Exercícios Resolvidos Calculo Varias Variaveis - Gradiente Derivadas e Aplicações

Q1 A temperatura em um ponto x y z é dada por Txyz 200ex2 3y2 9z2 onde T é medido em ºC e x y z em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P212 em direção ao ponto Q333 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P Q2 A equação de van der Waals para n mols de um gás é dada por P n2 av2V nb nRT onde P é a pressão V é o volume e T é a temperatura do gás A constante R é a constante universal dos gases e a e b são constantes positivas que são características de um gás particular Calcule TP e PV Q3 O índice de sensação térmica é modelado pela função WT v 1312 06215T 1137v016 03965Tv016 onde T é a temperatura ºC e v a velocidade do vento kmh a Quando T 15C e v 30 kmh quanto você espera que a temperatura aparente W caia se a temperatura real decrescer em 1ºC E se a velocidade do vento aumentar em 1 kmh b A velocidade do vento é medida como 26 kmh com uma possibilidade de erro de 2 kmh e a temperatura é medida como 11 ºC com a possibilidade de erro de 1 ºC Utilize diferenciais para estimar o erro máximo cometido no valor calculado de W em decorrência dos erros de medida em T e v Q4 A pressão o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação pV 8314T onde p é medida em atm V em litros e T em Kelvins Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 123 L e a temperatura decresce de 310 K para 305 K Q5 O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron que se move ao redor do núcleo como uma nuvem eletrônica que o elétron não pode ser pensado como uma nuvem de carga negativa rodeando o núcleo No estado fundamental 1s é suposto que a densidade de probabilidade do elétron é dada pela função de distribuição de probabilidade pr onde pr 4 r2ao3 e2rao r 0 a integral Pr 0 a r pr ds 1 e2rao 43 r3ao3 3r2ao2 6rao 6 onde ao é o raio de Bohr ao 559 1011 m A integral determina a probabilidade do elétron ser encontrado dentro da esfera de raio r metros centrada no núcleo a Verifique se pr é uma função densidade de probabilidade b Encontre lim r pr Para que valor de rr tem seu valor máximo c Desenhe a função densidade d Calcule a probabilidade de o elétron estar dentro da esfera de raio centrada no núcleo e Calcule a distância média do elétron e do núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio Q6 Considerando os simples dos hidrocarbonetos o metano que é tetraédrico em torno do átomo de carbono central Em um arranjo tetraédrico perfeito como aquele do metano CH4 o átomo central está localizado no centro de um cubo e os quatro átomos de hidrogênio em vértices alternados Considere ao lado do cubo como a origem do sistema tridimensional e que o comprimento do lado do cubo é 2a responda a Determine as coordenadas de uma possível representação de cada molécula de hidrogênio em relação à origem b Calcule a distância entre dois átomos de hidrogênio sempre do cubo isto é determine o comprimento de uma diagonal do longo de uma uma topo do cubo até o ângulo do foco ô título é o ângulo de ligação H C H c Calcule o nível de energia Q7 Um cachorro e um coelho correm em linha reta por um campo aberto e começa a caçálo Em um sistema de coordenadas cartesianas como mostrado na figura suponha que i O coelho está na origem e o cachorro no ponto L 0 L está sempre à frente em que o cachorro corre vê o coelho ii O cachorro corre atrás do coelho iii O cachorro corre para o coelho na mesma velocidade do coelho a Mostre que o caminho do cachorro é o gráfico da função yfx onde y satisfaz a equação diferencial x y1dydx2 1 dydx b Determine a solução da equação no item a que satisfaz as condições iniciais y 0 quando x L Dica Seja y dydx na equação diferencial e resolva a equação de primeira ordem resultante para encontrar z então integre z para encontrar y c O cachorro alcança o coelho 6 a 1 000 4 2a002a0 3 2a02a00 2 02a02a0 5 a0a0a0 dcH 3 a b dHH 22 a c ÂNGULO ENTRE 1 5 E 3 u a0 a0 a0 v 2a0 2a0 0 a00a0 a0a00 uv uvcosθ cosθ a23a2 13 θ 10947 7 a QUANDO O CACHORRO VAI DE L0 PARA xy ELE PERCORRE S Lx 1 dydx2 dx dsdx 1 dydx2 I O COELHO POSSUI A MESMA VELOCIDADE DO CACHORRO E ESTÁ NO PONTO 0s dydx s y0 x S y x dydx dsdx dydx x d2 ydx2 dydx x d2 ydx2 x d2 ydx2 1 dydx2 b z dydx x dzdx 1 z2 INTEGRANDO ln x dz1 z2 ln z 1 z2 C xL dydx 0 C ln L ln x lnLz1z2 x L z1z2 xL2 2z xL 1 0 z x2L L2x Como z dydx y x24L L2 ln x C y x2 L24L 12 lnxL UTILIZANDO AS CONDIÇÕES INICIAIS c QUANDO x 0 y O CACHORRO NÃO ALCANÇA O COELHO 4 PV 831T VdP PdV 831 dT VdP 831 dT 831TV dV dP 831V dT 831TV2 dV dP 831 512 310144 03 883 KPa dP 883 KPa 5 a PARA MOSTRAR ISSO A SEGUINTE EXPRESSÃO DEVE SER VERDADE Pn 0 n 0 pn dn 1 4a03 n2 e2na0 dn 1 UTILIZANDO TABELAS DE ÍNTEGRAIS x2 ekx dx ekxk3 k2 x2 2kx 2 LOGO É VERDADE b lim n pn lim n 4a03 n2 e2na0 4a03 lim n 2a02 e4na0 4a03 lim n 2a02 e 2na0 0 UTILIZANDO LHOSPITAL pn 0 0v n0 na0 LOGO pn É MÁXIMO QUANDO n a0 c d Pn 0n 4a03 s2 e2sa0 4a03 eksk3 k2 s2 2Ks 2 USANDO Ks 2 E A ÍNTEGRAL DO ITEM A e µ n pn dn 4a03 n3 e2na0 dn µ 32 a0 UTILIZANDO INTEGRAÇÃO POR PARTES 1 T 400 ex²3y²9z² x3y9z GRADIENTE DA TEMPERATURA a û 333 212 121 û 16 121 T 212 400e43 2318 DuT212 T 212 û 400 e436 26 5200 63 e43 Cm DuT 212 5900 6 3 e43 Cm b NA DIREÇÃO DO VETOR 2318 c Txyz 400 ex²3y²9z² x² 3y² 9z² Aplicado no Ponto P2 1 2 temos T212 400 e43 337 Cm 2 i P PV Pnb n²aV n³abV² P nRT V nb nR TP TP V nb nR ii P nRTvnb n²aV² PV nRTVnb² 2 n³a V³ 3 WT 06215 03965 V016 TEMPERATURA REAL CAINDO DE 3 C WT 13048C TEMPERATURA APARENTE CAINDO DE 13 C a WV 3137 0316 V084 03965 0316 V084 T VELOCIDADE DO VENTO MAIOR WV 005 C b dW 06215 dT 3137 0316 V084 dv 03965 0316 dT 0316 T V084 dv dW 114 C