Fundamentos da Matemática: Introdução às Matrizes e suas Aplicações

UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1 MÓDULO 3 MATRIZES UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 2 Caroa Alunoa Bem vindoa ao curso de Fundamentos da Matemática Matrizes que visa aprimorar os conhecimentos sobre a definição de Matrizes as opera ções e os tipos particulares de matrizes as ferramentas para calcular máxi mos e mínimos de funções com n variáveis a análise de Insumo Produto e a Programação Linear Nesta etapa de aprendizado você será estimulado a partindo do co nhecimento basilar de matrizes e dos tipos particulares existentes resol ver facilmente problemas envolvendo operações com matrizes além de tra balhar com aplicações práticas com os conceitos de máximo e mínimo de funções de nvariáveis e ter noções básicas de iniciação à Análise de Insu moProduto e programação linear Bom estudo Ao final deste curso esperase que você seja capaz de Compreender o conceito de Matrizes sabendo facilmente identificar e organizar os dados em forma matricial Compreender os principais tipos de matrizes e se familiarizar com as mais diversas operações existentes atentando para a forma mais simplifi cada de resolver com base nas regras e teoremas apresentados Compreender o conceito de máximos e mínimos de funções de n variáveis e as aplicações práticas existentes nos mais diversos ramos Compreender os conceitos introdutórios da Análise de insumopro duto com os modelos fechado e aberto e se familiarizar com a parte inicial de Programação Linear raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 3 1 INTRODUÇÃO SOBRE MATRIZES Quando falamos no assunto matrizes há relatos de que os chineses nos seus estudos deixaram registrados em livros vários conhecimentos ma temáticos que podem ser encontrados pelo livro de maior destaque de mate mática chamado de ChuiChang SuanShu ou Nove capítulos sobre a arte matemática livro em que surge a notação do quadrado mágico com nú meros de forma matricial utilizado para a resolução de sistemas de equa ções lineares Importante destacar que o surgimento das matrizes não se deu da mesma forma como hoje estudamos primeiramente o conceito de matrizes para após iniciar o estudo dos determinantes e sistemas mas sim de forma inversa Apesar do surgimento e utilização na antiguidade as grandes contri buições para a matemática passaram pelos trabalhos apresentados entre outros por Leibniz 1646 1716 Lagrange 1736 1813 Cauchy 1789 1857 e Cayley 1821 1895 sendo que este último foi o matemático que relacionou a álgebra ao estudo das matrizes o que fez considerar que a abordagem das matrizes deveria preceder a de determinante As aplicações das matrizes em nosso cotidiano são as mais diversas passando pelas áreas da economia em que veremos ainda neste ebook a sua aplicação no modelo fechado de Leontief que representa em síntese um equilíbrio para a economia Ainda as matrizes são utilizadas para a construção de inúmeras tabe las utilizadas em diversas áreas como na computação gráfica em Engenha ria Física e Administração raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 4 1 1 CONCEITO Damos o nome de matriz do tipo m n a uma tabela com m x n nú meros que estão dispostos em m linhas e n colunas Termos ou Elementos de uma matriz são os números que a compõem e esses elementos são dispostos entre colchetes ou entre parênteses 1 2 EXEMPLOS E REPRESENTAÇÃO Matriz Linha apresenta apenas uma linha recebendo o nome de ma triz linha 15 1 Matriz Coluna apresenta apenas uma coluna recebendo o nome de matriz coluna Matriz do tipo m x n Podemos representar a matriz de acordo com o número de linhas e colunas que ela possui EXEMPLOS Matriz do tipo 3 x 3 Matriz do tipo 2 x 3 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 5 O tipo da matriz também pode aparecer logo ao lado direito dela na parte inferior Matriz do tipo 3 x 3 3 X 3 Matriz do tipo 2 x 3 2 X 3 1 3 REPRESENTAÇÂO GENÉRICA Cada elemento de uma matriz ocupa uma posição específica em uma determinada linha e coluna Quando nos referirmos a um elemento de uma matriz podemos representálo por a ij em que i indica a linha e j a coluna ocu padas pelo elemento Podemos então de forma genérica representar uma matriz por Fonte CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 Matrizes e determinantes MODERNA Disponível em lthttpjoinvilleifscedubrpauloamaroMat20IIIMaterial20Slides2020 Mat20IIIpdf gt raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 6 1 4 IGUALDADE DE MATRIZES Podemos dizer que duas matrizes são iguais quando o número de linha se colunas são iguais ou seja quando são do mesmo tipo e quando os ele mentos correspondentes também são iguais EXEMPLO Admitindo que A B temos a 11 b 11 a 12 b 12 a 13 b 13 a 21 b 21 a 22 b 22 a 23 b 23 a 31 b 31 a 32 b 32 a 33 b 33 EXERCÍCIO RESOLVIDO Dado que as matrizes A e B são iguais encontre os valores de x y e z Apenas olhando podemos observar que x 1 y 2 e z 7 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 7 1 5 MATRIZ NULA Damos o nome de matriz nula para a matriz que apresenta