Estatística

1 Fale sobre a metodologia da superfície de resposta 2 Para um estudo sobre a produção de milho foi realizado um ensaio onde utilizouse o DIC com 2 repetições Os tratamentos foram dispostos segundo um esquema fatorial 2 x 3 6 tratamentos onde para o primeiro fator foram utilizados 515 kg de fósforoha e para o segundo fator 20 40 60 kg de nitrogênioha P N Y Produção 5 20 40 38 5 40 38 36 5 60 30 32 15 20 24 22 15 40 16 18 15 60 14 12 Pedese a O quadro da ANOVA b O modelo c O quadro da análise de variância da regressão mostrando o teste para a falta de ajustamento do modelo d O coeficiente de determinação em relação a total e tratamento e de a sua interpretação 3 Determine o ponto crítico e faça o estudo de sua natureza da equação 4 Para um estudo sobre a produção de milho foi realizado um ensaio onde utilizouse o DIC com 2 repetições Os tratamentos foram dispostos segundo um esquema fatorial 3 x 4 12 tratamentos onde para o primeiro fator foram utilizados 10 20 30 kg de fósforoha e para o segundo fator 20 40 60 80 kg de nitrogênioha P N Y Produção 10 20 9 8 10 40 8 6 10 60 10 12 10 80 18 16 20 20 19 22 20 40 10 20 20 60 24 22 20 80 26 24 30 20 20 18 30 40 18 16 30 60 14 15 30 80 49 45 Pedese a O quadro da ANOVA b O modelo c O quadro da análise de variância da regressão mostrando o teste para a falta de ajustamento do modelo d O coeficiente de determinação em relação a total e tratamento e de a sua interpretação e Determine o ponto crítico e faça o estudo de sua natureza QUESTÃO 1 A metodologia de superfície de resposta MSR é um conjunto de técnicas estatísticas e matemáticas usado para modelar e otimizar uma variável resposta Y que dependa de várias variáveis explicativas ou fatores x1 x2 xk O objetivo é descrever como Y varia em função dos fatores e encontrar combinações de níveis que otimizem maximizem minimizem ou atinjam um alvo essa resposta A idéia central é supor que em uma região de interesse relativamente pequena do espaço experimental a função verdadeira que relaciona Y aos fatores pode ser bem aproximada por um modelo polinomial em variáveis codificadas Usualmente codificamse os fatores para que cada variável xi varie em torno de zero com níveis padronizados por exemplo xi 101 Em termos gerais um modelo de primeira ordem pode ser escrito como Y β0 i1k βi xi ε onde β0 é o intercepto βi são os coeficientes de regressão dos efeitos lineares e ε representa o erro aleatório Esse tipo de modelo descreve uma superfície de resposta aproximadamente plana útil para identificar a direção de maior aumento ou diminuição da resposta Quando a relação entre os fatores e a resposta é mais curva utilizase um modelo de segunda ordem por exemplo Y β0 i1k βi xi i1k βii xi2 1ijk βij xi xj ε Nesse modelo os termos βii xi2 representam curvatura em cada fator e os termos βij xi xj representam interações entre os fatores A superfície de resposta associada pode apresentar máximos mínimos ou pontos de sela Em termos práticos a MSR é aplicada em etapas encadeadas Primeiro escolhese a variável resposta Y por exemplo rendimento pureza produção e os fatores controláveis que mais provavelmente influenciam Y Definese então uma região inicial de estudo para cada fator e constróise um delineamento experimental adequado Para ajustamento de um modelo de primeira ordem são comuns delineamentos fatoriais completos 2k ou fracionários Para modelos de segunda ordem utilizamse por exemplo delineamentos compostos centrais ou delineamentos de BoxBehnken que fornecem informação suficiente para estimar termos quadráticos e de interação Uma vez definidos os ensaios realizase o experimento obtémse a resposta em cada combinação de níveis dos fatores e ajustase o modelo polinomial por mínimos quadrados obtendo estimativas β0 βi βii βij Em seguida procedese à análise de variância