Eletromagnetismo

1 20 A figura ao lado mostra duas cargas pontuais 2q e q colocadas respectivamente em z d e z 3d acima de um plano condutor aterrado plano xy Determine a força na carga q 2 30 Uma esfera não condutora de raio R possui carga total Q distribuída uniformemente sobre seu volume a Determine o campo elétrico dentro e fora da esfera b Determine o potencial dentro e fora da esfera Use o infinito como ponto de referência c Determine a energia eletrostática desse sistema 3 20 A figura mostra um fio reto infinito e uma espira quadrada de lado l ambos transportando uma corrente elétrica de magnitude i A distância entre o fio e a espira é d Determine a força magnética de interação entre as correntes 4 30 Uma barra de metal de massa m desliza sem atrito sobre dois trilhos condutores separados por uma distância l Um resistor R está conectado entre os trilhos e um campo magnético uniforme B perpendicular ao plano dos trilhos preenche toda a região a Se a barra se move para a direita com velocidade v qual a corrente no resistor Em que direção ela flui b Qual a força magnética sobre a barra Em que direção e sentido c Se a barra começar a deslizar com velocidade v0 mostre que sua velocidade varia no tempo de acordo com v v0 ettau onde a constante de tempo é tau Rm B2 l2 e Mostre que a energia total dissipada por efeito Joule até a barra parar é dada por m v02 2 1 20 A figura ao lado mostra duas cargas pontuais 2q e q colocadas respectivamente em z d e z 3d acima de um plano condutor aterrado plano xy Determine a força na carga q A situação envolve duas cargas pontuais acima de um plano condutor aterrado plano xy uma carga 2q em z d e uma carga q em z 3d Pedese a força sobre a carga q Como o plano é condutor aterrado usase o método das imagens cada carga real em 0 0 z0 é substituída para efeitos de campo na região z 0 por uma cargaimagem de mesmo módulo e sinal oposto em 0 0 z0 O campo real na região z 0 é a superposição dos campos gerados pelas cargas reais e por essas imagens Definese z como o versor positivo de z A carga q está no ponto 0 0 3d Ela sente forças de três fontes Da carga real 2q em 0 0 d A distância entre 3d e d é 3d d 2d Pela lei de Coulomb o módulo é Fi k q 2q 2d2 k 2q2 4d2 k 12 q2 d2 Como os sinais são opostos a força aponta para baixo em direção à 2q isto é no sentido z Em forma vetorial Fi k 12 q2 d2 z Da imagem da carga 2q que é 2q em 0 0 d A distância entre 3d e d é 3d d 4d O módulo é Fii k q 2q 4d2 k 2q2 16d2 k 18 q2 d2 Como os sinais são iguais a força é repulsiva e aponta para cima no sentido z Fii k 18 q2 d2 z Da imagem da própria carga q que é q em 0 0 3d A distância entre 3d e 3d é 3d 3d 6d O módulo é Fiii k q q 6d2 k q2 36d2 k 136 q2 d2 Como os sinais são opostos a força é atrativa apontando para baixo Fiii k 136 q2 d2 z Somando as três contribuições a força total sobre q é F Fi Fii Fiii k q2 d2 18 12 136 z Efetuando as somas com denominador comum 72 18 12 136 972 3672 272 2972 Logo F 2972 k q2 d2 z com k 1 4πε0 2 30 Uma esfera não condutora de raio R possui carga total Q distribuída uniformemente sobre seu volume a Determine o campo elétrico dentro e fora da esfera b Determine o potencial dentro e fora da esfera Use o infinito como ponto de referência c Determine a energia eletrostática desse sistema Considere uma esfera isolante não condutora de raio R cujo volume contém carga total Q distribuída de modo uniforme Pela simetria esférica o campo elétrico e o potencial dependem apenas da distância r ao centro e o campo é radial Er Er r Seja k 1 4πε0 a Campo elétrico dentro e fora A densidade volumétrica é constante ρ Q volume da esfera Q 43 π R3 3Q 4π R3 Para r R usando uma superfície gaussiana esférica de raio r a carga envolvida é Qenc ρ 43 π r3 3Q 4π R3 43 π r3 Q r3 R3 A lei de Gauss afirma E d A E r 4 π r 2 Q enc ε 0 Q ε 0 r 3 R 3 Isolando E r E r Q 4 π ε 0 r R 3 k Q r R 3 Logo E r k Q r R 3 r 0 r R apontando para fora se Q 0 e para dentro se Q 0 Para r R a superfície gaussiana envolve toda a carga Q E r 4 π r 2 Q ε 0 E r k Q r 2 r r R coincidiendo em r R k Q R 2 Observase que E 0 0 por simetria b Potencial elétrico dentro e fora com V 0 Por definição escalar ao longo de uma radial V r r E d 𝗅 Para r R usase E r k Q r r 2 V r r k Q r 2 d r k Q 1 r r V r k Q r r R Para r R somase a queda de potencial do infinito até R com a de R até r Como V R k Q R e para R r r E r k Q r r R 3 obtémse V r V R R r k Q r R 3 d r k Q R k Q R 3 r 2 2 r R Calculando a diferença no colchete r 2 2 R 2 2 r 2 R 2 2 Então V r k Q R k Q 2 R 3 r 2 R 2 k Q 2 R 3 3 R 2 r 2 Logo V r k Q 2 R 3 3 R 2 r 2 0 r R e verificase continuidade em r R V R k Q R A derivada radial dá d V d r E r também contínua em r R por não haver carga superficial c Energia eletrostática do sistema Usase U 1 2 ρ V d τ Como ρ é nula fora da esfera integrase apenas em 0 r R Com ρ 3 Q 4 π R 3 V r k Q 2 R 3 3 R 2 r 2 e d τ 4 π r 2 d r U 1 2 3 Q 4 π R 3 4 π 0 R k Q 2 R 3 3 R 2 r 2 r 2 d r Colocando constantes em evidência U 1 2 3 Q R 3 k Q 2 R 3 0 R 3 R 2 r 2 r 2 d r A integral é 0 R 3 R 2 r 2 r 4 d r 3 R 2 0 R r 2 d r 0 R r 4 d r 3 R 2 R 3 3 R 5 5 R 5 R 5 1 1 5 R 5 4 5 R 5 Substituindo U 1 2 3 Q R 3 k Q 2 R 3 4 5 R 5 3 4 4 5 k Q 2 R 3 5 k Q 2 R Portanto U 3 5 k Q 2 R 3 Q 2 20 π ε 0 R que é o resultado clássico para uma esfera maciça uniformemente carregada Resumo final organizado por regiões E r k Q r R 3 r 0 r R k Q r 2 r r R V r k Q 2 R 3 3 R 2 r 2 0 r R k Q r r R U 3 5 k Q 2 R Lado esquerdo vertical A corrente é e a distância ao fio varia de y d até y d Como y μ0 i 2πy dFesq i dy μ0 i 2πy μ0 i 2 2πy dy μ0 i 2 2πy dy Integrando Fesq μ0 i 2 2π d d dyy x μ0 i 2 2π ln d d Lado direito vertical A corrente é O cálculo é análogo com sinal oposto Fdir μ0 i 2 2π ln d d Somando Fesq Fdir 0 as forças horizontais cancelam A força líquida é puramente vertical soma dos lados horizontal inferior e superior Fnet Finf Fsup μ0 i 2 2π 1d 1d Dentro do parêntese 1d 1d d ddd dd Portanto Fnet μ0 i 2 2 2π dd isto é a espira é puxada para cima Pelo par açãoreação o fio sente força do mesmo módulo e direção contrária 4 30 Uma barra de metal de massa m desliza sem atrito sobre dois trilhos condutores separados por uma distância Um resistor R está conectado entre os trilhos e um campo magnético uniforme B perpendicular ao plano dos trilhos preenche toda a região a Se a barra se move para a direita com velocidade v qual a corrente no resistor Em que direção ela flui b Qual a força magnética sobre a barra Em que direção e sentido c Se a barra começar a deslizar com velocidade v0 mostre que sua velocidade varia no tempo de acordo com vv0e tτ onde a constante de tempo é τ RmB 2 2 e Mostre que a energia total dissipada por efeito Joule até a barra parar é dada por mv0 2 2 Considere dois trilhos ideais separados por uma distância um resistor R fechando o circuito no lado esquerdo e uma barra condutora móvel de massa m completando o lado direito do retângulo O campo magnético é uniforme de módulo B perpendicular ao plano do circuito e entrando na página indicado por isto é B A barra movese para a direita com velocidade v a Corrente induzida no resistor e seu sentido A força magnética sobre cargas na barra é q Com v e B B vB vB Logo cargas positivas são empurradas para cima na barra A fem motional ao longo da barra é d 0 vB dy B v d 0 vB dy B v A corrente no circuito vale I R B vR Pela lei de Lenz o fluxo magnético instantâneo tende a se manter constante Assim deve surgir um fluxo induzido no sentido oposto ao fluxo original ou seja para fora da página Pela regra da mão direita esse fluxo é produzido por uma corrente no sentido antihorário na espira b Força magnética sobre a barra direção e sentido No trecho retilíneo da barra aponta para e B A força total é Fbarra I B IB Substituindo I B vR Fbarra B 2 2 R v que aponta para a esquerda isto é opõese ao movimento da barra em acordo com a lei de Lenz c Lei de movimento quando a barra começa com velocidade v0 Sem atrito mecânico a única força horizontal é Fbarra Pela segunda lei de Newton m dvdt B 2 2 R v Separando variáveis dvv B 2 mR 2 dt Integrando de v0 até vt e de 0 até t ln vtv0 B 2 2 mR t Elevando e em ambos os membros vt v0 e tτ τ RmB 2 2 e Energia total dissipada por efeito Joule até a barra parar A potência dissipada no resistor é Pt I²R Usando I Bℓ R vt e vt v₀ etτ Pt B ℓ R v₀ etτ² R B² ℓ² R v₀² e2tτ A energia dissipada até t é EJ ₀ Pt dt B² ℓ² R v₀² ₀ e2tτ dt B² ℓ² R v₀² τ 2 Com τ R m B² ℓ² EJ B² ℓ² R v₀² 12 R m B² ℓ² 12 m v₀² Assim EJ 12 m v₀² isto é toda a energia cinética inicial da barra é convertida em calor no resistor coerente com a força magnética não conservativa que realiza trabalho de frenagem igual à perda de energia mecânica