Estatística Descritiva - Conceitos e Definições Essenciais

Estatıstica Descritiva Dra Tatiane Alvarenga Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 1 154 Estatıstica Descritiva Definicao Para muitas pessoas a palavra Estatıstica lembra numeros Elas tˆem razao em parte Estatıstica E a ciˆencia que fornece os princıpios e os metodos para coleta organizacao resumo analise e interpretacao de dados auxiliando a tomar decisoes ou tirar conclusoes em situacoes de incerteza Podemos dividir a Estatıstica em trˆes areas 1 Estatıstica descritiva 2 Probabilidade 3 Inferˆencia estatıstica Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 2 154 Estatıstica Descritiva Exemplos Um certo programa pode ser usado com uma entre duas subrotinas A e B dependendo do problema A experiˆencia tem mostrado que a subrotina A e usada 40 das vezes e a B e usada 60 das vezes Se A e usada existe 75 de chance de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo Se B e usada a chance e de 50 Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo qual a chance de que a subrotina A tenha sido a escolhida Estatıstica Incerteza Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 3 154 Estatıstica Descritiva Algumas Definicoes Populacao E uma colecao completa de todos os elementos a serem estudados pessoas sujeitos organismos objetos e que possuem certa caracterıstica comum de modo que a pergunta e a eles direcionada Na pergunta Qual e a incidˆencia de dengue na cidade de Maringa a caracterıstica comum a todas as pessoas e ser morador da cidade de Maringa Observacao A populacao deve ser bem definida Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 4 154 Estatıstica Descritiva Algumas Definicoes Censo E um conjunto de dados obtidos de todos os membros da populacao A obtencao de dados de todos os elementos da populacao pode ser inviavel Amostra E um subconjunto de membros selecionados de uma populacao para obter a informacao desejada Observacao A amostra deve ser representativa da populacao da qual foi retirada Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 5 154 Estatıstica Descritiva Algumas Definicoes Variavel Qualquer caracterıstica de interesse associada aos elementos de uma populacao Pode assumir diferentes valores ou classificacoes para diferentes sujeitos organismos ou objetos selecionados para nosso estudo Sao sempre escolhidas de acordo com o objetivo da investigacao a ser realizada A seguir seguem as classificacoes das variaveis e um exemplo de investigacao sendo que cada pergunta define uma variavel de interesse para a empresa sendo assim classifiqueas Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 6 154 Estatıstica Descritiva Algumas Definicoes Classificacao de variaveis Qualitativa Nominal Ex cor sexo estado civil Ordinal Ex grau de escolaridade classe social porte de empresa Quantitativa Discreta Ex n de pessoas n de defeitos Contınua Ex peso temperatura preco Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 7 154 Estatıstica Descritiva Exemplo O Windows e um software produzido pela Microsoft Co Na elaboracao do Windows XPa Microsoft telefonou para milhares de usuarios da versao an terior e perguntou a eles como o produto poderia ser melhorado Considere que as seguintes perguntas foram feitas aos clientes Vocˆe sempre usa o Windows em sua casa Sim ou nao Qualitativa nominal Qual e a sua idade Quantitativa contınua Se a velocidade do Windows pudesse ser alterada qual das seguintes mudancas vocˆe preferiria mais lento inalterado ou mais rapido Qualitativa ordinal Quantas pessoas em sua casa usaram o Windows pelo menos uma vez Quantitativa discreta Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 8 154 Estatıstica Descritiva Estatıstica Resumo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 9 154 Estatıstica Descritiva Algumas Definicoes Tecnicas de Amostragem Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 10 154 Estatıstica Descritiva Tecnicas de amostragem Amostragem Aleatoria Simples AAS Deve ser realizada em populacoes estritamente homogˆeneas Consiste em sortear n elementos aleatorios de uma populacao de tamanho N de modo que todos tenham a mesma chance de ocorrer 1N Este sorteio pode ser feito pelo computador calculadora papelzinho etc Exemplo QUADRO Amostragem Aleatoria Sistematica AS Utilizada em populacoes homogˆeneas que possuam indivıduos dispostos em uma ordem A unica exigˆencia e que os elementos estejam organizados em uma serie Sorteiase apenas o primeiro elemento e os demais sao tomados a uma distˆancia k do inicial O valor de k pode ser definido como k Nn Exemplo QUADRO Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 11 154 Técnicas de amostragem Amostragem Aleatória Estratificada AAE Utilizada quando a população é heterogênea mas pode ser dividida em estratos homogêneos Geralmente estes estratos são subdivisões bem particulares da população grupos com características distintas Realizase então uma AAS dentro de cada estrato Uma vez determinado o tamanho da amostra n é necessário definir o tamanho da amostra em cada estrato ni que deve ser proporcional ao tamanho do estrato Ni Determinase este tamanho por ni Ni Nn desde que ni n Estatıstica Descritiva Tecnicas de amostragem Uma empresa na area de tecnologia tem N 3414 empregados subdivididos nos seguintes setores Funcionarios com ensino superior 314 Funcionarios com ensino tecnico 948 Funcionarios das vendas 1451 e outros 701 Para se estudar o nıvel salarial medio da empresa resolveuse fazer uma amostra de n 180 funcionarios Vocˆe julga que a ASA seria apropriada para este caso Se nao for o que vocˆe recomendaria Dˆe todos os detalhes do dimensionamento da amostra Resolucao QUADRO Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 13 154 Estatıstica Descritiva Tecnicas de amostragem Amostragem Aleatoria por Conglomerado AAC Deve ser utilizado em populacoes heterogˆeneas e consiste na divisao da populacao em grupos com as mesmas caracterısticas da populacao ao contrario dos estratos ou seja e feita divisao em subpopulacoes Nao e necessario realizar amostragem em todos os conglomerados uma vez que cada um deles devem reproduzir bem as caracterısticas da populacao A divisao em conglomerados nao deve comprometer a representatividade em razao da naoobservacao dos outros conglomerados A partir daı sorteiase uma amostra AAS AS AAE dentro de alguns conglomerados Seu principal objetivo e a economia de tempo e recursos Exemplo QUADRO Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 14 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 15 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 16 154 Estatıstica Descritiva O que fazer com os dados coletados Etapa inicial Estatıstica Descritiva Analise Exploratoria Consiste em descrever e resumir um conjunto de dados apresentando caracterısticas importantes tais como Medida central Indica onde se localiza o meio dos dados Variacao Indica quanto os valores dos dados variam entre si Distribuicao Como os dados se distribuem de forma simetrica assimetrica na forma de sino uniforme Valores discrepantes ou outliers Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 17 154 Estatıstica Descritiva Ferramentas usadas Ordenacao de dados Representacao na forma de tabelas Representacao na forma de graficos Formulas matematicas para calcular grandezas medidas resumo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 18 154 Estatıstica Descritiva Consideracoes Suponha que X representa uma variavel Denotase por x x1 x2 xn n observacoes da variavel X Desejamos conhecer o comportamento da variavel X Para isso considere as seguintes definicoes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 19 154 Estatıstica Descritiva Definicoes Importantes Dados Brutos E o conjunto de observacoes de uma variavel apresentados da forma em que foram coletados Ex 3 7 2 1 5 7 Rol E o conjunto de observacoes de uma variavel apresentados da forma ordenada crescente ou decrescente Ex 1 2 3 5 7 7 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 20 154 Estatıstica Descritiva Definicoes Importantes Em uma notacao geral podemos denotar os dados brutos e o rol das seguintes formas Dados Brutos x1 x2 x3 xn Rol x1 x2 x3 xn tal que x1 x2 x3 xn crescente ou x1 x2 x3 xn decrescente em que n representa o tamanho da amostra ou o numero total de indivıduos na amostra Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 21 154 Estatıstica Descritiva Organizacao dos dados Uma das formas de organizar e resumir a informacao contida em dados observados e por meio de tabelas de frequˆencia e graficos Vantagens Facilitar a leitura dos dados Compreensao dos dados Obter informacao sobre a populacao Fazer comparacoes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 22 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Numero de acidentes diario em um determinado cruzamento Numero de Acidentes 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 23 154 Estatıstica Descritiva Ordenacao de dados ou Rol Representacao dos dados ordenados ou Rol x1 x2 xn Amplitude do Rol A xn x1 Numero de