Prova 2 Semestre

09 1 Para a função fx x 9 determine a f¹x b o domínio e a imagem de fx c o domínio e a imagem de f¹x d um esboço dos gráficos de fx e f¹x no plano cartesiano abaixo 09 2 Calcule os limites a lim x2 12x4 1x2 b lim x0 8x senxx c lim x x³ 12 Determine a derivada das funções a y ln x 23x²1 b y arc tg e³ˣ c y arc sen 2x³ d y eʳᶦᵏ 1 a tem x fx x 9 y x 9 Assim fazendo y x e x y x y 9 x² y 9 y x² 9 Logo f¹x x² 9 Digitalizado com CamScanner b Devemos ter x 9 0 x 9 Assim o domínio de f é Domf 9 Uma vez que y fx com y x 9 e x 9 0 x Domf então y 0 Assim a imagem de f é Imf 0 c O domínio de f1 é a imagem de f Dom f1 0 Já a imagem de f1 é o domínio de f Im f1 9 d x y fx 9 9 9 0 0 8 8 9 1 1 5 5 9 4 2 0 0 9 9 3 O gráfico de f1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y x yx 2 a Notemos que 12x4 1x2 12x2 1x2 1 22x2 12x2 Assim limx2 12x4 1x2 limx2 12x2 12 limx2 1x2 Como x20 para todo x2 entao limx2 1x2 Logo limx2 12x4 1x2 12 b limx0 8x senxx limx0 8xx senxx limx0 8 limx0 senxx i ii i limx0 8 8 ii limx0 senxx 1 limite fundamental Logo limx0 8x senxx 8 1 7 c limx o infty x1x limx o infty explnx1x expleftlimx o infty lnx1xright expleftlimx o infty frac1x cdot lnxright expleftlimx o infty fraclnxxright Pela Regra de lHopital limx o infty fraclnxx limx o infty fracfracddxlnxfracddxx limx o infty frac1x1 limx o infty frac1x 0 Assim limx o infty x1x exp0 1 3 a Inicialmente y lnleftfracx5 6x2sqrt33x2 1right lnx5 6x2 lnleftsqrt33x2 1right y lnx5 6x2 ln3x2 113 y lnx5 6x2 frac13 ln3x2 1 Assim pela Regra da Cadeia y frac1x5 6x2 cdot x5 6x2 frac13 cdot frac13x2 1 cdot 3x2 1 y frac1x5 6x2 cdot 5x4 12x frac13 cdot frac13x2 1 cdot 6x y frac5x4 12xx5 6x2 frac2x3x2 1 b Pela regra da cadeia y 1 e3x2 9 e3x y 1 e6x 1 e3x 3x y 3e3x e6x 1 c Pela regra da cadeia y 1 1 2x32 2x3 y 1 1 4x6 6x2 y 6x2 1 4x6 d Pela regra da cadeia y ex x y ex x12 y ex 12 x12 1 y ex 12 x12 y ex 2x