Exercícios Resolvidos de Análise Complexa - Funções Analíticas e Equações

1ª 20 pontos Seja x um número real que não é um múltiplo inteiro de 2π Prove as igualdades a 1 cos x cos 2x cos n x cos π2 x sen n12 x sen π2 b sen x sen 2x sen nx sen π2 x sen n12 x sen π2 2ª 20 pontos Ache todas as raízes das equações a cosh z 12 onde cosh z exp z exp z 2 z C b sinh z 1 onde sinh z exp z exp z 2 z C 3ª 20 pontos Indique os pontos onde a função é contínua fz z² 2z 1 z³ 1 4ª 20 pontos Considere a função fz z Imz onde Imz é a parte imaginária de z Mostre que f0 0 Será fz analítica em z 0 5ª 20 pontos Sejam A um subconjunto aberto de C e f A C uma função analítica Considere o conjunto aberto A z z A e defina g A C por gz fbarz z A α a Usando a definição de função analítica prove que g é uma função analítica e que gz fbarz b Seja gz g₁xy i g₂x y com z x i y A Usando derivadas parciais para as funções g₁ e g₂ prove que as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por g₁ e g₂ em z A onde g é dado em α 0 a1 1 cos x1 cos 2 x1 cos n x cos D2 x sen n12 x sen x2 temos que sen Kx sen n x sen n12 1 sen x2 sen x2 Seja z cos x i sen x então 1 cos n x Re 1 z zn Re 1 zn1 1 z Re 1 e n1 ix 1 eix Re eix ein x2 eni x2 eni x2 eix2 eix2 eix2 como n Z e x R ao tomar apenas a parte real ficamos com k0n cos k x sen n x2 cos n x2 sen x2 b sen x sen n x sen n x2 sen n1 x2 sen x2 Im 1 z zn Im 1 zn1 1 z Im 1 e n1 ix 1 eix Im eix ei n x2 eni x2 eni x2 eix2 eix2 eix2 tomando agora a parte imaginária 2 Ache todas as raízes das equações a cosh z 12 ez ez2 12 ez ez 1 2 ez2 1 ez ez2 ez 1 0 ez y y2 y 1 0 Δ 1 4 3 y 1 3 i 2 ez 1 3 i 2 z ln 1 3 i 2 i π3 2 k π k Z 3 fz z² 2z 1 z³ 1 como f é o quociente de dois polinômios f é contínua em todos os pontos em que z³ 1 0 Como z³ 1 0 z³ 1 z ³1 vamos calcular as 3 raízes cúbicas de 1 z reiθ z ³ rei3θ 1eiπ 2kπi θ π3 2kπ3 k012 k0 z0 eiπ3 cosπ3 i senπ3 z0 12 32 i k1 z1 1 k2 z2 ei5π3 cos5π3 i sen5π3 12 32 i b sen z 1 ez ez 2 1 ez ez 2 ez² 1 2 ez² 2 ez 1 0 ez y y² 2y 1 0 Δ 4 4 8 y 2 8 2 1 2 ez 1 2 ou ez 1 2 tomando ln dos 2 lados z ln 1 2 e z ln 1 2 Assim fz é contínua para todo z C tal que z 1 z 12 32 i e z 12 32 i 4 f0 lim x0 Imzz Im00 z0 lim x0 Imz 0 Seja fz uxy ivxy onde uxy xy e vxy y² temos Ux y Uy x Vx 0 Vy 2y Assim Ux Vy e Uy Vx condições de CauchyRiemann não são satisfeitas caso z seja igual zero Logo como fz não é derivável numa vizinhança do 0 dizemos que ela não é analítica nesse ponto 5 Seja fz uxy ivxy então gz uxy ivxy pxy iqxy onde pxy uxt e qxy vxt com t y Assim Px Ux e qy Vt dtdy Vt Py Ut dtdy Ut Qx Vx como fxiy é analítica Ux Vt e Ut Vx logo gx qy qy gx b Do mesmo modo g1 Uxy iVxy g1 u e g2 v g1x ux g2y Vy dydt Uy qz Vx como ρ U e q V suas derivadas par e q existem e são contínuas Sendo assim gz é derivável em todas os pontos em que a fz é derivável Como f é analítica a g também é Além disso gz Px iqx Ux iVx Ux ivx f1z