acidentes 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 n 50 O Mınimo e o Maximo x1 0 e xn 3 Amplitude do Rol A xn x1 3 0 3 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 24 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Definicoes 1 A frequˆencia de um valor da variavel e o numero de vezes que este valor ocorre no conjunto de dados 2 Uma distribuicao de frequˆencia ou tabela de frequˆencia lista os valores observados individualmente ou por intervalos classes juntamente com sua frequˆencia contagem Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 25 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Simples Listar as observacoes que ocorreram Numero de vezes que cada observacao ocorreu Tabela Distribuicao de frequˆencia do numero de acidentes N de acidentes Frequˆencia xi fi 0 31 1 16 2 2 3 1 Total 50 i 1 2 3 e 4 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 26 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Simples Tabelas de distribuicao de frequˆencia absoluta fi Tabelas de distribuicao de frequˆencia relativa fri Tabelas de distribuicao de frequˆencia acumulada Fi Tabelas de distribuicao de frequˆencia acumulada relativa Fri Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 27 154 Tabela de Frequência Simples fi Número de vezes que ocorreu ci n i1 até k fi em que k é o número de classes fri fi i1 até k fi fi n ou fri fi n 100 Fi Número observações abaixo ou igual a ci Fri Fi n ou Fri Fi n 100 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Simples Variavel quantitativa discreta Tabela Distribuicao de frequˆencia do numero de acidentes N de acidentes Frequˆencias Absoluta Relativa Acumulada Acum Relativa xi fi fri Fi Fri 0 31 1 16 2 2 3 1 Total 50 i 1 2 3 e 4 k 4 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 29 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Simples Variavel quantitativa discreta Tabela Distribuicao de frequˆencia do numero de acidentes N de acidentes Frequˆencias Absoluta Relativa Acumulada Acum Relativa xi fi fri Fi Fri 0 31 062 31 062 1 16 032 47 094 2 2 004 49 098 3 1 002 50 100 Total 50 100 i 1 2 3 e 4 k 4 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 30 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 31 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 32 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia Simples Variavel qualitativa Tabela Distribuicao de frequˆencia para o estado civil Estado civil Frequˆencias Absoluta Relativa Acumulada Acum Relativa xi fi fri Fi Fri CASADA 30 075 30 075 DIVORCIADA 5 0125 35 0875 SOLTEIRA 1 0025 36 090 VIUVA 4 010 40 100 Total 40 100 i 1 2 3 e 4 k 4 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 33 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Variavel Quantitativa contınua Variavel em estudo peso de eletrˆonicos 813 823 860 880 897 905 912 930 935 978 980 986 990 995 1000 1011 1013 1015 1016 1023 1031 1033 1040 1046 1050 1114 1129 1146 1205 1214 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 34 154 Estatıstica Descritiva Ordenacao de dados ou Rol Pesos ja encontramse ordenados 8 13 8 23 12 14 n 30 O Mınimo e o Maximo x1 8 13 e xn 12 14 Amplitude do Rol A xn x1 12 14 8 13 4 01 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 35 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Para construir uma tabela de frequˆencia por classes Numero de classes numero de intervalos que irao agrupar os dados Limites inferiores de classes sao os menores numeros de cada classe Limites superiores de classes Sao os maiores numeros de cada classe Pontos medios das classes sao os pontos medios de cada intervalo que determina cada classe Amplitude da classe E a diferenca entre os limites inferior e superior de cada classe ou a diferenca entre as fronteiras de cada classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 36 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Representacao das classes a b a b a b a b a b ou a b a b Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 37 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Qual o numero de classes k ideal k n k e representado pelo inteiro mais proximo da raiz quadrada de n Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 38 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Para construir uma tabela de frequˆencia por classes Passo 1 Ordenacao dos dados x1 x2 xn Passo 2 Calcular o numero de classes k Passo 3 Calcular a amplitude das classes c sendo c Ak 1 em que A xn x1 Passo 4 Calcular os limites inferior LI e superior LS de cada classe sendo LI1 x1 c2 LS1 LI1 cO limite superior da primeira classe corresponde ao limite inferior da segunda classe Basta somar c e temse o limite superior da segunda classe Esse processo e repetido ate que se tenham k classes Passo 5 Contagem das observacoes dentro de cada classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 39 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Exemplo Pesos dos eletrˆonicos PASSOS NO QUADRO Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 40 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Representacao das frequˆencias absolutas por classes Pesos dos eletrˆonicos Freq Absoluta Classes fi 7 63 8 63 7 63 8 63 3 8 63 9 63 8 63 9 63 6 9 63 10 63 9 63 10 63 16 10 63 11 63 10 63 11 63 3 11 63 12 63 11 63 12 63 2 Total 30 i 1 2 3 4 e 5 k 5 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 41 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Tambem podemos obter frequˆencia relativa fri sendo fri fin frequˆencia percentual fpi sendo fpi frix100 frequˆencia acumulada Fi Obs Podemos calcular a frequˆencia acumulada para baixo Fi ou para cima Fi Ponto medio das classes Pmi LIi LSi 2 i 1 2 k Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 42 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Distribuicao de frequˆencia por classes dos pesos dos eletrˆonicos Pesos Frequˆencias Ponto Classes Abs Relat Perc Acum para baixo Acum para cima Medio ci fi fri fpi Fi Fi Pmi 7 63 8 63 3 8 63 9 63 6 9 63 10 63 16 10 63 11 63 3 11 63 12 63 2 Total 30 i 1 2 3 4 5 k 5 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 43 154 Estatıstica Descritiva Tabela de Frequˆencia por Classes Distribuicao de frequˆencia por classes dos pesos dos eletrˆonicos Pesos Frequˆencias Ponto Classes Abs Relat Perc Acum para baixo Acum para cima Medio fi fri fpi Fi Fi Pmi 7 63 8 63 3 01 10 3 30 813 8 63 9 63 6 02 20 9 27 913 9 63 10 63 16 053 53 25 21 1013 10 63 11 63 3 01 10 28 5 1113 11 63 12 63 2 007 7 30 2 1213 Total 30 1 100 i 1 2 3 4 5 k 5 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 44 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo medidas numericas Ferramentas de estatıstica descritiva que permitem caracterizar um conjunto de dados quantitativos de acordo com sua tendˆencia central ou a dispersao dos dados estudados Medidas de Posicao Caracterizar um conjunto de observacoes por meio de um valor em torno do qual estas se distribuem Por exemplo moda media mediana medidas de tendˆencia central quantis quartis decis percentis Medidas de Dispersao Encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados Por exemplo amplitude intervalo interquartil variˆancia desviopadrao coeficiente de variacao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 45 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo medidas numericas Ferramentas de estatıstica descritiva que permitem caracterizar um conjunto de dados quantitativos de acordo com sua tendˆencia central ou a dispersao dos dados estudados Medidas de Posicao Caracterizar um conjunto de observacoes por meio de um valor em torno do qual estas se distribuem Por exemplo moda media mediana medidas de tendˆencia central quantis quartis decis percentis Medidas de Dispersao Encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados Por exemplo amplitude intervalo interquartil variˆancia desviopadrao coeficiente de variacao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 45 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo medidas numericas Ferramentas de estatıstica descritiva que permitem caracterizar um conjunto de dados quantitativos de acordo com sua tendˆencia central ou a dispersao dos dados estudados Medidas de Posicao Caracterizar um conjunto de observacoes por meio de um valor em torno do qual estas se distribuem Por exemplo moda media mediana medidas de tendˆencia central quantis quartis decis percentis Medidas de Dispersao Encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados Por exemplo amplitude intervalo interquartil variˆancia desviopadrao coeficiente de variacao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 45 154 Medidas Resumo Medidas de Posição Média Aritmética média amostral para os variáveis quantitativas contínuas ou discretas dados não agrupadas É a soma das observações dividido pelo número total delas Notação X X X1 X2 X3 Xn n i1 até n Xi n Para os variáveis quantitativas discretas Dados agrupados x i xi fi i fi Média a Média Aritmética Simples Para dados agrupados com intervalos de classe Neste caso convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio e determinamos a média aritmética por meio da fórmula x i Pmi fi i fi onde Pmi e fi denotam o ponto médio e a frequência da iésima classe respectivamente Estatıstica Descritiva Media b Media Aritmetica Ponderada A cada observacao xi e atribuıdo um peso ponderacao pi x x1p1 x2p2 xnpn p1 p2 pn Para dados agrupados sem intervalos de classe xi e o valor da variavel Para dados agrupados com intervalos de classe xi e o ponto medio da classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 48 154 Estatıstica Descritiva Media Exemplo Sabendose que o numero de acessos ao site de uma empresa da area de tecnologia durante uma semana foi de 10 14 13 15 16 18 e 12 acessos temos que a media de acessos e x 10 14 13 15 16 18 12 7 98 7 14 As vezes a media pode ser um numero diferente de todos os da serie de dados que ela representa E o que acontece quando temos os valores 2 4 8 e 9 para os quais a media e 5 Esse sera o numero representativo da serie de valores embora nao esteja representado nos dados originais Neste caso costumamos dizer que a media nao tem existˆencia concreta Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 49 154 Média a Média Aritmética Simples Para dados agrupados sem intervalos de classe Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos tomando para variável o número de filhos do sexo masculino Tabela Número de filhos do sexo masculino N de meninos xi fi 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 Total fi 34 Média Neste caso como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável elas funcionam como fatores de ponderação o que nos leva a calcular a média através da seguinte fórmula x i xifi i fi onde xi e fi denotam o valor da variável e a frequência da iésima classe respectivamente O modo mais prático de obtenção da média em dados agrupados sem intervalos de classe é abrir na tabela uma coluna correspondente aos produtos xifi Nº de meninos fi xifi 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 Total 34 78 Temos então i xifi 78 e i fi 34 logo x i xifi i fi x 7834 x 23 isto é x 23 meninos Estatıstica Descritiva Media OBSERVAC AO Sendo x uma variavel discreta como interpretar o resultado obtido 2 meninos e 3 decimos de menino O valor medio 2 3 meninos sugere nesse caso que o maior numero de famılias tem 2 meninos e 2 meninas sendo porem a tendˆencia geral de uma leve superioridade numerica em relacao ao numero de meninos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 54 154 Média Aritmética Simples Para dados agrupados com intervalos de classe Neste caso convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio e determinamos a média aritmética por meio da fórmula xiPmifi ifi onde Pmi e fi denotam o ponto médio e a frequência da iésima classe respectivamente Média Consideremos a distribuição Tabela Alturas em cm dos alunos de uma sala Altura cm fi 150 154 4 154 158 9 158 162 11 162 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 FONTE Fictícia Média Pela mesma razão do caso anterior vamos inicialmente abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os produtos xi fi Altura cm fi Pmi Pmi fi 150 154 4 152 608 154 158 9 156 1404 158 162 11 160 1760 162 166 8 164 1312 166 170 5 168 840 170 174 3 172 516 Total 40 6440 Média Temos então i Pmi fi 6440 e i fi 40 logo x i Pmi fi i fi x 6440 40 x 161 cm Estatıstica Descritiva Media b Media Aritmetica Ponderada A cada observacao xi e atribuıdo um peso ponderacao pi x x1p1 x2p2 xnpn p1 p2 pn Para dados agrupados sem intervalos de classe xi e o valor da variavel Para dados agrupados com intervalos de classe xi e o ponto medio da classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 59 154 Estatıstica Descritiva Media b Exemplo Media Aritmetica Ponderada A nota final de um aluno num determinado curso e dado pela media ponderada das notas obtidas nas tres provas durante o semestre sendo prova 1 prova 2 e prova 3 respectivamente com os pesos 1 1 e 2 Calcule a nota media na disciplina sabendo que o aluno tirou 65 4 e 7 respectivamente na prova 1 2 e 3 x x1p1 x2p2 xnpn p1 p2 pn x 6 5x1 4x1 7x2 1 1 2 x 6 125 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 60 154 Estatıstica Descritiva Media b Exemplo Media Aritmetica Ponderada A nota final de um aluno num determinado curso e dado pela media ponderada das notas obtidas nas tres provas durante o semestre sendo prova 1 prova 2 e prova 3 respectivamente com os pesos 1 1 e 2 Calcule a nota media na disciplina sabendo que o aluno tirou 65 4 e 7 respectivamente na prova 1 2 e 3 x x1p1 x2p2 xnpn p1 p2 pn x 6 5x1 4x1 7x2 1 1 2 x 6 125 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 60 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da media 1 E uma medida de tendˆencia central que por uniformizar os valores da serie nao representa bem os conjuntos que revelam tendˆencias extremas Desse modo e grandemente influenciada pelos valores extremos da serie Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 61 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da media Exemplo Durante o semestre letivo um estudante obteve em determinada disciplina as seguintes notas correspondentes a trabalhos escolares e em ordem cronologica dos mesmo 30 35 25 30 25 35 35 95 90 e 100 Vamos calcular a media desse aluno na disciplina em questao x 30 35 25 30 25 35 35 95 90 100 10 500 10 50 Observemos pela simples inspecao das notas que se trata de um aluno ruimque da o celebre pulo do gato no final do semestre para tentar a aprovacao que parece ter conseguido caso a nota mınima de aprovacao for 50 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 62 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da media Como a nota media deve traduzir o aproveitamento do aluno durante TODO o semestre e a media 50 so foi conseguida a custa dos trˆes ultimos trabalhos onde o aluno obteve notas muito altas concluımos que 50 e um valor falho para medir o aproveitamento do aluno mesmo que calculado de maneira correta Observamos assim que a media foi grandemente influenciada pelos valores extremos da serie de dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 63 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da media 2 Nao necessariamente tem existˆencia real isto e nem sempre e um elemento que faca parte do conjunto de dados embora pertenca obrigatoriamente ao intervalo entre o menor e o maior valor da variavel 3 Se cada dado for somado ou subtraıdo ou multiplicado ou dividido por uma contante K os novos valores da media serao respectivamente x k x k xk e xk Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 64 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da media 4 E a medida de posicao mais conhecida e de maior emprego 5 E facilmente calculavel 6 Pode ser tratada algebricamente propriedades conforme apresentado em 3 7 Serve para compararmos conjuntos semelhantes 8 Depende de todos os valores da serie de dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 65 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Mediana E a observacao que ocupa a posicao central do conjunto de observacoes amostra quando estao ordenados em forma crescente ou decrescente Notacao Md Vantagem da Mediana Menos afetada pela presenca de valores extremos Interpretacao Metade dos valores e maior ou igual a mediana enquanto a outra metade e menor ou igual a ela Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 66 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Mediana E a observacao que ocupa a posicao central do conjunto de observacoes amostra quando estao ordenados em forma crescente ou decrescente Notacao Md Vantagem da Mediana Menos afetada pela presenca de valores extremos Interpretacao Metade dos valores e maior ou igual a mediana enquanto a outra metade e menor ou igual a ela Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 66 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Como encontrar a mediana Passo 1 Ordenar os dados ou seja construir o rol Passo 2 Encontrar a posicao da mediana P n 2 A mediana sera o elemento de tal forma que Md xPxP1 2 se P e inteiro n par xP1 se P nao e inteiro n ımpar em que P indica a parte inteira do numero P Ex353 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 67 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Como encontrar a mediana Passo 1 Ordenar os dados ou seja construir o rol Passo 2 Encontrar a posicao da mediana P n 2 A mediana sera o elemento de tal forma que Md xPxP1 2 se P e inteiro n par xP1 se P nao e inteiro n ımpar em que P indica a parte inteira do numero P Ex353 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 67 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Como encontrar a mediana Passo 1 Ordenar os dados ou seja construir o rol Passo 2 Encontrar a posicao da mediana P n 2 A mediana sera o elemento de tal forma que Md xPxP1 2 se P e inteiro n par xP1 se P nao e inteiro n ımpar em que P indica a parte inteira do numero P Ex353 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 67 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 2 3 5 3 1 Rol 1 2 3 3 5 P 5 2 25 Md x251 x3 3 Ex 2 Dados 1 3 5 6 35 P 5 2 25 Md x251 x3 5 Ex 3 Dados 3 8 6 1 Rol 1 3 6 8 P 4 2 2 Md x2x3 2 36 2 45 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 68 154 Mediana Md Para dados agrupados sem intervalo de classes A mediana é a menor frequência acumulada que supera o valor ᵢ fᵢ 2 Mediana Md Exemplo Variável quantitativa discreta Tabela Número de filhos do sexo masculino Nº de meninos fi Fi 0 2 2 1 6 8 2 10 18 3 12 30 4 4 34 Total 34 ᵢ fᵢ 2 34 2 17 Estatıstica Descritiva Mediana Md A menor frequˆencia acumulada que supera esse valor e 18 que corresponde ao valor 2 da variavel sendo este o valor da mediana Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 71 154 Mediana Md Para dados agrupados com intervalo de classes Para o cálculo da mediana para dados agrupados com intervalo de classes seguimos o seguinte procedimento 1 Determinamos as frequências acumuladas 2 Calculamos ᵢ fᵢ 2 3 Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à ᵢ fᵢ 2 classe mediana 4 A mediana é dada por Md LI ᵢ fᵢ 2 Fant c fᵢ Estatıstica Descritiva Mediana Md em que LI e o limite inferior da classe mediana Fant e a frequˆencia acumulada da classe anterior a classe mediana f i e a frequˆencia simples da classe mediana c e a amplitude do intervalo da classe mediana Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 73 154 Exemplo Mediana Md Tabela Alturas em cm dos alunos de uma sala Altura cm fi Fi 150 154 4 4 154 158 9 13 158 162 11 24 162 166 8 32 166 170 5 37 170 174 3 40 Total 40 Temos que i fi 2 402 20 Logo a classe mediana é a de ordem 3 Mediana Md LI 158 Fant 13 fi 11 c 4 Substituindo esses valores na fórmula obtemos Md 158 20 13 4 11 158 2811 158 254 16054 Observação No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a i fi 2 a mediana será o limite superior da classe correspondente Mediana Md Exemplo Tomemos a seguinte distribuição de frequências Classes fi Fi 0 10 1 1 10 20 3 4 20 30 9 13 30 40 7 20 40 50 4 24 50 60 2 26 Total 26 Temos que i fi 2 262 13 Logo Md L 30 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da Mediana 1 Nao depende de todos os valores da serie podendo mesmo nao se alterar com a modificacao de alguns deles Exemplo As series A e B possuem a mesma mediana Md 16 embora sejam bem diferentes Serie A 10 13 15 16 18 20 21 Serie B 1 10 13 16 18 20 68 2 Nao e influenciada pelos valores extremos 3 Pode ser calculada para distribuicoes com limites indeterminados na maioria dos casos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 77 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Moda E a realizacao mais frequente do conjunto de valores observados Notacao Mo Ex 1 Dados 2 3 5 3 1 Mo 3 unimodal Ex 2 Dados 4 1 7 4 7 Mo 4 e 7 bimodal Ex 3 Dados 7 8 9 10 10 10 11 11 11 12 13 15 15 15 Mo 10 Mo 11 e Mo 15 multimodal Ex 4 Dados 8 1 7 4 0 moda amodal Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 78 154 Moda Mₒ para dados agrupados a Sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados é possível determinar imediatamente a moda basta fixar o valor da variável de maior frequência Na tabela abaixo a frequência máxima 12 correspondente ao valor 3 da variável Logo Mₒ 3 Tabela Número de filhos do sexo masculino Nº de meninos fᵢ 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 Estatıstica Descritiva Moda Mo para dados agrupados b Com intervalos de classe A classe que apresenta a maior frequˆencia e denominada classe modal Pela definicao podemos afirmar que a moda nesse caso e o valor dominante que esta compreendido entre os limites da classe modal Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 80 154 Moda Mₒ para dados agrupados Exemplo Para a distribuição abaixo temos Tabela Alturas em cm dos alunos de uma sala Altura cm fᵢ 150 154 4 154 158 9 158 162 11 162 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Estatıstica Descritiva Moda Mo para dados agrupados Metodo mais elaborado Formula de Czuber Mo LI d1 d1 d2 c onde Classe modal e classe que possui maior fi LI e o limite inferior da classe modal c e amplitude classe modal d1 e a diferenca entre a frequˆencia da classe modal e a frequˆencia da classe vizinha anterior f f ant d2 e a diferenca entre a frequˆencia da classe modal e a frequˆencia da classe vizinha posterior f f post Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 82 154 Estatıstica Descritiva Moda Mo para dados agrupados Assim para a distribuicao anterior temos d1 11 9 2 d2 11 8 3 Assim Mo 158 2 2 3 4 158 8 5 158 1 6 159 6 Logo Mo 159 6cm Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 83 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da Moda 1 Nao depende de todos os valores da serie nem de sua ordenacao rol podendo mesmo nao se alterar com a modificacao de alguns deles Exemplo As series A e B possuem a mesma moda Mo 7 embora sejam bem diferentes Serie A 6 1 7 7 7 15 7 5 8 12 7 11 Serie B 11 7 7 12 5 5 56 7 7 58 60 7 15 2 Nao e influenciada pelos valores extremos da serie Exemplo A moda Mo 12 da seguinte serie nao foi influenciada pelos grandes valores da serie Serie 7 8 8 8 9 9 12 12 12 12 12 12 13 15 16 88 89 100 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 84 154 Estatıstica Descritiva Vantagens e desvantagens da Moda 3 Sempre tem existˆencia real ou seja sempre e representada por um elemento do conjunto de dados excetuandose o caso de classes de frequˆencias quando trabalhamos com dados agrupados e nao com cada elemento isoladamente Exemplo A serie A possue moda Mo 7 Observe que 7 e um elemento da serie Serie A 6 1 7 7 7 15 7 5 8 12 7 11 4 Pode ser calculada para distribuicoes com limites indeterminados na maioria dos casos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 85 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Quantis quartil decil percentil O quantil de ordem p ou o pquantil indicado por qp sendo p e uma proporcao 0 p 1 e uma medida em que 100p das observacoes sejam menores do que qp Notacao qp Como encontrar o quantil de ordem p Passo 1 Ordenar os dados ou seja construir o rol Passo 2 Encontrar a posicao do pquantil P p n Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 86 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao O quantil de ordem p ou o pquantil sera o elemento de tal forma que qp xPxP1 2 se P e inteiro xP1 se P nao e inteiro Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 87 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Alguns quantis e seus nomes particulares a Quartis divide o rol em 4 partes iguais Notacao Q1 q25 Q2 q50 Q3 q75 b Decis divide o rol em 10 partes iguais Notacao D1 q10 D2 q20 D9 q90 c Percentis ou Centis divide o rol em 100 partes iguais Notacao P1 q1 P2 q2 P99 q99 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 88 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Alguns casos particulares Q1 1quartil P25 25percentil Q2 2quartil Md mediana D5 5decil P50 50percentil Q3 3quartil P75 75percentil D1 1decil P10 10percentil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 89 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Primeiro Quartil Q1 Dados 3 2 8 5 3 7 3 9 2 Rol 2 2 3 3 3 5 7 8 9 n 9 e p 025 ou 25 P n p 9 025 225 Q1 q25 xP1 x2251 x3 3 Ex 2 Terceiro Quartil Q3 Dados 18 13 12 10 17 10 Rol 10 10 12 13 17 18 n 6 e p 075 ou 75 P n p 6 075 45 Q3 q75 xP1 x451 x5 17 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 90 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Primeiro Quartil Q1 Dados 3 2 8 5 3 7 3 9 2 Rol 2 2 3 3 3 5 7 8 9 n 9 e p 025 ou 25 P n p 9 025 225 Q1 q25 xP1 x2251 x3 3 Ex 2 Terceiro Quartil Q3 Dados 18 13 12 10 17 10 Rol 10 10 12 13 17 18 n 6 e p 075 ou 75 P n p 6 075 45 Q3 q75 xP1 x451 x5 17 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 90 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Relacao entre a Media Mediana e Moda util para avaliar a simetria da distribuicao a Assimetria a esquerda dados negativamente assimetricos X Md Mo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 91 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao b Simetria dados simetricos X Md Mo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 92 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao c Assimetria a direita dados positivamente assimetricos X Md Mo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 93 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 3 2 7 2 20 19 4 11 1 16 Rol 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 Mo 2 unimodal x 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 10 85 P 10 2 5 Md x5 x6 2 4 7 2 55 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a direita dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 94 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 3 2 7 2 20 19 4 11 1 16 Rol 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 Mo 2 unimodal x 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 10 85 P 10 2 5 Md x5 x6 2 4 7 2 55 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a direita dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 94 