ANOVA do modelo verificando se a regressão é globalmente significativa se os termos lineares quadráticos e de interação são relevantes e se o erro de falta de ajuste não é excessivo em relação ao erro puro Nessa etapa analisamse também resíduos procurando por violações das suposições de normalidade homogeneidade de variâncias e independência Com o modelo ajustado e considerado adequado estudase a forma da superfície de resposta Para um modelo de primeira ordem obtémse a direção de máxima variação da resposta por meio do vetor gradiente y yρ1 yρk β1 βk o que permite traçar o chamado caminho de máxima inclinação ou máxima descida se o objetivo for minimizar Os experimentos subsequentes são realizados ao longo dessa direção deslocando gradualmente o centro da região experimental até que a curvatura se torne importante e um modelo de primeira ordem deixe de ser adequado Quando se adota um modelo de segunda ordem a superfície de resposta pode apresentar um ponto estacionário onde o gradiente é nulo Se o modelo for escrito de forma matricial como yρ β0 bT ρ ρT B ρ em que b agrupa os coeficientes lineares e B é a matriz simétrica dos coeficientes quadráticos e de interação o ponto estacionário ρo satisfaz yρo 0 b 2B ρo 0 de onde se obtém ρo 12 B1 b desde que B seja inversível A natureza desse ponto máximo mínimo ou sela é estudada a partir dos autovalores da matriz hessiana H 2B se todos os autovalores forem negativos tratase de um máximo local se todos forem positivos de um mínimo local se houver sinais mistos o ponto é de sela Finalmente a MSR fornece não apenas um modelo preditivo para a resposta em função dos fatores mas também um instrumento para tomada de decisão permitindo ao experimentador identificar regiões de operação ótimas analisar compromissos entre múltiplas respostas por meio de funções desejabilidade por exemplo e compreender a interação entre variáveis de processo Em síntese a metodologia combina delineamento de experimentos regressão polinomial e análise geométrica da superfície de resposta para guiar de forma eficiente a busca por condições ótimas em processos complexos QUESTÃO 2 a a Para o ensaio em DIC com esquema factorial 23 e 2 repetições temse a 2 níveis de fósforo P 5 e 15 kgha b 3 níveis de nitrogênio N 20 40 60 kgha e r 2 repetições por combinação totalizando N abr 232 12 Observações Os dados são P N Y 5 20 40 38 5 40 38 36 5 60 30 32 15 20 24 22 15 40 16 18 15 60 14 12 Adotase o modelo factorial com interação Yijk μ αi βj αβij εijk onde i 1a j 1b k 1r com εijk independentes média zero e variância comum σ2 A soma de quadrados total é obtida por SQTototal Yijk2 T2N em que T Yijk é o total geral Calculando os somatórios T 320 Yijk2 9688 resulta SQTototal 9688 320212 34643 Para o fator fósforo P cada nível tem b n 6 observações Com os totais por nível τP5214 τP15106 a soma de quadrados de P é SQPi12τPi2b nτ2N 21426 10626 320212 972 Para o fator nitrogênio N cada nível tem a n 4 observações Com os totais por nível τN20124 τN40108 τN6088 obtémse SQNj13τNj2a nτ2N 12424 10824 8824 320212 4883 A soma de quadrados de tratamentos seis combinações P N é SQTratijτij2nτ2N onde τij é o total da combinação Pi Nj Com os totais τ52078 τ54074 τ56062 τ152046 τ154034 τ156026 temse SQTrat78²2 74²2 62²2 46²2 34²2 26²2 320²12 34283 A soma de quadrados da interação é obtida por decomposição SQPNSQTratSQPSQN34283 972 4883 8 A soma de quadrados do resíduo em DIC com fatoração em P N e interação é SQResSQTotalSQPSQNSQPN34643 972 4883 8 12 Os graus de liberdade são GLTotal N 1 11 GLP a 1 1 GLN b 1 2 GLPN a 1b 1 2 GLRes abn 1 2 3 1 6 Calculamse os quadrados médios QMP SQPGLP 972 QMN SQNGLN 2443 QMPN SQPNGLPN 4 QMRes SQResGLRes 2 Os valores de F para cada fonte de variação são FP QMPQMRes 9722 486 FN QMNQMRes 24432 1223 FPN QMPNQMRes 42 2 Assim o quadro da ANOVA para o experimento factorial 2 3 em DIC com 2 repetições é Fonte GL SQ QM F Fósforo P 1 972 972 486 488 244 122 Nitrogênio N 2 3 3 3 Interação P N 2 8 4 2 Resíduo 6 12 2 Total 11 3464 3 b Como os fatores fósforo P e nitrogênio N são quantitativos e a região experimental é relativamente pequena considerase apropriado adotar um modelo de regressão de primeira ordem com interação entre os fatores para descrever a produção de milho Y em função de P e N No plano dos fatores em unidades reais P em kg de fósforoha e N em kg de nitrogênioha o modelo pode ser escrito como yijk β0 β1Pi β2Nj β3PiNj εijk onde yijk é a produção observada na combinação Pi Nj na késima repetição β0 é o intercepto valor médio esperado de Y quando P N 0 β1 representa o efeito linear de P sobre Y mantendo N fixo β3 representa o efeito de interação entre P e N como a inclinação em relação a um fator depende do nível do outro εijk são erros aleatórios independentes com média zero e variância σ2 Se for conveniente para estudos posteriores de superfície de resposta podese ainda trabalhar com variáveis codificadas x1 e x2 definidas por x1 P 105 x2 N 4020 de modo que os níveis experimentais correspondem a P 5 15 x1 1 1 N 20 40 60 x2 1 0 1 Nesse sistema codificado o mesmo modelo assume a forma yijk β0 β1x1i β2x2j β12x1ix2j εijk em que β0 β1 β2 β12 são coeficientes de regressão equivalentes aos anteriores mas expressos nas escalas codificadas dos fatores c Considerando o modelo proposto em b Y β0 β1P β2N β3 P N ε ajustado aos 12 pontos experimentais do factorial 2 3 com 2 repetições realizase a análise de variância da regressão Primeiro escrevese o modelo em forma matricial y Xβ ε em que a matriz de delineamento X contém para cada observação as colunas do intercepto P N e P N As estimativas de mínimos quadrados são obtidas por β XTX1XT y Com os dados do experimento obtêmse β0 1553 β1 85 β2 740 β3 1200 A média geral é ȳ 112 i112 yi 803 A soma de quadrados total é SQTOTAL yi y² 34643 com 11 graus de liberdade A soma de quadrados da regressão é calculada por SQREG ŷi y² 1136 onde ŷi é o valor ajustado pelo modelo em cada observação Como há 3 preditores P N PN o número de graus de liberdade da regressão é GLREG 3 A soma de quadrados do resíduo em relação ao modelo de regressão é SQRES yi ŷi² SQTOTAL SQREG 563 com GLRES 12 4 8 pois há 4 parâmetros β0 β1 β2 β3 no modelo A presença de repetições em cada combinação P N permite decompor o resíduo em erro puro e falta de ajuste Seja j 16 o índice das combinações P N cada uma com rj 2 repetições Denotando por ȳj a média da resposta nessa combinação e por ŷj o valor previsto pelo modelo naquela combinação definemse SQEP yjk ȳj² SQFA rjȳj ŷj² Com os dados obtémse SQEP 12 SQFA 203 e verificase que SQRES SQEP SQFA 12 203 563 Os graus de liberdade correspondentes são GLEP N número de combinações distintas 12 6 6 GLFA GLRES GLEP 8 6 2 Os quadrados médios ficam QMREG SQREG GLREG 1136 3 QMRES SQRES GLRES 7 3 QMFA SQFA GLFA 10 3 QMEP SQEP GLEP 2 Assim o teste F global da regressão modelo de primeira ordem com interação é FREG QMREG QMRES 11363 73 1136 7 162 10² com 38 graus de liberdade Para o teste de falta de ajuste do modelo considerase H0 não há falta de ajuste modelo adequado versus H1 há falta de ajuste e usase a estatística FFA QMFA QMEP 103 2 53 167 com 26 graus de liberdade Rejeitase H0 se FFA exceder o valor crítico Fα26 para o nível de significância adotado O quadro da análise de variância da regressão incluindo a decomposição do resíduo em falta de ajuste e erro puro pode então ser apresentado como Fonte GL SQ QM F Regressão 3 1136 11363 7 Residuo 8 563 73 Falta de ajuste 2 203 103 53 Erro puro 6 12 2 Total 11 34643 d Pelo enunciado pedese o coeficiente de determinação em relação ao total e em relação aos tratamentos tomando como base o