Exercicios de Calculo 1-p2

FATEC Tecn REVAC prof Silvia ATIVIDADE PARA ENTREGAR até 2406 pelo TEAMS 1 Calcule os limites das seguintes funções contínuas utilizando as propriedades a lim 𝑥23𝑥4 2𝑥2 𝑥 1 b lim 𝑢2 𝑢4 3𝑢 6 2 Calcule o limite se existir use os casos de fatoração listados no final a lim 𝑥0 3𝑥𝑥2 𝑥 b lim 𝑥5 𝑥210𝑥25 𝑥225 c lim 𝑥1 𝑥24𝑥3 𝑥1 d lim 𝑥7 49𝑥2 7𝑥 3 Calcule os limites envolvendo o infinito se existir a lim 𝑥 1 𝑥2 b lim 𝑥 1 𝑥2 c lim 𝑥0 1 𝑥2 d lim 𝑥 𝑥5 e lim 𝑥 𝑥5 f lim 𝑥2𝑥4 3𝑥3 𝑥 6 g lim 𝑥2𝑥4 3𝑥3 𝑥 6 h lim 𝑥2𝑥5 3𝑥2 6 i lim 𝑥2𝑥5 3𝑥2 6 j lim 𝑥 5𝑥43𝑥21 5𝑥22𝑥1 k lim 𝑥 5𝑥43𝑥21 5𝑥22𝑥1 4 Calcule as derivadas das funções abaixo Utilize as regras básicas de derivação e derivadas de funções elementares além de conhecimentos básicos de álgebra a 𝑓𝑢 5𝑢3 2𝑢2 6𝑢 7 b 𝑓𝑥 1 𝑥3 1 𝑥4 c 𝑓𝜃 5𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 cos 𝜃 4 d 𝑓𝑥 𝑥 ln 𝑥 5 Calcule as derivadas das funções abaixo Utilize as regras básicas de derivação as derivadas de funções elementares as regras do produto do quociente além de conhecimentos básicos de álgebra a 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 b 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥2 c 𝑓𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 d 𝑓𝑥 3𝑥24𝑥83 𝑥1 e 𝑓𝑥 2𝑥2 𝑥𝑒𝑥 Fórmulas de produtos notáveis e fatoração 1 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦2 𝑥2 2𝑥𝑦 𝑦2 3 𝑥 𝑦2 𝑥2 2𝑥𝑦 𝑦2 4 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝑎𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥2 onde 𝑥1 e 𝑥2 são raízes de 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 5 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑥 𝑎 𝑏 Tabela de derivadas Regras de derivação k constante 1 𝑓𝑥 𝑘 𝑓𝑥 0 2 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑓𝑥 𝑛 𝑥𝑛1 Regra da potência 3 𝑓𝑥 𝑘 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑘 𝑔𝑥 4 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 e ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 5 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Regra do produto 6 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑔𝑥2 Regra do quociente 7 𝑓𝑥 𝑓𝑢𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑢 𝑢𝑥 Regra da cadeia Derivadas de funções elementares 1 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑓𝑥 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑎 0 𝑎 1 2 𝑓𝑥 ln 𝑥 𝑓𝑥 1 𝑥 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 𝑓𝑥 1 𝑥 log𝑎 𝑒 𝑎 0 𝑎 1 3 𝑓𝑥 sen 𝑥 𝑓𝑥 cos 𝑥 4 𝑓𝑥 cos 𝑥 𝑓𝑥 sen 𝑥 5 𝑓𝑥 tg 𝑥 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥 6 𝑓𝑥 cotg 𝑥 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 7 𝑓𝑥 sec 𝑥 𝑓𝑥 sec 𝑥 tg 𝑥 8 𝑓𝑥 cossec 𝑥 𝑓𝑥 cossec 𝑥 cotg 𝑥 Relações trigonométricas 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 2 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 sen𝑥 3 𝑠𝑒𝑐 𝑥 1 cos 𝑥 4 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 1 sen 𝑥 5 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 relação trigonométrica fundamental Questão 1 Calcule o limite das seguintes funções contínuas a lim x2 3x4 2x2 x 1 b lim u2 u4 3u 6 Solução a Temos que lim x2 3x4 2x2 x 1 3 24 2 22 2 1 3 16 8 3 59 b Temos que lim u2 u4 3u 6 22 3 cot2 6 16 4 Questão 2 Calcule o