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 3 2 7 2 20 19 4 11 1 16 Rol 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 Mo 2 unimodal x 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 10 85 P 10 2 5 Md x5 x6 2 4 7 2 55 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a direita dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 94 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 3 2 7 2 20 19 4 11 1 16 Rol 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 Mo 2 unimodal x 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 10 85 P 10 2 5 Md x5 x6 2 4 7 2 55 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a direita dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 94 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 1 Dados 3 2 7 2 20 19 4 11 1 16 Rol 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 Mo 2 unimodal x 1 2 2 3 4 7 11 16 19 20 10 85 P 10 2 5 Md x5 x6 2 4 7 2 55 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a direita dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 94 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 2 Dados 35 43 37 47 90 110 116 140 116 Rol 35 37 43 47 90 110 116 116 140 Mo 116 unimodal x 35 37 43 47 90 110 116 116 140 9 8156 P 9 2 45 Md x451 x5 90 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a esquerda dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 95 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 2 Dados 35 43 37 47 90 110 116 140 116 Rol 35 37 43 47 90 110 116 116 140 Mo 116 unimodal x 35 37 43 47 90 110 116 116 140 9 8156 P 9 2 45 Md x451 x5 90 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a esquerda dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 95 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 2 Dados 35 43 37 47 90 110 116 140 116 Rol 35 37 43 47 90 110 116 116 140 Mo 116 unimodal x 35 37 43 47 90 110 116 116 140 9 8156 P 9 2 45 Md x451 x5 90 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a esquerda dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 95 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 2 Dados 35 43 37 47 90 110 116 140 116 Rol 35 37 43 47 90 110 116 116 140 Mo 116 unimodal x 35 37 43 47 90 110 116 116 140 9 8156 P 9 2 45 Md x451 x5 90 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a esquerda dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 95 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Posicao Ex 2 Dados 35 43 37 47 90 110 116 140 116 Rol 35 37 43 47 90 110 116 116 140 Mo 116 unimodal x 35 37 43 47 90 110 116 116 140 9 8156 P 9 2 45 Md x451 x5 90 Como x Md Mo ha um indicativo de assimetria a esquerda dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 95 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Finalidade Encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados Amplitude E a diferenca entre o maior e o menor valor presentes em um conjunto de dados Notacao A A max min Ex 1 Rol 8 9 10 13 14 A 14 8 6 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 96 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Intervalo ou Amplitude Interquartil E a diferenca entre o terceiro quartil e o primeiro quartil Notacao dQ dQ Q3 Q1 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 97 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Ex 1 Dados 7 5 2 9 0 8 8 2 19 13 Rol 0 2 2 5 7 8 8 9 13 19 n 10 p 025 e p 075 P 10 025 25 Q1 q25 xP1 x251 x3 2 P 10 075 75 Q3 q75 xP1 x751 x8 9 dQ Q3 Q1 9 2 7 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 98 154 Medidas Resumo Medidas de Dispersão Variância Amostral É a soma dos quadrados dos desvios xᵢ μ ou xᵢ x dividido pelo número total de elementos da amostra em que μ média da população em geral desconhecida x média da amostra Medidas Resumo Medidas de Dispersão Variância Amostral É a soma dos quadrados dos desvios xi μ ou xi x dividido pelo número total de elementos da amostra em que μ média da população em geral desconhecida x média da amostra Notação σ² variância amostral σ² i1n Xi μ² n se μ é conhecida ou σ² i1n Xi X² n se μ é desconhecida Medidas Resumo Medidas de Dispersão Aqui no curso iremos utilizar S² para estimar descobrir um valor para a variância populacional σ² Seguem as fórmulas para o cálculo de variância dos dados brutos S² i1n Xi X² n 1 ou S² n i1n Xi² i1n Xi² nn 1 S² é a variância amostral adotada e possui boas propriedades não viciado para a variância populacional Obs O variância tem a mesma unidade de medida dos dados elevada ao quadrado Medidas Resumo Medidas de Dispersão A variância amostral do estimador nãoviciado para os dados agrupados S² n i1n fi Xi² i1n fi Xi² nn 1 Obs Para os variáveis com dados agrupados de classificação quantitativa discreta e contínua Xi no cálculo apresentado acima representa os valores respectivamente da classe Xi e do ponto médio da classe PMi Exemplo QUADRO Medidas Resumo Medidas de Dispersão DesvioPadrão Amostral É a raiz quadrada da variância amostral Notação σ ou S σ Σ Xᵢ μ² n se μ é conhecido ou σ² Σ Xᵢ μ² n Σ Xᵢ X² n se μ é desconhecido Medidas Resumo Medidas de Dispersão O desviopadrão amostral do estimador nãoviciado para os dados não agrupados S Σ Xᵢ X² n 1 ou S n Σ Xᵢ² Σ Xᵢ² n n 1 Obs O desviopadrão tem a mesma unidade de medida dos dados Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Ex 1 Considerando o exemplo anterior Dados 2 3 4 7 9 n 5 x 5 s2 85 Entao o desviopadrao amostral e s s2 85 29155 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 104 154 Medidas Resumo Medidas de Dispersão O desviopadrão amostral do estimador nãoviciado para os dados agrupados S n Σ fᵢ Xᵢ² Σ fᵢ Xᵢ² n n 1 Obs Para os variáveis com dados agrupados de classifcação quantitativa discreta e contínua Xᵢ no cálculo apresentado acima representa os valores respectivamente da classe Xᵢ e do ponto médio da classe PMᵢ Exemplo QUADRO Estatıstica Descritiva Propriedades da Variˆancia A variˆancia de um conjunto de valores constantes e zero Somandose ou subtraindose um valor constante e arbritrario a cada elemento de um conjunto de dados a variˆancia nao se altera Multiplicandose ou dividindose por um valor constante e arbritrario cada elemento de um conjunto de dados a variˆancia fica multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 106 154 Estatıstica Descritiva Propriedades do Desvio padrao O desviopadrao de um conjunto de valores constantes e zero Somandose ou subtraindose um valor constante e arbritrario a cada elemento de um conjunto de dados o desviopadrao nao se altera Multiplicandose ou dividindose por um valor constante e arbritrario cada elemento de um conjunto de dados o desviopadrao tambem fica multiplicado ou dividido por essa constante Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 107 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Coeficiente de Variacao Como a variˆancia e o desvio padrao sao medidas que dependem da grandeza escala ou unidade de medida nao e correto comparar a variabilidade de diferentes conjuntos de dados utilizando essas medidas a menos que as unidades e as medias sejam iguais Nos casos em que as medias sao muito desiguais ou as unidades de medida sao diferentes utilizase o coeficiente de variacao CV O CV referese a representacao do desvio padrao como porcentagem da media dos dados isto e CV S X 100 Ob Para expressar o coeficiente de variacao em percentual basta multi plicar por 100 CV Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 108 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Interpretacao Quanto menor o coeficiente de variacao menor e a variacao dos dados Ob O CV e uma medida adimensional sem unidade de medida Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 109 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Ex 1 Considere duas variaveis de interesse X e Y com as seguintes in formacoes X Altura Y Peso x 172m y 687Kg sx 023m sy 123Kg Qual conjunto de dados tem maior variabilidade Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 110 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Erro padrao da media O erro padrao da media Sx e uma medida utilizada para avaliar a precisao da media ou seja fornece um mecanismo para medir a precisao com que a media populacional foi estimada Quanto menor for o valor de Sx maior e a precisao da estimativa da media Ele e definido por Sx S n Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 111 154 Estatıstica Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersao Coeficiente de precisao O coeficiente de precisao CP e uma medida da precisao da media em relacao a propria media De maneira geral quanto menor o valor do CP mais precisa e a estimativa da media Usualmente considerase que se CP 10 a media e estimada com boa precisao CP Sx x 100 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 112 154 Estatıstica Descritiva Representacoes Graficas A apresentacao de dados estatısticos pode ser feita por meio de tabelas ou graficos O grafico estatıstico produz no publico em geral uma impressao rapida e viva do fenˆomeno em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 