Exercícios Resolvidos-Crescimento, Decrescimento e Extremos de Funções-Cálculo

Odete Amanda UCSal 20241 1 Exercícios 20 Estude quanto ao crescimento e decrescimento a função f em cada caso Critério da derivada para crescimento e decrescimento Considere que a função f contínua a b e derivável em a b temos que i Se f x 0 para todo x em a b então f é crescente em a b ii Se f x 0 para todo x em a b então f é decrescente em a b A fx x2 4x 3 x2 Passo 1 Buscando a derivada f x 2x 4 x2 x2 4x 3 2x x22 2x3 4x2 2x3 8x2 6x x4 4x2 6x x4 Passo 2 Determinando as raízes f x 0 4x2 6x 0 2x 2x 3 0 2 x 0 ou 2x 3 0 x 0 ou x 32 Passo 3 Fazendo o estudo do sinal da derivada f x 0 x 0 3 2 f x 0 x 0 3 2 Passo 4 Aplicando o critério f é crescente em 0 3 2 e decrescente em 0 3 2 B fx x 2 ln x Passo 1 Buscando a derivada f x 1 2 lnx x 2 x 2 ln x2 2 lnx 2 2 lnx2 Passo 2 Determinando as raízes f x 0 2 ln x 2 0 2 ln x 2 ln x 1 x e Passo 3 Fazendo o estudo do sinal da derivada f x 0 x e f x 0 x e Passo 4 Aplicando o critério f é crescente em e e decrescente em e C fx 4x4 4x3 8x2 12x Passo 1 Buscando a derivada f x 16x3 12x2 16x 12 16x3 16x 12x2 12 16xx2 1 12x2 1 x2 116x 12 4 4x 3 x 1 x 1 Passo 2 Determinando as raízes f x 0 4 4x 3 x 1 x 1 0 x 1 x 1 ou x 3 4 e 2 ln x 2 2 ln x2 f x 0 32 4x2 6x x4 f x Odete Amanda UCSal 20241 2 Passo 3 Fazendo o estudo do sinal da derivada f x 0 em 1 3 4 1 f x 0 em 1 3 4 1 Passo 4 Aplicando o critério f é crescente em 1 3 4 1 e decrescente em 1 3 4 1 21 Use o teste para derivada primeira para determinar os extremos locais das funções Seja f contínua em um intervalo a b e derivável em a b exceto talvez em c a b sendo c um ponto crítico de f 1 Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c x a b então c é um ponto de máximo local 2 Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c x a b então c é um ponto de mínimo local 3Se fx não muda de sinal em uma vizinhança de um ponto crítico c então f não tem extremo local em c A fx x2 4x 3 x2 Solução Pelo estudo do sinal feito no passo 3 do item A da questão 24 temos que 1 f x 0 para x 0 e f x 0 para x 0 0 é ponto de máximo local 2 f x 0 para x 3 2 e f x 0 para x 3 2 3 2 é ponto de mínimo local B fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 Solução Passo 1 Buscando a derivada f x 2x x 1 2x x 1 Passo 2 Determinando as raízes f x 0 2x 0 x 0 Passo 3 Fazendo o estudo do sinal da derivada f x 0 x 0 e f x 0 x 0 1 Ou seja f x 0 para x 0 e f x 0 para x 0 1 Portanto 0 é ponto de máximo local 1 3 4 1 4x 3 x 1 x 1 0 32 4x2 6x x4 f x Odete Amanda UCSal 20241 3 C fx x 2 lnx Solução Pelo estudo do sinal feito no passo 3 do item B da questão 24 temos que 𝐞 é ponto de mínimo local pois f x 0 para x e e f x 0 para x e D fx 4x4 4x3 8x2 12x Solução Passo 1 Buscando a derivada Ver item C questão 24 Passo 2 Determinando as raízes Ver item C questão 24 Passo 3 Fazendo o estudo do sinal da derivada Ver item C questão 24 Conclusão Pelo estudo do sinal feito no passo 3 do item C da questão 24 temos que 1 f x 0 para x 1 e f x 0 para x 1 1 é ponto de mínimo local 2 f x 0 para x v e f x 0 para x 3 4 3 4 é ponto de máximo local 3 f x 0 para x 1 e f x 0 para x 1 1 é ponto de mínimo local 22 Use se possível o teste para derivada segunda para determinar os extremos locais das funções Seja f uma função derivável em a b e c um ponto crítico de f neste intervalo isto é f c 0 Se f admite derivada de 2a ordem em a b temos que 1 Se f c 0 então f possui um mínimo local em c 2 Se f c 0 então f possui um máximo local em c Se f c 0 nada podemos afirmar usando este teste sobre a natureza do ponto crítico Em tais