todos os elementos iguais a zero EXEMPLO 1 6 MATRIZ QUADRADA Quando uma matriz apresenta o número de linhas igual ao número de colunas esta recebe o nome de matriz quadrada É comum que a matriz quadrada também seja chamada de matriz de ordem m em que m representa o número de linhas e colunas EXEMPLO Matriz quadrada de ordem 3 As diagonais de uma matriz quadrada recebem o nome de diagonal principal e diagonal secundária A diagonal principal tem elementos aij com i igual a j A diagonal secundária tem elementos aij com i j igual a n 1 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 8 1 7 MATRIZ IDENTIDADE Matriz identidade é matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0 Em uma matriz identidade temos aij 1 se i j e aij 0 se i j 1 8 MATRIZ DIAGONAL É o nome que recebe a matriz quadrada em que todos os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos 1 9 MATRIZ TRANSPOSTA Matriz transposta é aquela que é obtida quando da troca de linhas por colunas em uma dada matriz Na matriz transposta temos aij aji Indica mos a matriz transposta de A por A t EXEMPLO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 9 1 10 MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz é simétrica quando ela é uma matriz quadrada e igual a sua matriz transposta ou seja se A A t 1 11 SOMA DE MATRIZES Para somarmos uma matriz A com outra matriz B é necessário que as matrizes tenham a mesma ordem O resultado da soma é uma matriz C A B de mesma ordem de tal forma que os elementos de C correspondentes de A e B serão a 11 b 11 c 11 a 21 b 21 c 21 e assim por diante 1 12 MATRIZ OPOSTA A matriz oposta ou oposta de uma matriz A é a matriz indicada por A que quando somada com a matriz A resulta na matriz nula de mesmo tipo raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 10 1 13 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Considerando as matrizes A B C e 0 matriz nula todas de mesmo tipo valem as seguintes propriedades Comutativa A B B A Associativa A B C A B C Existência do elemento neutro A 0mn 0mn A A Existência do elemento oposto A A A A 0mn Cancelamento A C B C A B 1 14 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES A operação de subtração de uma matriz A com uma matriz B ambas de mesmo tipo consiste na soma da matriz A com a oposta de B A B A B 1 15 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Seja a matriz A aij m n e k um número real A multiplicação k x A é uma outra matriz do tipo m x n obtida a partir do produto entre k e todos raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 11 os elementos da matriz A 1 16 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dadas as matrizes A aij mn e B bij np o produto de A por B é a matriz C cij mp na qual cada elemento cij é a soma dos produtos de cada el mento da linha i de A pelo correspondente elemento da coluna j de B Para que seja possível realizar a multiplicação de matrizes é necessá rio que o número de colunas da primeira matriz A seja igual ao número de li nhas da segunda matriz B A matriz C que resulta da multiplicação A x B tem a forma m x p ou seja o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda 1 17 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Considerando as matrizes A B e C temos as seguintes propriedades envolvidas na multiplicação Associativa A B C A B C Distributiva A B C A C B C ela pode ser à direita e à esquerda raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 12 Não se aplicam quando falamos de multiplicação de matrizes Cumulativa nem sempre A B B A Logo não vale a propriedade comutati va Cancelamento Mesmo quando A é uma matriz não nula não podemos con cluir com base em A B A C que B C isto é não vale a lei do cancelamento 1 18 MATRIZ INVERSA Quando o produto entre duas matrizes quadradas A e B resulta em uma matriz identidade com mesma ordem podemos dizer que B é a matriz inversa de A A notação da matriz inversa é A1 A B B A In raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 13 QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre o assunto de matrizes introdução acesse CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 Matrizes e determinantes MODERNA Disponível em httpjoinvilleifscedubrpauloamaroMat20IIIMaterial20Slides20 20Mat20IIIpdf EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO PROPRIEDADES DE MATRIZES raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 14 2 DETERMINANTES O determinante de uma matriz é um número Real que é obtido através de cálculos realizados com os elementos de uma matriz quadrada Na representação do determinante de uma matriz A det A devemos substituir os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples 21 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é obtido através da diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produ to dos elementos da diagonal secundária 22 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 3 REGRA DE SARRUS O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 pode ser obtido aplicandose a Regra de Sarrus cujas etapas do procedimento são descritas a seguir raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 15 Ao lado direito da matriz devem ser copiadas as duas primeiras colu nas Multiplicamse os elementos da diagonal principal e o mesmo deve ser feito com as duas paralelas que se formaram à sua direita e depois somam se os resultados das multiplicações Multiplicamse os elementos da diagonal secundária e o mesmo pro cesso deve ser feito com as duas paralelas que se formaram à direita dela e depois somamse os resultados das multiplicações O determinante será obtido através da diferença entre o resultado obti do na etapa 3 e o resultado obtido na etapa 4 EXEMPLO Dada a matriz A calcule seu determinante det A 8 12 0 10 8 0 det A 2 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 16 23 COFATOR DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2 Chamase cofator de um elemento aij de A o número real Aij 1i j Dij em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o ele mento aij EXEMPLO Calculo do cofator de a33 24 TEOREMA DE LAPLACE Pelo Teorema de Laplace é possível calcular o determinante de uma ma triz A de ordem n 2 através da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores Podese optar por qualquer linha ou coluna mas quanto mais zeros tiver na linha ou coluna melhor é pois facilita no processo reduzindo as eta raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 17 Realizando todas as operações para achar os cofatores temos detA 3 1 12 1125 4 132 detA 36 25 128 detA 139 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 18 3 MÉTODOS PARA SIMPLIFICAR O CÁLCULO DE DETER MINANTES 31 FILA NULA Quando os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A forem nulos o det A 0 32 FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS OU IGUAIS Quando duas filas são proporcionais ou iguais o det A 0 33 DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua matriz transposta raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 19 34 PRODUTO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE Quando multiplicamos todos os elementos de uma fila por uma cons tante k o determinante dessa matriz obtida também ficará multiplicado por k 35 TROCA DE FILAS PARALELAS Quando trocamos duas filas paralelas de lugar em uma matriz quadra da A o determinante da nova matriz obtida será o oposto do determinante de A 36 ELEMENTOS DO MESMO LADO DA DIAGONAL PRINCIPAL NULOS Quando todos os elementos situados do mesmo lado da diagonal prin cipal de uma matriz quadrada A são nulos o determinante de A é igual ao produto dos elementos dessa diagonal raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 20 37 TEOREMA DE JACOBI Quando multiplicamos os elementos de uma fila em uma matriz qua drada A por uma constante e somamos os resultados a uma ou mais filas paralelas obteremos uma matriz B cujo determinante será igual ao determi nante de A Multiplicando a segunda coluna por 2 e somando o resultado com a primeira temos 38 TEOREMA DE BINET Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem n temos det A B detA detB det A 10 3 7 e det B 0 3 3 det A det B 21 det A B 21 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 21 39 DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA Sendo A uma matriz quadrada de ordem n e A1 a sua inversa temos raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 22 4 PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO Quando partimos de uma análise gráfica identificamos um ponto de máximo relativo como sendo o ponto em que uma função muda sua direção que era crescente para decrescente pico e de forma análoga um ponto de mínimo relativo como sendo um ponto em que uma função muda sua dire ção de decrescente para crescente vale Para que o ponto x0y0 seja ponto de máximo de uma função fxy fxy f x0y0 Para que o ponto x0y0 seja ponto de mínimo de uma função fxy fxy f x0y0 Em ambos os casos devemos ter xy pertencente ao domnio da fun ção 41 PONTO CRÍTICO Dizemos que um ponto x0y0 pertencente ao domino da função será ponto crítico de f quando Os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximo mínimo ou ponto sela raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 23 Na hipótese de fxy ser duas vezes diferenciável podemos atribuir o nome de Hessiano de f a função Hxy dada por Neste caso temse Se det H 0 e fxx a b 0 f tem um mínimo relativo em a b Se det H 0 e fxx a b 0 f tem um máximo relativo em a b Se det H 0 é um ponto de sela de é 42 PONTO CRÍTICO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA FONTE PNG WING Disponível em httpswwwpngwingcomptfreepngcnwfidownload raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 24 QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre máximos e mínimos acesse FREITAS Antonio dos Santos de UMA ABORDAGEM DE PONTOS CRÍTICOS E AS FUNÇÕES DE MORSE Rio Claro 2017 Capítulo 4 Disponível em httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449150828freitasas merclapdfjsessionid16B359765E3F60A3FDDECF2149A2D287sequence3 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 25 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PONTO