113 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Qualitativas Os graficos mais utilizados na estatıstica para dados qualitativos sao Grafico de barras Grafico de colunas Grafico de setores Grafico de linhas Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 114 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Barras Consiste em construir retˆangulos ou barras em que uma das dimensoes e proporcional a magnitude a ser representada frequˆencia absoluta fi ou frequˆencia relativa fri sendo a outra arbitraria porem igual para todas as barras Essas barras sao dispostas paralelamente umas as outras horizontal ou verticalmente Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 115 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Barras Consiste em construir retˆangulos ou barras em que uma das dimensoes e proporcional a magnitude a ser representada frequˆencia absoluta fi ou frequˆencia relativa fri sendo a outra arbitraria porem igual para todas as barras Essas barras sao dispostas paralelamente umas as outras horizontal ou verticalmente Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 115 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Barras Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 116 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Barras Horizontal Figura Grafico em barras para a variavel Grau de escolaridade Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 117 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Colunas Grafico de barras na vertical Tabela 2 Grau de Instrucao Grau de Instrucao Frequˆencia Fundamental 12 Medio 18 Superior 6 Total 36 Fundamental Médio Superior ci fi 0 5 10 15 20 Figura Grafico em colunas para a variavel Grau de Instrucao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 118 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Colunas Grafico de barras na vertical Tabela 2 Grau de Instrucao Grau de Instrucao Frequˆencia Fundamental 12 Medio 18 Superior 6 Total 36 Fundamental Médio Superior ci fi 0 5 10 15 20 Figura Grafico em colunas para a variavel Grau de Instrucao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 118 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Colunas Grafico de barras na vertical Tabela 2 Grau de Instrucao Grau de Instrucao Frequˆencia Fundamental 12 Medio 18 Superior 6 Total 36 Fundamental Médio Superior ci fi 0 5 10 15 20 Figura Grafico em colunas para a variavel Grau de Instrucao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 118 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Setores pizza Consiste num cırculo de raio arbitrario representando o todo dividido em setores que correspondem as partes de maneira proporcional Empregado sempre que se deseja ressaltar a participacao de uma parte em relacao ao total Tabela 3 Sexo de 50 funcionarios Sexo Freq Freq Abs Rel Feminino 12 24 Masculino 38 76 Total 50 100 Feminino 24 Masculino 76 Figura Grafico em setores para a variavel sexo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 119 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Setores pizza Consiste num cırculo de raio arbitrario representando o todo dividido em setores que correspondem as partes de maneira proporcional Empregado sempre que se deseja ressaltar a participacao de uma parte em relacao ao total Tabela 3 Sexo de 50 funcionarios Sexo Freq Freq Abs Rel Feminino 12 24 Masculino 38 76 Total 50 100 Feminino 24 Masculino 76 Figura Grafico em setores para a variavel sexo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 119 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Setores pizza Consiste num cırculo de raio arbitrario representando o todo dividido em setores que correspondem as partes de maneira proporcional Empregado sempre que se deseja ressaltar a participacao de uma parte em relacao ao total Tabela 3 Sexo de 50 funcionarios Sexo Freq Freq Abs Rel Feminino 12 24 Masculino 38 76 Total 50 100 Feminino 24 Masculino 76 Figura Grafico em setores para a variavel sexo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 119 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Setores pizza Consiste num cırculo de raio arbitrario representando o todo dividido em setores que correspondem as partes de maneira proporcional Empregado sempre que se deseja ressaltar a participacao de uma parte em relacao ao total Tabela 3 Sexo de 50 funcionarios Sexo Freq Freq Abs Rel Feminino 12 24 Masculino 38 76 Total 50 100 Feminino 24 Masculino 76 Figura Grafico em setores para a variavel sexo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 119 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Linhas ou Pontos Sao normalmente usados para facilitar a identificacao de tendˆencias ou de anomalias Deve ser usado quando ha um numero grande de atributos ou categorias para evitar colunas muito finas Tabela 4 Estado Civil de 40 mulheres Estado civil Freq Absoluta ci fi CASADA 30 DIVORCIADA 5 SOLTEIRA 1 VIUVA 4 Total 40 i 1 2 3 e 4 k 4 Figura Grafico em linhas para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 120 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Linhas ou Pontos Sao normalmente usados para facilitar a identificacao de tendˆencias ou de anomalias Deve ser usado quando ha um numero grande de atributos ou categorias para evitar colunas muito finas Tabela 4 Estado Civil de 40 mulheres Estado civil Freq Absoluta ci fi CASADA 30 DIVORCIADA 5 SOLTEIRA 1 VIUVA 4 Total 40 i 1 2 3 e 4 k 4 Figura Grafico em linhas para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 120 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Linhas ou Pontos Sao normalmente usados para facilitar a identificacao de tendˆencias ou de anomalias Deve ser usado quando ha um numero grande de atributos ou categorias para evitar colunas muito finas Tabela 4 Estado Civil de 40 mulheres Estado civil Freq Absoluta ci fi CASADA 30 DIVORCIADA 5 SOLTEIRA 1 VIUVA 4 Total 40 i 1 2 3 e 4 k 4 Figura Grafico em linhas para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 120 154 Estatıstica Descritiva Grafico de Linhas ou Pontos Sao normalmente usados para facilitar a identificacao de tendˆencias ou de anomalias Deve ser usado quando ha um numero grande de atributos ou categorias para evitar colunas muito finas Tabela 4 Estado Civil de 40 mulheres Estado civil Freq Absoluta ci fi CASADA 30 DIVORCIADA 5 SOLTEIRA 1 VIUVA 4 Total 40 i 1 2 3 e 4 k 4 Figura Grafico em linhas para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 120 154 Estatıstica Descritiva Figura Grafico em colunas para estado civil Figura Grafico em barras para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 121 154 Estatıstica Descritiva Figura Grafico em colunas para estado civil Figura Grafico em barras para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 121 154 Estatıstica Descritiva Tabela Distribuicao de frequˆencia para o estado civil Estado civil Frequˆencias Absoluta Relativa Acumulada Acum Relativa ci fi fri Fi Fri CASADA 30 75 30 75 DIVORCIADA 5 125 35 875 SOLTEIRA 1 25 36 90 VIUVA 4 10 40 100 Total 40 100 Figura Grafico em setores para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 122 154 Estatıstica Descritiva Tabela Distribuicao de frequˆencia para o estado civil Estado civil Frequˆencias Absoluta Relativa Acumulada Acum Relativa ci fi fri Fi Fri CASADA 30 75 30 75 DIVORCIADA 5 125 35 875 SOLTEIRA 1 25 36 90 VIUVA 4 10 40 100 Total 40 100 Figura Grafico em setores para estado civil Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 122 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Para variaveis quantitativas podemos considerar uma variedade maior de representacoes graficas Graficos usados para as variaveis qualitativas Histograma Polıgono de frequˆencias Polıgonos de frequˆencias acumuladas Boxplot grafico de caixa Diagrama de dispersao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 123 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Para variaveis quantitativas podemos considerar uma variedade maior de representacoes graficas Graficos usados para as variaveis qualitativas Histograma Polıgono de frequˆencias Polıgonos de frequˆencias acumuladas Boxplot grafico de caixa Diagrama de dispersao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 123 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Para variaveis quantitativas podemos considerar uma variedade maior de representacoes graficas Graficos usados para as variaveis qualitativas Histograma Polıgono de frequˆencias Polıgonos de frequˆencias acumuladas Boxplot grafico de caixa Diagrama de dispersao Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 123 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de barras Distribuicao de frequˆencia simples Tabela 6 Numero de acidentes em um cruzamento N de acidentes Frequˆencia Absoluta ci fi 0 31 1 16 2 2 3 1 Total 50 i 1 2 3 e 4 k 4 0 1 2 3 ci fi 0 5 10 15 20 25 30 35 Figura Grafico em barras colunas para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 124 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de barras Distribuicao de frequˆencia simples Tabela 6 Numero de acidentes em um cruzamento N de acidentes Frequˆencia Absoluta ci fi 0 31 1 16 2 2 3 1 Total 50 i 1 2 3 e 4 k 4 0 1 2 3 ci fi 0 5 10 15 20 25 30 35 Figura Grafico em barras colunas para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 124 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de barras Figura Grafico em barras horizontal para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 125 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de linhas Figura Grafico de linhas para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 126 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de setores Distribuicao de frequˆencia simples Tabela 7 Nro de acidentes emum cruzamento N de acidentes Freq Abs Freq Rel ci fi fri 0 31 062 1 16 032 2 2 004 3 1 002 Total 50 100 i 1 2 3 e 4 k 4 0 62 1 32 2 4 3 2 Figura Grafico em setores de pizza para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 127 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Discretas Grafico de setores Distribuicao de frequˆencia simples Tabela 7 Nro de acidentes emum cruzamento N de acidentes Freq Abs Freq Rel ci fi fri 0 31 062 1 16 032 2 2 004 3 1 002 Total 50 100 i 1 2 3 e 4 k 4 0 62 1 32 2 4 3 2 Figura Grafico em setores de pizza para o numero de acidentes Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 127 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Graficos anteriores usando o artifıcio de aproximar a variavel contınua por uma variavel discreta Feito supondose que todos os valores em determinada classe sao iguais ao ponto medio desta classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 128 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Graficos anteriores usando o artifıcio de aproximar a variavel contınua por uma variavel discreta Feito supondose que todos os valores em determinada classe sao iguais ao ponto medio desta classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 128 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Graficos anteriores usando o artifıcio de aproximar a variavel contınua por uma variavel discreta Feito supondose que todos os valores em determinada classe sao iguais ao ponto medio desta classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 128 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas O artifıcio usado acima para representar uma variavel contınua faz com que se perca muito das informacoes nela contidas Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 129 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas O artifıcio usado acima para representar uma variavel contınua faz com que se perca muito das informacoes nela contidas Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 129 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma As classes da distribuicao de frequˆencias sao representadas por colunas justapostas cujas alturas sao definidas pelas respectivas frequˆencias absolutas fi O histograma e construıdo sobre os intervalos de classe e as areas dos retˆangulos que o compoem representam proporcionalmente os dados cujos valores ocorrem em cada classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 130 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma As classes da distribuicao de frequˆencias sao representadas por colunas justapostas cujas alturas sao definidas pelas respectivas frequˆencias absolutas fi O histograma e construıdo sobre os intervalos de classe e as areas dos retˆangulos que o compoem representam proporcionalmente os dados cujos valores ocorrem em cada classe Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 130 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma Eixo x as classes Eixo y as frequˆencias absolutas Idades das Atrizes Freq Absoluta Classes ci fi 11 21 11 21 31 9 31 41 11 41 51 4 51 61 10 61 71 15 Total 60 i 1 2 3 4 5 e 6 k 6 ci fi 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 131 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma Eixo x as classes Eixo y as frequˆencias absolutas Idades das Atrizes Freq Absoluta Classes ci fi 11 21 11 21 31 9 31 41 11 41 51 4 51 61 10 61 71 15 Total 60 i 1 2 3 4 5 e 6 k 6 ci fi 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 131 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma Eixo x as classes Eixo y as densidades de frequˆencia di i 1 2 k di fri LSi LIi fri ci com fri sendo a frequˆencia relativa da classe i LIi sendo o limitante inferior da classe i LSi sendo o limitante superior da classe i Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 132 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma Eixo x as classes Eixo y as densidades de frequˆencia di i 1 2 k di fri LSi LIi fri ci com fri sendo a frequˆencia relativa da classe i LIi sendo o limitante inferior da classe i LSi sendo o limitante superior da classe i Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 132 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma com as densidades de frequˆencias Idades das Atrizes Frequˆencias Classes Absoluta Relativa ci fi fri 11 21 11 01833 21 31 9 01500 31 41 11 01833 41 51 4 00667 51 61 10 01667 61 71 15 02500 Total 60 10000 i 1 2 3 4 5 e 6 k 6 ci di 10 20 30 40 50 60 70 0000 0005 0010 0015 0020 0025 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 133 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Distribuicao de frequˆencia por classes Histograma com as densidades de frequˆencias Idades das Atrizes Frequˆencias Classes Absoluta Relativa ci fi fri 11 21 11 01833 21 31 9 01500 31 41 11 01833 41 51 4 00667 51 61 10 01667 61 71 15 02500 Total 60 10000 i 1 2 3 4 5 e 6 k 6 ci di 10 20 30 40 50 60 70 0000 0005 0010 0015 0020 0025 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 133 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma Considere novamente a distribuicao de frequˆencia da variavel salario em salarios mınimos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 134 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma O histograma correspondente a variavel salario e dado por Foi colocada acima de cada retˆangulo a respectiva porcentagem das ob servacoes arredondada Podemos dizer que 61 dos empregados tˆem salario inferior a 12 salarios mınimos 17 possuem salario superior a 16 salarios mınimos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 135 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma O histograma correspondente a variavel salario e dado por Foi colocada acima de cada retˆangulo a respectiva porcentagem das ob servacoes arredondada Podemos dizer que 61 dos empregados tˆem salario inferior a 12 salarios mınimos 17 possuem salario superior a 16 salarios mınimos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 135 154 Estatıstica Descritiva Variaveis Quantitativas Contınuas Histograma O histograma correspondente a variavel salario e dado por Foi colocada acima de cada retˆangulo a respectiva porcentagem das ob servacoes arredondada Podemos dizer que 61 dos empregados tˆem salario inferior a 12 salarios mınimos 17 possuem salario superior a 16 salarios mınimos Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 135 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Polıgonos de frequˆencia Construıdo unindose os pontos xi fi onde xi sao os pontos medios dos intervalos de classe e fi sao as frequˆencias absolutas das classes Criase no eixo das abcissas eixo horizontal um ponto medio aquem do menor valor de xi e outro alem do maior valor de xi para que o polıgono fique definido e tenha equivalˆencia de area com o histograma da mesma distribuicao Suavizando a linha poligonal que define o polıgono obtemse uma curva que visualiza a tendˆencia de variacao dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 136 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Polıgonos de frequˆencia Construıdo unindose os pontos xi fi onde xi sao os pontos medios dos intervalos de classe e fi sao as frequˆencias absolutas das classes Criase no eixo das abcissas eixo horizontal um ponto medio aquem do menor valor de xi e outro alem do maior valor de xi para que o polıgono fique definido e tenha equivalˆencia de area com o histograma da mesma distribuicao Suavizando a linha poligonal que define o polıgono obtemse uma curva que visualiza a tendˆencia de variacao dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 136 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Polıgonos de frequˆencia Construıdo unindose os pontos xi fi onde xi sao os pontos medios dos intervalos de classe e fi sao as frequˆencias absolutas das classes Criase no eixo das abcissas eixo horizontal um ponto medio aquem do menor valor de xi e outro alem do maior valor de xi para que o polıgono fique definido e tenha equivalˆencia de area com o histograma da mesma distribuicao Suavizando a linha poligonal que define o polıgono obtemse uma curva que visualiza a tendˆencia de variacao dos dados Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 136 154 Estatıstica Descritiva Polıgonos de frequˆencia Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 