modelo de regressão ajustado no item c Em termos gerais o coeficiente de determinação em relação ao total é definido por r²TOTAL SQREG SQTOTAL em que SQREG é a soma de quadrados da regressão e SQTOTAL é a soma de quadrados total em torno da média Do item c temse SQREG 1136 SQTOTAL 34643 Logo r²TOTAL 1136 34643 1136 3 3464 426 433 0984 Portanto cerca de 984 da variação total da produção de milho é explicada pelo modelo de regressão em função dos níveis de fósforo e nitrogênio Para o coeficiente de determinação em relação aos tratamentos considerase que a regressão está explicando a variação entre médias de tratamentos seis combinações de P e N A soma de quadrados entre tratamentos é SQTREAT 34283 e a parte dessa variação não explicada pelo modelo de regressão é a soma de quadrados de falta de ajuste SQFA 203 Definese então R2tnal 1 SQFASQtnal 1 203 34283 1 203428 852857 0994 Equivalentemente podese escrever R2tnal SQtnal SQFASQtnal 1136 34283 852857 Assim em relação apenas à variação entre tratamentos o modelo de regressão explica cerca de 994 da variabilidade das médias de produção ficando aproximadamente 06 dessa variação atribuída à falta de ajuste do modelo QUESTÃO 3 A função de resposta fornecida é ŷPN 6858 03601P 0001769P2 05376N 0002417N2 000037037PN Para encontrar o ponto crítico calculase o gradiente e igualase a zero As derivadas parciais são ŷP 03601 2 0001769P 000037037N 03601 0003538P 000037037N ŷN 05376 2 0002417N 000037037P 05376 0004834N 000037037P O ponto crítico P N satisfaz o sistema 03601 0003538P 000037037N 0 05376 0004834N 000037037P 0 Em forma matricial podese escrever 0003538 000037037 000037037 0004834 P N 03601 05376 Resolvendo esse sistema linear obtémse aproximadamente P 909 N 104 Para estudar a natureza do ponto crítico calculase a matriz hessiana formada pelas derivadas parciais de segunda ordem ²ŷP² 2 0001769 0003538 ²ŷN² 2 0002417 0004834 ²ŷPN ²ŷNP 000037037 A hessiana é portanto H 0003538 000037037 000037037 0004834 Como o teste de segunda ordem para funções de duas variáveis depende do sinal dos menores principais calculase o determinante de H detH 0003538 0004834 0000370372 170 105 0 Temse H11 0003538 0 e detH 0 Isso caracteriza H como negativa definida o que implica que o ponto crítico encontrado é um máximo local da função de resposta Concluise assim que a superfície de resposta apresenta um ponto de máximo local aproximadamente em P N 909 104 e a hessiana negativa definida confirma a natureza do máximo local desse ponto QUESTÃO 4 a Pelo enunciado considerase o experimento em DIC com esquema fatorial 3 4 com a 3 níveis de fósforo P 10 20 30 kgha b 4 níveis de nitrogênio N 20 40 60 80 kgha e r 2 repetições por combinação totalizando N a b r 3 4 2 24 Observações Os dados de produção y em cada combinação PN são P N Y 10 20 98 10 40 86 10 60 1012 10 80 1816 20 20 1922 20 40 1020 20 60 2422 20 80 2624 30 20 2018 30 40 1816 30 60 1415 30 80 1945 Adotase o modelo fatorial com interação yijk μ αi βj αβij εijk com i 13 j 14 k 12 e εijk independentes média zero e variância comum σ² A soma de quadrados total com termos da média geral é obtida por SQtotal Σ yijk² τ²N onde τ Σ yijk Pelos dados temse τ 449 Σ yijk² 10877 logo SQtotal 10877 449²24 5944724 248 103 Para o fator fósforo P cada nível possui b r 8 observações Os totais por nível são τP10 87 τP20 167 τP30 195 A soma de quadrados de P é SQP Σi13 τi² b r τ² N 87² 8 167²8 195²8 449²24 23563 785 102 Para o fator nitrogênio N cada nível possui a r 6 observações Os totais por nível são τN20 96 τN40 78 τN60 97 τN80 178 A soma de quadrados de N é SQN Σj14 τNj2ar τ2N 9626 7826 9726 17826 449224 2397124 999102 A soma de quadrados entre tratamentos 12 combinações PN é SQτnat Σij τij2r τ2N onde τij é o total da combinação Pi Nj Com τ1020 17 τ1040 14 τ1060 22 τ1080 34 τ2020 41 