Funções Transversais e Integrais - Cálculo 1 - Logaritmo e Aplicações

07 Funções transversais e integrais Cálculo 1 1 2013 Pearson Todos os direitos reservados Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções transversais e integrais 1 Logaritmo definido como uma integral 2 Variação exponencial e equações diferenciais 3 Funções hiperbólicas 4 Taxas relativas de crescimento 2 1 Logaritmo definido como uma integral Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 4 Definição da função logaritmo natural Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 5 Definição da função logaritmo natural O gráfico de y ln x e sua relação com a função y 1x x 0 O gráfico do logaritmo fica acima do eixo x à medida que x se desloca de 1 para a direita e muda para baixo do eixo x à medida que se desloca de 1 para a esquerda Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 6 Definição da função logaritmo natural Valores típicos de ln x para duas casas decimais Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 7 Derivada de y ln x Para cada valor positivo de x temos Se u é uma função derivável de x cujos valores são positivos de modo que ln u seja definida então aplicando a regra da cadeia obtemos Uma vez que x x quando x 0 e x x quando x 0 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 8 Gráfico e imagem de ln x a O retângulo de altura y 12 se encaixa sob a curva y 1x no intervalo 1 x 2 b Gráfico do logaritmo natural 07 Funções transversais e integrais Prof Anderson Rouver 9 Logaritmo definido como uma integral Integral 1u du Se u é uma função derivável que nunca se anula 1u du lnu c 07 Funções transversais e integrais Prof Anderson Rouver 10 Logaritmo definido como uma integral EXEMPLO Calcule a integral from π2 to π2 4 cos θ 3 2 sen θ dθ Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 11 Integrais de tg x cotg x sec x e cossec x Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 12 A inversa de ln x e o número e Aplicando a função ln1 em ambos os lados da equação ln er r descobrimos que Gráficos de y ln x e y ln1 x exp x O número e é ln1 1 exp 1 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 13 A inversa de ln x e o número e Para qualquer número real x definimos a função exponencial natural como ex exp x Equações inversas para ex e ln x Logaritmo definido como uma integral A derivada e a integral de ex Se u é qualquer função derivável de x então ddx eu eu dudx A equivalente integral à equação acima é eu du eu C Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 15 Leis dos expoentes Logaritmo definido como uma integral Função exponencial geral ax Para quaisquer números a 0 e x a função exponencial com base a é dada por ax ex ln a Se a 0 e u é uma função derivável de x então au é uma função derivável de x e ddx au au ln a dudx A integral equivalente desse último resultado é au du au ln a C Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 17 Logaritmos com base a Para qualquer número positivo a 1 o logaritmo de x com base a indicado por loga x é a função inversa de ax Equações inversas para ax e loga x Gráfico de 2x e sua inversa log2 x Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral 18 Logaritmos com base a Regras para logaritmos de base a Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral Derivadas e integrais que envolvem 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐚𝐚 𝐱𝐱 Seu é uma função positiva derivável de x então 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 log𝑎𝑎 𝑢𝑢 1 ln 𝑎𝑎 1 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 19 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Logaritmo definido como uma integral EXEMPLO Calcule 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 log10 3𝑑𝑑 1 20 2 Variação exponencial e equações diferenciais Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 22 Variação exponencial Se a quantidade presente no tempo t 0 é chamada de y0 então podemos determinar y em função de t pela solução do seguinte problema de valor inicial Determinamos o valor de A para o problema de valor inicial calculando A quando y y0 e t 0 𝑦𝑦0 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑘𝑘0 𝐴𝐴 A solução do problema de valor inicial é portanto 𝑦𝑦 𝑦𝑦0𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 23 Equações diferenciais separáveis Suponha que tenhamos uma equação diferencial de forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑦𝑦 A equação acima é separável se ƒ puder ser expresso como um produto de uma função de x e de uma função de y 07 Funções transversais e integrais Prof Anderson Rouver 24 Variação exponencial e equações diferenciais Equações diferenciais separáveis A equação diferencial então tem a forma dydx gxhy Sua forma diferencial nos permite coletar todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx hy dy gx dx Basta integrar ambos os lados hy dy gx dx Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 25 EXEMPLO Resolva a equação diferencial 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑥𝑥 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 26 EXEMPLO Resolva a equação 𝑦𝑦 𝑑𝑑 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑦𝑦2 1 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 27 Radioatividade Alguns átomos são instáveis e podem emitir massa ou radiação para o ambiente espontaneamente Esse processo é chamado de decaimento radioativo e o elemento cujos átomos passam por esse processo espontaneamente é chamado de radioativo Se 𝑦𝑦0 for o número de núcleos radioativos presentes no instante zero o número remanescente em qualquer tempo t posterior será 𝑦𝑦 𝑦𝑦0𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘 Determinamos que a meiavida é dada por Meiavida ln 2 𝑘𝑘 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 28 EXEMPLO As vezes o decaimento de elementos radioativos pode ser usado para datar eventos do passado da Terra Em um organismo vivo a proporção entre o carbono radioativo o carbono14 e o carbono ordinário permanece bastante constante durante a sua vida sendo aproximadamente igual à proporção na atmosfera do organismo à época Após a morte do organismo no entanto nenhum carbono novo é ingerido e a proporção de carbono14 nos restos mortais diminui à medida que ele decai Os cientistas que fazem datação por carbono14 consideram que 5700 seja o número de anos de sua meiavida Determine a idade de uma amostra na qual 10 dos núcleos radioativos originalmente presentes já decaíram Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 29 Transferência de calor a lei do resfriamento de Newton Se H for a temperatura do objeto no instante t e HS a temperatura constante do ambiente então a equação diferencial será 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑆𝑆 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 30 Transferência de calor a lei do resfriamento de Newton Se substituirmos y por H HS então Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Variação exponencial e equações diferenciais 31 Transferência de calor a lei do resfriamento de Newton Agora sabemos que a solução de dydt ky é y y0e kt onde y0 y0 Substituindo H HS por y isso nos diz que 32 3 Funções hiperbólicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 33 As funções hiperbólicas são formadas por combinações de duas funções exponenciais ex e ex Elas simplificam muitas expressões matemáticas e são importantes em aplicações práticas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 34 Definições e identidades As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas pelas equações senh 𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥 2 cosh 𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥 2 Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 35 Definições e identidades As seis funções hiperbólicas básicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 36 Definições e identidades As seis funções hiperbólicas básicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 37 Definições e identidades As seis funções hiperbólicas básicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 38 Derivadas e integrais de funções hiperbólicas Identidades satisfeitas por funções hiperbólicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 39 Derivadas e integrais de funções hiperbólicas Derivadas das funções hiperbólicas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 40 Derivadas e integrais de funções hiperbólicas Fórmulas das integrais das funções hiperbólicas 07 Funções transversais e integrais Prof Anderson Rouver 41 Funções hiperbólicas EXEMPLO Calcule a ₀¹ senh² x dx b ₀ln2 4eˣ senh x dx Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 42 Funções hiperbólicas inversas Gráficos das inversas de tangente cotangente e cossecante hiperbólicas de x Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 43 Identidades úteis Identidades das funções hiperbólicas inversas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 44 Identidades úteis Derivadas das funções hiperbólicas inversas Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Funções hiperbólicas 45 Identidades úteis Funções hiperbólicas EXEMPLO Calcule ₀¹ 2 dx 3 4x² 4 Taxas relativas de crescimento Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Taxas relativas de crescimento 48 Taxas de crescimento de funções Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais Taxas relativas de crescimento 49 Ordem e notação o Prof Anderson Rouver 07 Funções transversais e integrais REFERÊNCIAS Cálculo volume 1 George B Thomas 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 50 2013 Pearson Todos os direitos reservados