137 154 Estatıstica Descritiva Polıgonos de frequˆencia Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 137 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Polıgonos de frequˆencia acumuladas ou ogivas Sao construıdas unindo os pontos LSi Fi onde LSi sao os extremos superiores dos intervalos de cada classe e Fi a frequˆencia acumulada ou acumulada relativa Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 138 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Contınuas Polıgonos de frequˆencia acumuladas ou ogivas Sao construıdas unindo os pontos LSi Fi onde LSi sao os extremos superiores dos intervalos de cada classe e Fi a frequˆencia acumulada ou acumulada relativa Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 138 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Amostra deve ter no mınimo 5 observacoes Para variaveis contınuas ou discreta com muitos valores diferentes Grafico de caixa boxplot Obter Q1 Q2 mediana e Q3 Calcular a amplitute interquartil dQ Q3 Q1 Calcular as cercas para identificacao de outliers 15Q3 Q1 15dQ Cerca Inferior Q1 15dQ Cerca Superior Q3 15dQ Obter o primeiro menor valor dos dados acima da cerca inferior Obter o primeiro maior valor dos dados abaixo da cerca superior Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 139 154 Estatıstica Descritiva Exemplos de conjuntos de Dados Brutos Conjunto de dados 247 249 256 256 259 261 262 262 262 270 Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 140 154 Estatıstica Descritiva Graficos para Variaveis Quantitativas Boxplot Grafico de caixa boxplot distribuicao assimetrica a esquerda Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 141 154 Estatıstica Descritiva Exemplo Grafico de caixa boxplot Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 142 154 Estatıstica Descritiva Exemplo Grafico de caixa boxplot Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 143 154 Estatıstica Descritiva Exemplo Grafico de caixa boxplot Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 144 154 Estatıstica Descritiva Analise Bivariada E quando se analisa conjuntamente duas variaveis relacionadas ao mesmo problema Em muitos problemas praticos para compreender melhor os dados as variaveis devem ser analisadas conjuntamente A analise isolada de cada variavel pode nao ser suficiente A analise bivariada e uma extensao da analise de uma unica variavel e e tambem um caso particular da analise multivariada Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 145 154 Correlacao Correlacao Frequentemente e de interesse estudar a maneira como duas variaveis X e Y estao associadas e medir seu grau de associacao O efeito de um catalisador em nıveis diferentes de temperatura A temperatura da estufa e uma caracterıstica da qualidade dureza de uma peca Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 146 154 Correlacao Correlacao Frequentemente e de interesse estudar a maneira como duas variaveis X e Y estao associadas e medir seu grau de associacao O efeito de um catalisador em nıveis diferentes de temperatura A temperatura da estufa e uma caracterıstica da qualidade dureza de uma peca Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 146 154 Correlacao Diagrama de Dispersao Representacao grafica dos pares de valores Xi Yi em um sistema cartesiano nuvem de pontos Maneira de visualizar a possıvel correlacao entre as observacoes de duas variaveis Duas variaveis X e Y estao positivamente correlacionadas se com o aumento de uma das variaveis a outra em geral tambem aumenta por exemplo as variaveis peso e altura negativamente correlacionados se com o aumento de uma das variaveis a outra em geral diminui por exemplo as variaveis renda familiar e numero de elementos da famılia Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 147 154 Correlacao Diagrama de Dispersao Representacao grafica dos pares de valores Xi Yi em um sistema cartesiano nuvem de pontos Maneira de visualizar a possıvel correlacao entre as observacoes de duas variaveis Duas variaveis X e Y estao positivamente correlacionadas se com o aumento de uma das variaveis a outra em geral tambem aumenta por exemplo as variaveis peso e altura negativamente correlacionados se com o aumento de uma das variaveis a outra em geral diminui por exemplo as variaveis renda familiar e numero de elementos da famılia Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 147 154 Correlacao Exemplo 1 Consideremos uma amostra aleatoria formada por 10 dos 98 alunos da Engenharia da UEM e pelas notas obtidas por eles nas disciplinas de Ma tematica e Estatıstica Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 148 154 Correlacao Exemplo 1 Consideremos uma amostra aleatoria formada por 10 dos 98 alunos da Engenharia da UEM e pelas notas obtidas por eles nas disciplinas de Ma tematica e Estatıstica Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 148 154 Correlacao Correlacao Linear Poderıamos tracar uma reta e essa reta representaria bem o crescimento de uma nota em relacao a outra Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 149 154 Correlacao Correlacao Linear Poderıamos tracar uma reta e essa reta representaria bem o crescimento de uma nota em relacao a outra Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 149 154 Correlacao Uma correlacao e Linear positiva se os pontos do diagrama tem como imagem uma reta ascendente Linear negativa se os pontos tˆem como imagem uma reta descendente Naolinear se os pontos tˆem como imagem uma curva Se os pontos apresentamse dispersos nao ha relacao entre as variaveis em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 150 154 Correlacao Uma correlacao e Linear positiva se os pontos do diagrama tem como imagem uma reta ascendente Linear negativa se os pontos tˆem como imagem uma reta descendente Naolinear se os pontos tˆem como imagem uma curva Se os pontos apresentamse dispersos nao ha relacao entre as variaveis em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 150 154 Correlacao Uma correlacao e Linear positiva se os pontos do diagrama tem como imagem uma reta ascendente Linear negativa se os pontos tˆem como imagem uma reta descendente Naolinear se os pontos tˆem como imagem uma curva Se os pontos apresentamse dispersos nao ha relacao entre as variaveis em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 150 154 Correlacao Uma correlacao e Linear positiva se os pontos do diagrama tem como imagem uma reta ascendente Linear negativa se os pontos tˆem como imagem uma reta descendente Naolinear se os pontos tˆem como imagem uma curva Se os pontos apresentamse dispersos nao ha relacao entre as variaveis em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 150 154 Correlacao Uma correlacao e Linear positiva se os pontos do diagrama tem como imagem uma reta ascendente Linear negativa se os pontos tˆem como imagem uma reta descendente Naolinear se os pontos tˆem como imagem uma curva Se os pontos apresentamse dispersos nao ha relacao entre as variaveis em estudo Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 150 154 Coeficiente de Correlação de Pearson Instrumento empregado para a medida da correlação linear Indica o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação positivo ou negativo Coeficiente de Correlação de Pearson Instrumento empregado para a medida da correlação linear Indica o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação positivo ou negativo r n Σ i1 to n Xi Yi Σ i1 to n XiΣ i1 to n Yi sqrt n Σ i1 to n Xi2 Σ i1 to n Xi2 n Σ i1 to n Yi2 Σ i1 to n Yi2 SXY sqrt SXX SYY em que 1 r 1 com n número de observações SXX Σ i1 to n Xi2 Σ i1 to n Xi2 n SYY Σ i1 to n Yi2 Σ i1 to n Yi2 n e SXY Σ i1 to n Xi Yi Σ i1 to n XiΣ i1 to n Yi n Correlacao Se r 1 existe uma correlacao perfeita e positiva Se r 1 existe uma correlacao perfeita e negativa Se r 0 nao ha correlacao entre as variaveis ou a relacao que por ventura exista nao e linear Mais precisamente Se 0 r 0 3 a correlacao e muito fraca praticamente nada podemos concluir sobre a relacao entre as variaveis em estudo Se 0 3 r 0 6 existe uma correlacao relativamente fraca entre as variaveis Se 0 6 r 1 existe uma correlacao forte entre as variaveis Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 152 154 Correlacao Se r 1 existe uma correlacao perfeita e positiva Se r 1 existe uma correlacao perfeita e negativa Se r 0 nao ha correlacao entre as variaveis ou a relacao que por ventura exista nao e linear Mais precisamente Se 0 r 0 3 a correlacao e muito fraca praticamente nada podemos concluir sobre a relacao entre as variaveis em estudo Se 0 3 r 0 6 existe uma correlacao relativamente fraca entre as variaveis Se 0 6 r 1 existe uma correlacao forte entre as variaveis Dra Tatiane Alvarenga Estatıstica 152 154 Cálculo do coeficiente de correlação relativo ao Exemplo 1 Matemática Xi Estatística Yi Xi Yi Xi2 Yi2 5 6 30 25 36 8 9 72 64 81 7 8 56 49 64 10 10 100 100 100 6 5 30 36 25 7 7 49 49 49 9 8 72 81 64 3 4 12 9 16 8 6 48 64 36 2 2 4 4 4 r 10 473 65 65 sqrt 10 481 65210 475 652 0911 Conclusão Correlação Linear Forte Positiva