Antiderivadas e Regras de Integração Calculo - Guia Completo

61 Antiderivadas e as Regras de Integração Antiderivadas Retornemos novamente ao exemplo que envolve o movimento de um maglev Figura 1 No Capítulo 2 discutimos o seguinte problema Se conhecemos a posição do maglev em qualquer instante t podemos determinar sua velocidade no instante t Na realidade se a posição do maglev é descrita pela função posição f então sua velocidade em qualquer instante t é dada por ft Aqui f a função velocidade do maglev é simplesmente a derivada de f Nos Capítulos 6 e 7 consideraremos precisamente o problema oposto Se conhecemos a velocidade do maglev em qualquer instante t podemos determinar sua posição no instante t Dito de outra forma se conhecemos a função velocidade f do maglev podemos determinar sua função posição f Para resolver esse problema precisamos do conceito de antiderivada de uma função Antiderivada Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se Fx fx para todo x em I Assim uma antiderivada de uma função f é uma função F cuja derivada é f Por exemplo Fx x2 é uma antiderivada de fx 2x pois Fx ddx x2 2x fx e Fx x3 2x 1 é uma antiderivada de fx 3x2 2 uma vez que Fx ddx x3 2x 1 3x2 2 fx EXEMPLO 1 Seja Fx 13 x3 2x2 x 1 Mostre que F é uma antiderivada de fx x2 4x 1 Solução Diferenciando a função F obtemos Fx x2 4x 1 fx que nos dá o resultado desejado EXEMPLO 2 Sejam Fx x Gx x 2 e Hx x C onde C é uma constante Mostre que F G e H são todas antiderivadas da função f definida por fx 1 Solução Como Fx ddx x 1 fx Gx ddx x 2 1 fx Hx ddx x C 1 fx vemos que F G e H são de fato antiderivadas de f O Exemplo 2 nos mostra que já que uma antiderivada G de uma função f é conhecida então outra antiderivada de f pode ser encontrada adicionandose uma constante arbitrária à função G O teorema a seguir afirma que nenhuma outra função além daquela obtida dessa forma pode ser uma antiderivada de f Omitimos a prova