Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica

Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica\n\nExemplo 19) Fatore c² - 2bc + a² + b²\nReagrupando o polinômio, teremos: b² - 2bc + c² - a² = (b² - 2bc + c²) - a²\nO trinômio b² - 2bc + c² pode ser fatorado como: (b - c)²\nE dessa forma, temos a diferença de dois quadrados (b - c)² - a² e, finalmente, teremos :\n(b - c)² - a² = (b - c + a)(b - c - a)\n\nExemplo 20) Fatore 5m⁵ + 10m⁴ - 15\nPercebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:\n5m⁵ + 10m⁴ - 15 = 5(m⁵ + 2m⁴ - 3)\nO trinômio m⁵ + 2m⁴ - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.\nE realmente o 0, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto -3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m⁵ de m.\nDessa forma, teremos: 5m⁵ + 10m⁴ - 15 = 5(m⁵ + 2m⁴ - 3) = 5(m⁴)(m - 1)\n\nExemplo 21) Fatore: (x - y)² + 2(y - x) - 24\nAntes de mais nada, lembremos que (x - y)² = (y - x)² (verifique se isso é verdade )\nAssim, como podemos exprimir essa expressão dada como: (y - x)² + 2(y - x) - 24.\nO trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.\nVerificando, percebemos que os números -4 e +6 têm por soma 2 e por produto -24 e a soma +2 aparece multiplicada pela raiz quadrada de A².\nE assim : A² + 2A - 24 = (A + 6)(A - 4) e como A = x - y, finalmente teremos: (x - y)² + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6)(y - x - 4)\n\nExemplo 22) Fatore x⁶ - y⁶\n1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos\nA raiz cúbica de x⁶ é x² e a raiz quadrada de y⁶ é y².\nAssim já temos o nosso primeiro fator (x² + y²) e o segundo fator (x² - y²).\nAssim, teremos : x⁶ - y⁶ = (x² - y²)(x⁴ + x²y² + y⁴)\nE dessa forma, teremos:\n\nx⁶ - y⁶ = (x² - y²)(x² + y²)².\nComo a diferença de quadrados (x² - y²) ainda pode ser fatorado, teremos :\n\nx⁶ - y⁶ = (x - y)(x + y)(x² + y²)². x⁴ + y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y² = (x² + y²)² - (x - y)² + 2(x² + y²) - y² = x² + y².\nAssim : (x² + y²)² - (x² - y²)(x² + y²).\n\n2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.\nA raiz quadrada de x⁶ é x³ e a raiz quadrada de y⁶ é y³.\nAssum, temos o nosso primeiro fator (x² + y²) e o segundo fator (x² - y²).\nAssim, teremos : x⁶ - y⁶ = (x - y)(x + y)(x² + y²)².\n\nOBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE\nSempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade igual a. Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade —.\nE escrevemos : 2(2x + 3) = 2x + 6.\nAssim o correto seria utilizar o sinal de identidade para todos os casos de produtos notáveis e, também, de fatoração.\nAssim, por exemplo :\na² - 2ab + b² = (a - b)²; m² - p² = (m + p)(m - p); 4x² + 6x - 10 = (2x + 5)(2x - 2).\n\nFatoração Algébrica - Exercícios Propostos\nI - Fatore colocando em evidência\n01) x² - xy =\n03) 6x³ - 12x² + 36 =\n05) 32m²p⁰ + 96m⁵p⁰ - 128m⁴p⁰ =\n\nII - Fatore os trinômios quadrados perfeitos\n08) 4a² + 12ax + 9x² =\n10) 4x² + 36x + 81p⁴ =\n12) y⁶ - 38y⁴ + 36y² =\n14) (a - b)² - (a + b)² + 16 =\n\n16) 196m⁷p⁰ - 121q² =\n18) (2x - y)² - 9z² =\n20) 2xy - x² - y² + 1 = x(x - y) a² (a - b)