casos devemos aplicar o teste da derivada primeira A fx x4 Solução Passo1 Buscando a 1ª derivada f x 4x3 Passo 2 Determinando as raízes da derivada ou seja os pontos críticos de fx f x 0 4x3 0 x 0 Passo3 Buscando a 2ª derivada Odete Amanda UCSal 20241 4 fx 12x2 Passo4 Calculando o valor de fx nos pontos críticos f0 0 Passo 5 Aplicando o critério Como f0 0 nada podemos afirmar e precisamos fazer a análise do critério da 1ª derivada ou seja estudar o sinal da 1ª derivada f 1 413 4 1 4 f 1 413 4 1 4 Portanto como f x 0 para x 0 e f x 0 para x 0 concluímos que 0 é ponto de mínimo local da função B 4x4 4x3 8x2 12x Solução Passo1 Buscando a 1ª derivada Ver item C questão 24 16x3 16x 12x2 12 Passo 2 Determinando as raízes da derivada ou seja os pontos críticos de fx Ver item C questão 24 x 1 x 1 ou x 3 4 Passo3 Buscando a 2ª derivada fx 48x2 24x 16 Passo4 Calculando o valor de fx nos pontos críticos f 1 48 1 2 24 1 16 48 24 16 8 0 f 3 4 48 3 42 24 3 4 16 27 18 16 7 0 f1 48 12 24 1 16 48 24 16 56 0 Passo 5 Aplicando o critério Como f 1 0 e f 1 0 concluímos que 1 e 1 são pontos de mínimo local da função e 3 4 é ponto de máximo local pois f 3 4 0 C fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 Solução Passo 1 Buscando a derivada f x 2x x 1 2x x 1 Passo 2 Determinando as raízes f x 0 2x 0 x 0 Passo 3 Buscando a 2ª derivada f x 2 x 1 2 x 1 Passo 4 Calculando o valor de fx nos pontos críticos f0 2 Passo 5 Aplicando o critério Odete Amanda UCSal 20241 5 Como f 0 0 então f possui um máximo local em 0 23 Estude as funções a seguir em relação à sua concavidade Seja f uma função derivável em um intervalo a b O gráfico de f tem i concavidade para cima CVC em a b se e somente se f for uma função crescente em a b ii concavidade para baixo CVB em a b se e somente se f for uma função decrescente em a b Considere a função f que admite derivada segunda no intervalo a b i Se fx 0 para todo x em a b então o gráfico de f possui concavidade para cima em a b ii Se fx 0 para todo x em a b então o gráfico de f possui concavidade para baixo em a b A fx x2 4x 3 x2 Solução De acordo com o Passo 4 do item A da questão 24 f é crescente em 𝟎 𝟑 𝟐 e decrescente em 𝟎 𝟑 𝟐 Portanto f tem concavidade voltada para cima em 0 3 2 e concavidade voltada para baixo em 0 3 2 B fx x4 Solução Passo 1 Buscando a 1ª derivada f x 4x3 Passo 2 Determinando os pontos críticos de fx x 0 Passo 3 Buscando a 2ª derivada fx 12x2 Passo 4 Estudando o sinal de fx na vizinhança do ponto crítico Para quaisquer valores reais de x fx 0 Portanto o gráfico de f possui concavidade para cima em ℝ B fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 Solução Passo 1 Buscando a derivada f x 2x x 1 2x x 1 Passo 2 Determinando os pontos críticos de f 2x 0 x 0 Passo 3 Buscando a 2ª derivada fx 2 x 1 2 x 1 Passo 4 Estudando o sinal de fx na vizinhança do ponto crítico Para x 1 fx 0 e para x 1 fx 0 Odete Amanda UCSal 20241 6 Portanto o gráfico de f possui concavidade voltada para cima quando x 1 e concavidade voltada para baixo quando x 1 D fx 4x4 4x3 8x2 12x Solução Passo1 Buscando a 1ª derivada Ver item C questão 24 16x 3 16x 12x2 12 Passo 2 Determinando as raízes da derivada ou seja os pontos críticos de fx Ver item C questão 24 x 1 x 1 ou x 3 4 Passo3 Buscando a 2ª derivada fx 48x2 24x 16 Passo 4 Estudando o sinal de fx na vizinhança do ponto crítico Todos os pontos críticos são de máximo ou de mínimo Resta saber se há ponto de inflexão cujo candidato são os zeros da 2ª derivada fx 0 48x2 24x 16 0 6x2 3x 2 0 357 12 57 76 376 12 46 12 46 120 1 376 12 106 12 106 120 1 3 4 46 120 1 f é decescente neste intervalo e f x não muda de sinal na sua vizinhança Logo 46 120 é pt de inflexão 1 106 120 3 4 f é cescente neste intervalo e f x não muda de sinal na sua vizinhança Logo 106 120 é pt de inflexão 24 Com base no que diz o Teorema do Valor Médio responda Em que ponto a reta tangente à curva y x 3 é paralela à curva que une os pontos M1 1 e N3 27 Teorema do Valor Médio Teorema de Lagrange Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então existe c a b tal que 𝑓𝑐 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝑏 𝑎 Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então de acordo como Teorema do Valor Médio existe c a b tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto c fc é paralela a reta que passa pelos pontos a fa e b fb Odete Amanda UCSal 20241 7 Assim considerando a 1 e b 3 temos 𝑓𝑐 27 1 3 1 26 2 13 Por outro lado fx 3x 2 Portanto como fc 13 temos que 3c 2 13 c 13 3 Logo o c procurado é 13 3 2 25 Sejam f ℝ ℝ e g ℝ 2 4 ℝ 2 4 funções contínuas e os gráficos a seguir representam respectivamente os gráficos de suas derivadas Com base nas informações obtidas nos gráficos determine o que se pede para as funções f e g A As abscissas dos pontos críticos Os pontos críticos de uma função são as raízes da sua primeira derivada e os pontos onde essa derivada não existe Assim os pontos críticos da função fx são 2 1 0 1 2 4 e 6 gx são 5 3 2 1 0 1 2 e 4 B As abscissas dos pontos de máximo e de mínimo Dado c Df dizemos que f possui i máximo absoluto ou local em c se e somente se fc fx ii mínimo absoluto ou local em c se e somente se fc fx Teste da derivada primeira para extremos locais Seja f contínua em um intervalo a b e derivável em a b exceto talvez em c a b sendo c um ponto crítico de f 1 Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c x a b então c é um ponto de máximo local Odete Amanda UCSal 20241 8 2 Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c x a b então c é um ponto de mínimo local Observação Se fx não muda de sinal em uma vizinhança de um ponto crítico c então f não tem extremo local em c Assim temos que função fx 2 e 6 são as abscissas dos pontos de máximo e 4 do ponto de mínimo gx são 1 e 4 são as abscissas dos pontos de máximo e 1 e 2 dos pontos de mínimo C Os intervalos de crescimento e decrescimento Ver destaque na questão 24 Assim temos que a função fx é crescente em 1 1 1 2 4 6 e é decrescente em 1 2 4 6 gx é crescente em 2 1 1 2 4 e é decrescente em 2 1 1 2 4 D Os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo e os pontos de inflexão Ver destaque na questão 27 Assim temos que a função fx é crescente em 1 1 1 2 4 6 e é decrescente em 1 2 4 6 gx é crescente em 2 1 1 2 4 e é decrescente em 2 1 1 2 4 Se fx não muda de sinal em uma vizinhança de um ponto crítico c então f não tem extremo local em c e este é na verdade um ponto de inflexão Assim temos que as abscissas dos pontos de inflexão da função fx são 2 0 e 1 gx são 5 3 e 0 E A equação das assíntotas se existirem São assíntotas verticais da função fx x 1 e x 1 gx x 2 e x 0 Repetição das questões anteriores numa mesma questão Não vai cair na prova esboço de gráfico nem assíntotas 26 Para as funções I e II a seguir determine se possível A o domínio e a imagem B as interseções com os eixos C as assíntotas D os intervalos de crescimento e de decrescimento Odete Amanda UCSal 20241 9 E os máximos e mínimos absolutos eou relativos F os intervalos onde o gráfico é côncavo tem concavidade voltada para cima ou convexo tem concavidade voltada para baixo G os pontos de inflexão H o esboço do gráfico I 2 2 1 x x f x x II 3 2 2 1 1 x x x f x x