limite se existir a lim x0 3x x2 x c lim x1 x2 4x 3x 1 b lim x5 x2 10x 25x2 25 d lim x7 49 x27 x Solução a Colocando x em evidência no numerador temos lim x0 3x x2 x lim x0 x3 x x lim x0 3 x 3 0 3 b Fatorando o numerador e o denominador obtemos lim x5 x2 10x 25x2 25 lim x5 x 5x 5 x 5x 5 lim x5 x 5x 5 5 5 5 5 010 0 c Fatorando o numerador obtemos lim x1 x2 4x 3x 1 lim x1 x 1x 3 x 1 lim x1 x 3 1 3 2 d Fatorando o numerador obtemos lim x7 49 x27 x lim x7 7 x7 x 7 x lim x7 7 x 7 7 14 Questão 3 Calcule os limites envolvendo o infinito se existir a lim x 1x2 Solução Temos que lim x 1x2 1 0 b lim x 1x2 Solução Temos que lim x 1x2 1 0 c lim x0 1x2 Solução Temos que lim x0 1x2 10 d lim x x5 Solução Temos que lim x x5 e lim x x5 Solução Como x5 é uma potência de grau ímpar e x temos que lim x x5 f lim x 2x4 3x3 x 6 Solução Colocando o termo de maior grau em evidência temos lim x 2x4 3x3 x 6 lim x 2x4 1 32x 12x4 62x4 lim x 2x4 lim x 1 32x 12x 62x4 lim x 2x4 1 g lim x 2x4 3x3 x 6 Solução Colocando o termo de maior grau em evidência temos lim x 2x4 3x3 x 6 lim x 2x4 1 32x 12x 62x4 lim x 2x4 lim x 1 32x 12x 62x4 lim x 2x4 1 pois 2x4 é uma potência de grau par h lim x 2x5 3x2 6 Solução Colocando o termo de maior grau em evidência temos lim x 2x5 3x2 6 lim x 2x5 1 32x3 62x5 lim x 2x5 lim x 1 32x3 62x5 lim x 2x5 1 i lim x 2x5 3x2 6 Solução Colocando o termo de maior grau em evidência temos lim x 2x5 3x2 6 lim x 2x5 1 32x3 62x5 lim x 2x5 lim x 1 32x3 62x5 lim x 2x5 1 pois 2x5 é uma potência de grau ímpar j lim x 5x4 3x2 1 5x2 2x 1 Solução Colocando os termos de maior potência em evidência tanto no numerador como no denominador temos lim x 5x4 3x2 1 5x2 2x 1 lim x x4 5 3x2 2x3 1x4 x2 5 2x 1x2 lim x x2 5 3x2 2x3 1x4 5 2x 1x2 lim x x2 lim x 5 3x2 2x3 1x4 5 2x 1x2 lim x x2 55 k lim x 5x4 3x2 1 5x2 2x 1 Solução Colocando os termos de maior potência em evidência tanto no numerador como no denominador temos lim x 5x4 3x2 1 5x2 2x 1 lim x x4 5 3x2 2x3 1x4 x2 5 2x 1x2 lim x x2 5 3x2 2x3 1x4 5 2x 1x2 lim x x2 lim x 5 3x2 2x3 1x4 5 2x 1x2 lim x x2 55 pois x2 é uma potência de grau par Questão 4 Calcule as derivadas das funções abaixo a fu 5u3 2u2 6u 7 Solução Sabendo que se fx xα com α ℝ então fx α xα1 temos que fu 5 3 u2 2 2 u 6 0 15u2 4u 6 b fx 1x3 1x4 Solução Sendo fx 1 x3 1 x4 x3 x4 temos que f x 3 x31 4 x41 3x4 4x5 3 x4 4 x5 c fθ 5enθ 2cosθ 4 Solucao Como senθ cosθ e Cosθ senθ temos que f θ 5cosθ 2senθ 0 5cosθ 2senθ d fx x lnx Solucao Como fx x lnx x 1 2 lnx temos que f x 1 2 x 1 2 1 1 x 1 2x 1 2 1 x 1 2x 1 x Questao 5 Calcule as derivadas das funcoes abaixo a fx senx cosx Solucao Aplicando a Regra do Produto temos f x senx cosx senx cosx cosx cosx senx senx cos2x sen2x cos2x b fx senx x2 Solucao Aplicando a Regra do Quociente temos f x senx x2 senx x2 x4 x2 cosx 2x senx 4 xxcosx 2senx x4 xcosx 2senx x3 c fx x senx Solucao Aplicando a Regra do Produto temos 5 f x x senx x senx 1 2x senx x cosx Senx 2x x cosx d fx 3x2 4x 83 x 1 Solucao Aplicando a Regra do Quociente temos f x 3x2 4x 83 x 1 3x2 4x 83 x 1 x 12 6x 4 x 1 3x2 4x 83 x 12 6x2 2x 4 3x2 4x 83 x 12 6x2 6x 79 x 12 e fx 2x2 x ex Solucao Aplicando a Regra do Produto temos f x 2x2 x ex x2 x ex 4x 1 ex 2x2 x ex ex4x 1 2x2 x ex2x2 5x 1 6