campo EQ2 aponta para fora de Q2 ou seja para a direita 3 Campo eletrico gerado por Q3 no ponto P EQ3 k Q3 d2 Q3P Substituindo os valores EQ3 8 99 109 30 109 0 502 EQ3 269 7 0 25 1078 8 NC Como Q3 e negativa o campo EQ3 aponta para Q3 ou seja para a esquerda 4 Campo eletrico gerado por Q4 no ponto P EQ4 k Q4 d2 Q4P Substituindo os valores EQ4 8 99 109 25 109 0 302 EQ4 224 75 0 09 2497 2 NC Como Q4 e negativa o campo EQ4 aponta para Q4 ou seja para a esquerda Direcao dos vetores EQ1 e EQ2 apontam para a direita EQ3 e EQ4 apontam para a esquerda Calculo do campo eletrico resultante Agora somamos os campos com suas respectivas direcoes Etotal EQ1 EQ2 EQ3 EQ4 Substituindo os valores Etotal 594 4 332 8 1078 8 2497 2 Etotal 927 2 3576 Etotal 2648 8 NC Resumo Modulo do campo eletrico total2648 8 NC Direcao Para a esquerda pois o campo resultante aponta na direcao das cargas negativas Sentido O campo resultante aponta para a esquerda em direcao a Q3 e Q4 cargas negativas 10