Lista de Exercícios Resolvidos Cálculo Integral Aplicações e Taxas

1 0 10 Rt dt 0 10 200 4t dt 0 10 200 dt 4 0 10 t dt 200 t 0 10 4 t² 2 0 10 2000 2 10² 2000 200 1800 l 2 Mₓ 0 4 ρx dx Mₓ 0 4 9 2x dx 0 4 9 dx 2 0 4 x dx 9 x 0 4 2 2 x ³2 3 0 4 9 4 43 4 ³ 1 36 43 8 36 323 108 32 3 140 3 Kg Q8 Um aquário foi construído da seguinte forma considere uma esfera de raio 3 cm retire as calotas esféricas 1 cm dos extremos para o centro o sólido S resultante será o aquário Calcule o volume do sólido S Q10 Experiências mostram que se a reação química N₂O₅ 2NO₂ 12 O₂ ocorre a 45C a taxa de reação do pentóxido de dinitrogênio é proporcional à sua concentração da seguinte forma dN₂O₅dt 00005 N₂O₅ Quanto tempo levará para que a reação reduza a concentração de N₂O₅ para 90 de seu valor original Q1 A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de Rt 200 4t litros por minuto onde 0 t 50 Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos Q2 A densidade linear de uma barra de comprimento 4m é dada por ρx 9 2x medida em quilogramas por metro onde x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra Encontre a massa total dessa barra Q3 A circunferência de raio 1 mostrada na figura toca a curva y 2x duas vezes Determine a área da região que se encontra entre as duas curvas Q4 Um tanque com capacidade de 400L está cheio com uma mistura de água e cloro com concentração de 005g de cloro por litro Para poder reduzir a concentração de cloro água doce é bombeada para o tanque na taxa de 4Ls A mistura é agitada e bombeada para fora em uma taxa de 10Ls Encontre a quantidade de cloro no tanque como uma função de tempo Q5 Um paciente toma 150 mg de um fármaco ao mesmo tempo todos os dias Sabese que o corpo elimina 95 da droga em 24 horas a Qual a quantidade do fármaco no corpo depois do terceiro comprimido Após o Nésimo comprimido b Qual a quantidade da substância que permanece no corpo a longo prazo O centro da circunferência está sobre o eixo y Então C 0 y0 C x² y y0² 1 y 2x y y0² 1 x² y y0 1 x² y y0 1 x² y y0 1 x² A equação do semicirculo inferior é yc y0 1 x² Nos pontos de tangência a inclinação da reta tangente à reta e à curva devem ser igual Assim tomando a reta y 2x y 2 yc 1 21 x² 2x yc x 1 x² 2 x 1 x² x 21 x² x² 45 x² 41 x² 5x² 4 x 2 5 x 25 5 Ponto de tangência 25 5 45 5 A distância do centro ao ponto de tangência é o raio da circunferência d²0 y0 25 5 45 5 1 25 5² 45 5 y0² 1 2025 8025 85 5 y0 y0² 1 y0² 85 5 y0 3 0 y0 0 Δ 32025 12 25 20 25 y0 b Δ 2a y0 85 5 25 5 2 25 2 5 Portanto y0 5 y 2x A 5 1 x² 2x 0 x 25 5 Região numerica A fx gx dx A 2 025 5 5 1 x² 2x dx A 2 025 5 5 dx 025 5 2x dx 025 5 1 x² dx A 2 5 25 5 x²025 5 025 5 1 x² dx A 2 2 2025 025 5 1 x² dx 025 5 1 x² dx x sen θ dx cos θ dθ cos²θ cosθ dθ cos³θ dθ 12 dθ 12 cos 2θ dθ sen²θ cos²θ 1 cos²θ sen²θ cos 2θ cos³θ 12 cos 2θ 2 12 θ 12 12 sen 2θ 12 θ 14 sen 2θ 12 θ 14 2 senθ cosθ 12 θ 12 senθ cosθ voltando para x 12 arc senx 12 x 1x² 235 0 12 arc sen255 35 12025 12 arc sen255 35 55 12 arc sen255 15 A 2 2 2025 12 arc sen255 15 A 4 4025 arc sen255 25 A 4 4025 1025 arc sen255 2 arc sen255 0189 4 taxa de entrada 4 Ls taxa de saída 10 Ls vazão 6 L s concentração do cloro y 400 60t saindo a 10 Ls 10y 400 60t 5y 200 3t dydt 5y 200 3t dy 5y dt 200 3t Eq Separável 15 dyy 1200 3t dt u 200 3t du 3 dt dt 13 du 15 ln y 13 ln200 3t c ln y 53 ln200 3t 5c ln y ln 200 3t53 5c aplicar exponencial y eln200 3t53 5c y eln200 3t53 e5c k 200 3t53 yk k 200 3k53 y10 k 20053 20 k 20 20053 yt 20 20053 200 3t53 yt 200 3t 20053 20 5 a 1º 150 150 0105 2º 150 150 0105 150 0105² 3º 150 150 0105 150 0105² 150 0105³ nº 150 150 0105 150 0105² 150 0105ⁿ¹ É uma PG nome das termos da PG de razão 0105 Sₙ a₁ 1 qⁿ 1 q S₃ 150 1 0105³ 1 005 157875 b limₙ 150 1 0105ⁿ 1 005 150 1 005 limₙ 1 0105ⁿ como q1 150 1 005 157895 8 VAQ 4πR³3 2VCAL x² y² 9 y² 9 x² y 9 x² VCAL π ₂³ 9x²² dx π ₂³ 9 x² dx π 9x x³3₂³ π 27 273 18 83 π 18 18 83 8π3 VAQ 4π 3³3 2 8π3 36π 16π3 92π3 uv 10 dN₂O₅dt 00005 N₂O₅ ddt y y 00005 y yCe Queremos 90 de C 09 C 09 C C e⁰⁰⁰⁰⁵ᵗ e⁰⁰⁰⁰⁵ᵗ 09 lne⁰⁰⁰⁰⁵ᵗ ln09 00005 t ln09 t ln09 00005 21072 neq