τ2040 30 τ2060 46 τ2080 50 τ3020 38 τ3040 34 τ3060 29 τ3080 94 obtêmse SQτnat Σij τij22 449224 5758724 240103 A soma de quadrados da interação P N resulta da decomposição SQPN SQτnat SQP SQN 5758724 23563 2397124 18463 615102 A soma de quadrados do resíduo é SQRes SQtotal SQτnat 5944724 5758724 1552 775 Os graus de liberdade são GLtotal N 1 23 GLP a 1 2 GLN b 1 3 GLPN a 1b 1 23 6 GLRes abN 1 341 12 Os quadrados médios são QMP SQPGLP 23563 2 11783 393102 QMN SQNGLN 2397124 3 2397172 333102 QMPN SQPNGLPN 18463 6 9239 103102 QMPN SQPNGLPN 18463 6 9239 103102 QMRes SQResGLRes 1552 12 15524 646 Os valores da estatística F para cada fonte de variação são FP QMPQMRes 11783 15524 3045 608 FN QMNQMRes 2397172 15524 23971465 516 FPN QMPNQMRes 9239 15524 7384465 159 O quadro da ANOVA para o experimento fatorial 34 em DIC com 2 repetições fica portanto Fonte GL SQ QM F Fósforo P 2 2356 1178 304 Nitrogênio N 3 23971 23971 23971 Interação PN 6 1846 923 465 Resíduo 12 155 155 Total 23 59447 24 onde os valores de F correspondem aproximadamente a 608 516 e 159 para P N e interação respectivamente b Como na questão 4 os fatores fósforo P e nitrogênio N são quantitativos com 3 e 4 níveis respectivamente e o objetivo é ajustar uma superfície de resposta em torno de uma região de interesse considerase um modelo de regressão de segunda ordem com interação entre os fatores No sistema de unidades reais P em kg de fósforoha e N em kg de nitrogênioha o modelo pode ser escrito como yijk β0 β1 Pi β2 Nj β11 Pi2 β22 Nj2 β12 Pi Nj εijk onde yijk é a produção observada na combinação Pi Nj na késima repetição β0 é o intercepto β1 β2 são os coeficientes dos termos lineares de P e N β11 β22 são os coeficientes dos termos quadráticos de P e N β12 é o coeficiente do termo de interação P N εijk são erros aleatórios independentes com média zero e variância constante σ2 Se for conveniente trabalhar com variáveis codificadas para estudos posteriores da superfície podemse definir por exemplo x1 P 2010 x2 N 5020 de modo que P tenha níveis 101 e N níveis 15 050515 Nesse sistema o mesmo modelo assume a forma yijk β0 β1 x1i β2 x2j β11 x1i2 β22 x2j2 β12 x1i x2j εijk com coeficientes β equivalentes mas expressos nas escalas codificadas dos fatores c Para o item c considerase o modelo quadrático com interação proposto no item b y β0 β1 P β2 N β11 P2 β22 N2 β12 PN ε ajustado às 24 observações do fatorial 34 com 2 repetições Em notação matricial escrevese y X β ε em que cada linha de X contém 1 P N P2 N2 PN de uma observação As estimativas de mínimos quadrados são dadas por β Xᵀ X1 Xᵀ y Com os dados do experimento obtêmse em forma exata β0 40724 β1 5340 β2 25692400 β11 13400 β22 333200 β12 131000 A média geral da resposta é y 124 Σi124 yi 44924 A soma de quadrados total em torno da média é SQTotal Σ yi ȳ2 5944724 As somas de quadrados da regressão e do resíduo para o modelo quadrático com interação são SQReg Σ ŷi ȳ2 11484760 SQRes Σ yi ŷi2 67541120 com ŷi denotando o valor ajustado pelo modelo na iésima observação satisfazendo SQTotal SQReg SQRes Como o modelo possui 6 parâmetros β0 β1 β2 β11 β22 β12 os graus de liberdade são GLReg 6 1 5 GLRes 24 6 18 Os quadrados médios correspondentes são QMReg SQReg GLReg 114847300 383102 QMRes SQRes GLRes 675412160 313 A estatística F para o teste global da regressão é FReg QMReg QMRes 114847300 675412160 4134492337705 122 com 5 18 graus de liberdade Em seguida decompõese o resíduo em erro puro e falta de ajustamento Com 12 combinações distintas de PN e 2 repetições por combinação o erro puro é SQEP Σ Σ yjk ȳj2 1552 onde ȳj é a média das duas repetições na jésima combinação Assim GLEP 24 12 12 QMEP SQEP GLEP 15524 646 A soma de quadrados de falta de ajustamento é SQFA SQRes SQEP 67541120 1552 58241120 com GLFA GLRes GLEP 18 12 6 QMFA SQFA GLFA 58241720 809 Para o