Eletromagnetismo

Lista de exercícios 1 Calcule a integral de linha C F dr onde Fx y z x i y j xy k e C é dada pela função vetorial rx y z cos θ i sin θ j θ k 0 θ π 2 Determine se Fx y yex sin y i ex x cos y j é um campo vetorial conservativo 3 Use o teorema do Stokes para calcular C F dr onde Fx y z x²z i xy² j z² k e C é a curva da interseção do plano x y z 1 com o cilindro x² y² 9 4 Use o teorema do divergente para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S para Fx y z xyez i xy²z³ j yez k e S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x 3 y 2 e z 1 Fx y z 3xy² i xez j z³ k e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x² z² 1 e pelos planos y 1 e y 2 Prof Wilmer Lobato M Eletromagnetismo Calculo vetorial 45 45 1 A integral de linha é dada por C F dr onde Fx y z xi yj xyk e a curva C é parametrizada por rθ cosθi sinθj θk 0 θ π Primeiro precisamos encontrar dr que é a derivada de rθ em relação a θ drdθ sinθi cosθj k Então dr sinθi cosθj kdθ Agora precisamos expressar F em termos de θ usando a parametrização rθ x cosθ y sinθ z θ Assim Fθ cosθi sinθj cosθsinθk Agora calculamos o produto escalar F dr F dr cosθi sinθj cosθsinθk sinθi cosθj kdθ F dr cosθsinθ sinθcosθ cosθsinθdθ F dr cosθsinθdθ Agora integramos F dr de 0 a π C F dr 0π cosθsinθdθ Para resolver essa integral podemos usar a substituição u sinθ então du cosθdθ Quando θ 0 u sin0 0 e quando θ π u sinπ 0 0π cosθsinθdθ 00 udu 0 Portanto a integral de linha é C F dr 0 Para determinar se o campo vetorial Fxy yex sin yi ex x cos yj é conservativo precisamos verificar se a condição de campo conservativo é satisfeita Um campo vetorial F Pxyi Qxyj é conservativo se e somente se Py Qx Neste caso temos Pxy yex sin y e Qxy ex x cos y Vamos calcular as derivadas parciais 1 Calcular Py Py y yex sin y ex cos y 2 Calcular Qx Qx x ex x cos y ex cos y Como Py ex cos y e Qx ex cos y temos que Py Qx Portanto o campo vetorial Fxy é conservativo Problema Calcular C Fdr onde Fxyz x²zi xy²j z²k e C é a curva de interseção do plano x y z 1 com o cilindro x² y² 9 Passo 1 Entender o Teorema de Stokes O teorema de Stokes relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada C com uma integral de superfície sobre uma superfície S cuja fronteira é C C Fdr S FdS Passo 2 Calcular o Rotacional de F Primeiro precisamos calcular o rotacional de F F i j k x y z x²z xy² z² F z²y xy²zi x²zx z²zj xy²x x²zyk F 0 0i 0 x²j y² 0k x²j y²k Passo 3 Parametrizar a Superfície S A curva C é a interseção do plano x y z 1 com o cilindro x² y² 9 Podemos parametrizar a superfície S que é a parte do plano dentro do cilindro usando x e y como parâmetros z 1 x y Então a parametrização da superfície é rxy xi yj 1 x yk Passo 4 Calcular o Vetor Normal dS Precisamos calcular o vetor normal dS rx i k ry j k dS rx ry dx dy i k j k dx dy dS i j k 1 0 1 dx dy 1i 1j 1k dx dy i j k dx dy Passo 5 Calcular a Integral de Superfície Agora calculamos a integral de superfície S FdS D x²j y²k i j k dx dy S FdS D 0 x² y² dx dy D x² y² dx dy Onde D é o disco x² y² 9 Passo 6 Converter para Coordenadas Polares Para facilitar a integração convertemos para coordenadas polares x r cos θ y r sin θ x2 y2 r2 dx dy r dr dθ Os limites de integração são 0 r 3 e 0 θ 2π D x2 y2 dx dy 02π 03 r2 r dr dθ 02π 03 r3 dr dθ Passo 7 Calcular a Integral em Coordenadas Polares 02π 03 r3 dr dθ 02π r4403 dθ 02π 344 dθ 814 02π dθ 814 02π dθ 814 θ02π 814 2π 81π2 Resultado Final C F dr 81π2 Portanto o valor da integral de linha é 81π2 4 primeiro item Fx y z xyezi xy2 z3 j yez k E a superfície S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x 3 y 2 e z 1 O teorema da divergência afirma que S F dS V F dV Onde V é o volume delimitado pela superfície S Primeiro vamos calcular a divergência de F F x xyez y xy2 z3 z yez F yez 2xyz3 yez F 2xyz3 Agora vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V Os limites de integração são 0 x 3 0 y 2 0 z 1 V F dV 03 02 01 2xyz3 dz dy dx Primeiro integramos em relação a z 01 2xyz3 dz 2xy z4401 2xy 14 12 xy Agora integramos em relação a y 02 12 xy dy 12 x y2202 12 x 42 x Finalmente integramos em relação a x 03 x dx x2203 92 Portanto o fluxo do campo vetorial F através da superfície S é 92 S F dS 92 segundo item S F dS V F dV 2 Calcular a Divergência de F A divergência de um campo vetorial F Pi Qj Rk é dada por F Px Qy Rz No nosso caso Fx y z 3xy²i xez j z³ k então P 3xy² Q xez R z³ Calculando as derivadas parciais Px 3y² Qy 0 Rz 3z² Portanto a divergência de F é F 3y² 0 3z² 3y² z² 3 Configurar a Integral Tripla Agora precisamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume V O volume é delimitado pelo cilindro x² z² 1 e pelos planos y 1 e y 2 Podemos usar coordenadas cilíndricas para integrar sobre o cilindro Em coordenadas cilíndricas x r cosθ z r sinθ y y x² z² r² dV r dr dθ dy Os limites de integração são 0 r 1 raio do cilindro 0 θ 2π ângulo ao redor do cilindro 1 y 2 limites dos planos A divergência em coordenadas cilíndricas é F 3y² r² sin²θ No entanto como estamos integrando sobre todo o cilindro é mais simples usar a divergência original e substituir z² por r² sin²θ quando necessário A integral tripla é V F dV 12 02π 01 3y² r² sin²θ r dr dθ dy 4 Calcular a Integral Tripla Vamos calcular a integral passo a passo 12 02π 01 3y² z² dx dz dy Primeiro vamos integrar em relação a x e z usando coordenadas cilíndricas onde x² z² r² e dx dz r dr dθ 12 02π 01 3y² r² sin²θ r dr dθ dy Agora vamos integrar em relação a r 01 ry² r² dr 01 y²r r³ dr y²r²2 r⁴4 01 y²2 14 Substituindo de volta na integral 12 02π y²2 14 dθ dy Agora vamos integrar em relação a θ ₀²π y²2 14 dθ y²2 14 ₀²π dθ y²2 14 θ₀²π 2π y²2 14 πy² π2 Finalmente vamos integrar em relação a y ₁² πy² π2 dy π ₁² y² 12 dy π y³3 y2₁² π 83 1 13 12 π 83 1 13 12 π 93 32 π 3 32 π 62 32 9π2 Portanto o fluxo do campo vetorial F através da superfície S é 9π2 Resposta O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é 9π2 S F dS 9π2