Maximos e Minimos de Funcoes com Varias Variaveis - Guia Completo

83 Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis Máximos e Mínimos No Capítulo 4 vimos que a solução de um problema frequentemente se reduz a determinar os valores extremos de uma função de uma variável Na prática no entanto também aparecem situações nas quais um problema é resolvido determinandose os valores máximo e mínimo absolutos de uma função com duas ou mais variáveis Por exemplo suponha que a Companhia Scandi fabrique mesas para microcomputadores nas versões montada e desmontada Seu lucro P é portanto uma função do número de unidades montadas x e do número de unidades desmontadas y manufaturadas e vendidas por semana isto é P f x y Uma questão de importância crucial para o fabricante é quantas mesas montadas e desmontadas a companhia deve fabricar por semana para maximizar seu lucro semanal Matematicamente o problema é resolvido encontrandose os valores de x e y que tornarão f x y um máximo Nesta seção vamos focar a nossa atenção em determinar os valores extremos de uma função de duas variáveis Como no caso de uma função de uma variável vamos distinguir entre os extremos relativos ou locais e os extremos absolutos de uma função de duas variáveis Extremos Relativos de uma Função com Duas Variáveis Seja f uma função definida em uma região R que contém o ponto a b Nesse caso f tem um máximo relativo em a b se fx y fa b para todos os pontos x y que estão suficientemente próximos a a b O número fa b é chamado de valor máximo relativo Analogamente f tem um mínimo relativo em a b com valor mínimo relativo fa b se fx y fa b para todos os pontos x y que estão suficientemente próximos a a b De modo vago f tem um máximo relativo em a b se o ponto a b fa b é o ponto mais alto do gráfico de f quando comparado com pontos próximos Uma interpretação semelhante é válida para mínimos relativos Se as desigualdades nessa última definição forem válidas para todos os pontos x y no domínio de f então f tem um máximo absoluto ou mínimo absoluto em a b com valor máximo absoluto ou valor mínimo absoluto fa b A Figura 16 mostra o gráfico de uma função com máximo relativo em a b e e g e um mínimo relativo em c d O máximo absoluto de f ocorre em e g e o mínimo absoluto de f ocorre em h i Exatamente como no caso de uma função de uma variável um extremo relativo máximo relativo ou mínimo relativo pode ser ou não um extremo absoluto Vamos agora nos preocupar com o estudo dos extremos relativos de uma função Suponha agora que uma função diferenciável fx y de duas variáveis tenha um máximo relativo mínimo relativo em um ponto a b no domínio de f Na Figura 17 vemos claramente que no ponto a b os coeficientes angulares das retas tangentes à superfície em qualquer direção devem ser iguais a zero Em particular isso implica que devem ser ambas iguais a zero FIGURA 16 O extremo relativo e o extremo absoluto da função f no domínio D