teste de falta de ajustamento do modelo considerase H0 não há falta de ajustamento modelo adequado H1 há falta de ajustamento A estatística de teste é FFA QMFA QMEP 58241720 15524 582414650 125 com 6 12 graus de liberdade a ser comparada com o valor crítico Fα612 para o nível de significância escolhido O quadro da análise de variância da regressão com a decomposição em falta de ajustamento e erro puro fica assim Fonte GL SQ QM F Regressão 5 11484760 114847300 122 Resíduo 18 67541120 675412160 Falta de ajustamento 6 58241120 58241720 125 Erro puro 12 1552 15524 Total 23 5944724 onde as estatísticas FReg e FFA permitem respectivamente testar a significância global do modelo e a presença de falta de ajustamento em relação às médias de tratamentos D Para o item d utilizase o modelo quadrático com interação ajustado no item c e as somas de quadrados já obtidas na questão 4 O coeficiente de determinação em relação ao total é definido por rTotal2 SQReg SQTotal onde SQReg é a soma de quadrados da regressão do modelo de segunda ordem e SQTotal é a soma de quadrados total em torno da média geral Da questão 4 temse para o modelo quadrático com interação SQReg 11484760 SQTotal 5944724 Substituindo na expressão de rTotal2 obtêmse rTotal2 11484760 5944724 229694297235 0773 Portanto em relação à variação total das observações individuais o modelo de superfície de resposta explica cerca de 773 da variabilidade da produção de milho restando aproximadamente 227 associada ao resíduo erro aleatório mais falta de ajustamento Para o coeficiente de determinação em relação aos tratamentos considerase que o modelo busca explicar a variação entre as médias de tratamentos Denotando por SQTrat a soma de quadrados entre tratamentos obtida no item a e por SQFA a soma de quadrados de falta de ajustamento obtida no item c definese rTrat2 1 SQFA SQTrat SQTrat SQFA SQTrat Da ANOVA dos tratamentos e da decomposição do resíduo da regressão temse SQTrat 5758724 SQFA 58241120 Substituindo rTrat2 1 58241120 5758724 229694287935 0798 Logo em relação apenas à variação entre as médias dos 12 tratamentos o modelo de regressão explica cerca de 798 da variabilidade enquanto aproximadamente 202 da variação entre tratamentos permanece atribuída à falta de ajustamento do modelo de segunda ordem E Pelo item b o modelo quadrático com interação ajustado para a produção de milho y em função de fósforo P e nitrogênio N é ŷP N 40724 5340P 25692400N 13400P2 333200N2 131000PN a Determinação do ponto crítico O ponto crítico é obtido anulandose o gradiente da superfície de resposta Calculamse as derivadas parciais de primeira ordem ẏρ 5340 213400 ρ 131000 N 5340 13200 ρ 131000 N ẏN 25692400 2333200 N 131000 ρ 25692400 331600 N 131000 ρ o ponto crítico ρ N satisfaz o sistema 5340 13200 ρ 131000 N 0 25692400 331600 N 131000 ρ 0 Escrevendo em forma matricial 13200 131000 131000 331600 ρN 534025692400 Resolvendo o sistema linear obtémse ρ 98984536231 273 N 966502787 347 onde os valores aproximados estão em kg de fósforoha e kg de nitrogênioha respectivamente b Estudo da natureza do ponto crítico Para classificar o ponto crítico utilizase a matriz hessiana formada pelas derivadas parciais de segunda ordem ²ẏρ² 213400 13200 ²ẏN² 2333200 331600 ²ẏρN ²ẏNρ 131000 Assim a hessiana é H 13200 131000 131000 331600 Para funções de duas variáveis o critério de classificação do ponto crítico usa o determinante de H e o sinal de H11 detH 13200331600 131000² 120778000000 15110³ 0 Como H11 13200 0 e detH 0 a matriz hessiana é indefinida Isso caracteriza o ponto crítico como um ponto de sela ponto de sela da superfície de resposta e não um máximo nem um mínimo local Concluise portanto que o modelo quadrático apresenta um ponto crítico em ρ N 273 347 e que esse ponto é de natureza tipo sela na superfície de resposta estimada