Regra de LHopital-Calculo de Limites e Derivadas

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Regra de LHôpital Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Comparar o quociente entre duas funções Aplicar o conceito de derivada no cálculo de limites por meio da regra de LHôpital Calcular limites envolvendo indeterminações do tipo 00 ou infinito infinito Introdução Ainda que algumas funções sejam indeterminadas em alguns pontos é possível entender seu comportamento com o uso de limites Entre as possíveis indeterminações que aparecem no cálculo de limites vamos destacar aqui as do tipo 00 e 0 casos em que devemos usar uma metodologia que faz uso de derivadas a regra de LHôpital Neste capítulo você aprenderá sobre quociente entre funções e a regra de LHôpital além de observar exemplos de uso Quociente entre funções Uma função pode ser escrita a partir de outras funções como uma função criada a partir da soma de outras funções Um caso em particular referese ao quociente entre funções As funções racionais são definidas como f x p xq x onde p e q são funções polinomiais com qx 0 ADAMI DORNELLES FILHO LORANDIL 2015 Por exemplo Olhando uma dessas funções mais de perto com o objetivo de encontrar o valor dela para um x escolhido chegamos à Figura 1 que mostra o gráfico da função fx em preto de px 3 x4 em azul e qx x 2 em magenta Para encontrarmos o valor das funções em por exemplo x 2 linha preta pontilhada podemos simplesmente substituir o valor de x em p e q e dividir o valor a fim de encontrar o valor de f Em outras palavras Figura 1 Gráficos das funções px 3x4 qx x 2 e fx pxqx 15 1 2 25 3 60 50 40 30 20 10 0 10 px qx fx X Regra de LHôpital 2 Uma maneira de estudar o comportamento de uma função fx ao redor de um x específico se dá por meio do emprego do limite Assim Leis dos limites Suponha que c é uma constante e que os limites existem Então 1 2 3 4 5 Fonte Stewart 2008 77 Embora as leis dos limites sejam bastante úteis para calcular limites de funções os casos nos quais ocorrem indeterminações como 00 ou são mais difíceis de resolver Nessas situações o ideal é utilizar uma regra chamada de LHôpital conforme mostrado a seguir 3 Regra de LHôpital Regra de LHôpital Ao calcularmos o limite de funções com quocientes podemos nos deparar com certas indeterminações como 00 ou conforme o caso a seguir Suponha a função Essa função não é definida em x 1 mas queremos investigar seu com portamento em torno desse ponto Para encontrarmos o seu limite para x 1 poderíamos olhar separadamente os limites do numerador e do denominador Para o numerador temos que E para o denominador Dessa maneira teríamos uma indeterminação do tipo 00 ou seja Assim não podemos usar a lei apresentada anteriormente para quociente de funções Para esses casos usamos uma metodologia chamada de regra de LHôpital Figura 2 Assim quando temos indeterminações do tipo 00 ou para encontrar o limite derivamos separadamente o numerador e o denominador Regra de LHôpital 4 Regra de LHôpital Suponha que f e g são diferenciáveis e que gx 0 em um intervalo aberto I que contenha a exceto possivelmente em a Tenha em mente que ou que em outras palavras temos uma indeterminação da forma ou Então se o limite do lado direito existe ou seja ou Fonte Stewart 2008 p 472 A Figura 2 ilustra como a regra de LHôpital funciona no primeiro gráfico há duas funções diferenciáveis f e g com valor 0 quando x a Se déssemos um zoom na função para valores de x bem próximos de a veríamos a função quase como uma reta O segundo gráfico mostra as funções como funções lineares com coeficientes angulares m1 e m2 Supondo que as funções sejam de fato lineares a razão entre elas seria que é a razão entre as próprias derivadas Assim podemos escrever que 5 Regra de LHôpital Figura 2 Esquema explicativo da regra de LHôpital Fonte Adaptada de Stewart 2008 y 0 x f g a y 0 y m1x a a y m2x a x Voltemos ao caso da função fx Para encontrarmos o seu limite quando x 1 devemos aplicar a regra de LHôpital Assim Regra de LHôpital 6 Portanto o limite da função quando x se aproxima de 1 é 1 mesmo se a função não for definida nesse ponto Figura 3 Figura 3 Gráfico da função X 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 05 0 05 1 15 2 25 3 35 y Se você aplicar a regra de LHôpital e o limite ainda apresentar indeterminações do tipo 00 ou pode empregar a regra novamente Produtos indeterminados Suponha duas funções f e g Se fx 0 e gx ou o valor do fx gx não é claro Haverá uma competição entre as duas funções em que ambas podem vencer levando o limite a ser 0 ou chamado de forma indeterminada do tipo 0 7 Regra de LHôpital Podemos lidar com esse tipo de indeterminação escrevendo o produto f g como um quociente ou seja Dessa maneira o limite é convertido para os casos de indeterminação do tipo 00 ou o que nos leva a poder usar a regra de LHôpital como mostra o Exemplo 1 Exemplo 1 Encontre o Nesse caso o limite é indeterminado do tipo 0 já que o limite de x tende a 0 e o limite de lnx tende a Para podermos usar a regra de LHôpital devemos reescrever a função Assim podemos escrever que Desse modo quando x 0 Agora podemos aplicar a regra de LHôpital Regra de LHôpital 8 Na Figura 4 você pode visualizar um esquema da função Figura 4 Esquema da função x Fonte Adaptada de Stewart 2008 y x ln x y 0 x 1 Calcular limites indeterminados Anteriormente você viu como usar a regra de LHôpital Agora verá alguns exemplos de uso dessa regra para a solução de limites Exemplo 2 Suponha a seguinte função e encontre o Olhando inicialmente o limite do numerador e do denominador podemos ver que ambos tendem a 0 9 Regra de LHôpital e Assim temos uma indeterminação do tipo 00 e podemos aplicar a regra de LHôpital Portanto A Figura 5 mostra um esquema da função Figura 5 Gráfico da função fx 05 1 15 2 25 3 y 3 4 X 0 2 25 35 45 5 Regra de LHôpital 10 Exemplo 3 Dada a função seguir encontre Nesse caso temos uma indeterminação do tipo já que os limites do numerado e do denominador dão Assim aplicando a regra de LHôpital temos que A Figura 6 mostra o gráfico da função Figura 6 Gráfico da função fx 10 y X 0 04 0 5 03 02 01 15 20 11 Regra de LHôpital Exemplo 4 Dada a função a seguir determine fx 1 tgx sec2 x Nesse caso temos uma indeterminação do tipo 0 já que e Podemos convertêla para uma indeterminação do tipo 00 reescrevendo a equação Aplicando a regra de LHôpital encontramos que Regra de LHôpital 12 O gráfico da função pode ser visto na Figura 7 Figura 7 Gráfico da função fx 1 tgx sec2 x 02 1 y X 0 04 06 08 1 09 11 12 13 08 ADAMI A M DORNELLES FILHO A A LORANDIL M M Précalculo Porto Alegre Bookman 2015 STEWART J Single variable calculus 6th ed New York Brooks Cole 2008 Leitura recomendada ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 13 Regra de LHôpital Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo sagah SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS