Exercícios Resolvidos de Álgebra Vetorial - Projeção, Coplanares e Ortogonalidade

1 Dadas os pontos A2 1 B3 1 e C4 2 Determinar a projeção do vetor AB sobre AC 2 Dado os vetores u 3 1 2 v 1 m 1 e w 2 3 4 a Calcule m para que sejam coplanares b Encontre a área do triângulo formado pelos vetores u e v 3 Dado os vetores u 1 2 3 v 2x 3y e w 3 1 5 calcule a u x w b v x w u c 2v 3v d w u x v 4 Encontre um vetor ortogonal a u 1 3 1 e v 1 3 3 com a módulo igual a 5 b ordenada igual a 3 5 Dado os vetores u 3 2 3 v 3 m 3 w 2 3 4 calcular m para que sejam ortogonais 1 A 2 1 B 3 1 C 4 2 AB B A AB 3 1 2 1 5 0 AC C A AC 4 2 2 1 2 1 projACAB AB AC AC2 AC 5 0 21 sqrt22 122 21 105 21 4 2 2a u v e w são coplanares se forem linearmente dependentes det 0 3 1 2 1 m 1 2 3 4 0 2 12m 6 4 4m 9 0 16m 3 m 316 B área 12 u x v 12 i j k 3 1 2 1 316 1 12 58 1 716 12 sqrt2564 1 49256 11 sqrt3 32 Q3 u 213 v 203 w 311 a u x w i j k 2 1 3 2 0 3 3i 0j 2k 3 0 2 b v x w u 2 0 3 x 3 1 1 2 1 3 2 0 3 x 5 2 2 i j k 2 0 3 5 2 2 6i 11j 4k 6 11 4 c 2u3v 4 2 66 0 9 46 20 69 78 D w u x v u x v i j k 2 1 3 2 0 3 3i 0j 2k 3 0 2 w u x v 3 1 13 0 2 9 0 2 11 Q4 A u x v i ortogonal a u e v u x v i j k 1 3 1 3 3 3 12i 6j 6k 12 6 6 k 12 6 6 1 k sqrt122 62 62 1 k 1 6sqrt6 o vetor procurado é 2sqrt6 1sqrt6 1sqrt6 B para que a ordenada seja 1 basta que k 16 2 1 1 Q5 para que ū e ṽ sejam ortogonais ūṽ0 31 2m 31 0 m1 3 para que ŵ e ṅ sejam ortogonais ŵ ṅ 0 2 3m 4 0 m2 23