CRÍTICO 1 Determine a função e a matriz hessiana da função f xy x3y2 2 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da fun ção f xy x3 12xy 8y3 Fonte EXERCÍCIO 2772 EXERCÍCIOS MÁXIMOS E MÍNIMOS IMECC UNICAMP 2017 Disponível em httpscursosimeunicampbrexerciciossecao100 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 26 43 MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Muitas vezes quando vamos achar os extremos de uma função estes encontramse sujeitos a certas condições nas variáveis independentes os chamados vínculos A esse tipo de problema damos o nome de extremos condicionados Para esse tipo de situação faremos uso do Método dos Mul tiplicadores de Lagrange EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 1 Calcule a área máxima de um retângulo de perímetro igual a 160m raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 27 2 Um galpão retangular será construído em um terreno com o formato de um triângulo Qual o valor da área máxima a ser utilizada para a construção do galpão 3 Determinar as dimensões de uma caixa aberta no topo com volume de 64m3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 28 5 ANÁLISE DE INSUMO PRODUTO Abordagem Básica 51 INTRODUÇÃO MATRIZ DE INSUMO PRODUTO MIP A partir da MIP Leontief estruturou um modelo para a análise das rela ções produtivas na economia Esse modelo vem sendo discutido e aperfeiço ado desde a primeira publicação em 1941 data em que foram apresentados os primeiros resultados para a economia americana Em I973 Leontief rece beu o Prêmio Nobel em economia pelo desenvolvimento do Modelo de Insumo e Produto inputoutput e suas aplicações na economia O estudioso sempre teve preocupação com o levantamento de dados estatísticos de forma mais detalhada de modo que estes permitissem des crever os fenômenos econômicos FEIJÓ et al 2008 O Modelo de Insumo e Produto criado por Leontief disponibilizava in formações que permitiam a avaliação dos impactos da política econômica sobre as atividades produtivas dando ênfase à análise de interdependência entre os setores produtivos A sua MIP foi uma adaptação da Teoria Neoclás sica de Equilíbrio Geral Walrasiano segundo a qual em condições de equilí brio o conceito de produção combina com coeficientes técnicos de produção fixos ou seja a produção de cada produto é função de uma combinação fixa dos fatores de produção empregados no processo produtivo NUNES CON TINI 2001 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 29 52 MODELOS ECONÔMICOS DE LEONTIEF 521 O Modelo Fechado inputoutput de Leontief Modelo constituído de um número finito de n indústrias e cada indús tria produz uma quantidade fixa de um produto ou serviço que é usado pelas n indústrias O objetivo desse modelo é determinar um preço para cada pro duto de tal forma que o total de gastos se iguala ao total recebido Tal estrutu ra de preços representa um equilíbrio para a economia Exemplo Três proprietários de casas um pedreiro um serralheiro e um pintor pretendem fazer concertos em suas casas Eles concordam em traba lhar um total de dez dias cada de acordo com a tabela dada Os trabalhadores precisam declarar e pagar um ao outro um salário di ário Seus salários diáriossão aproximadamente de R10000 mas eles con cordam em ajustar esses salários de modo que o total pago por cada um seja igual ao total recebido Vamos determinar o salário de cada um Chamaremos de x1 o salário do pedreiro de x2 o salário do serralheiro e de x3 o salário do pintor Para satisfazer a condição de equilíbrio em que o total gasto seja igual ao total recebido para cada um dos proprietários no pe ríodo de dez dias temos raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 30 Resolução raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 31 QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO LEVORATO Gabriela Baptistella Peres Matrizes Determinantes e Sistemas Li neares Aplicações na Engenharia e Economia 2017 Orientado por Prof Dra Carina Alves Disponível em httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449151612levoratogbp merclapdf raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 32 6 PROGRAMAÇÃO LINEAR A Programação Linear PL como técnica de otimização é utilizada para solucionar os mais diversos problemas operacionais A técnica da programação linear resolve problemas com o objetivo de minimizar as despesas na fabricação de produtos minimizar o custo total de produção e ainda identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre a alocação de recursos ANDRADE 2011 A maior parte da utilização da PL orbita no sentido de maximizar lucros ou minimizar custos mas a PL pode ter as mais diversas aplicações como por exemplo a escolha de rotas mais viáveis sob o aspecto econômico ou mesmo a menor distância a ser percorrida entre diversas outras formas de utilização O objetivo da programação linear é buscar uma solução ótima otimi zação para o problema a ser analisado 61 VARIÁVEIS DE DECISÃO RESTRIÇÕES E FUNÇÂO OBJETIVO VARIÁVEIS DE DECISÃO são as incógnitas envolvidas no problema e como o próprio nome diz devem ter comportamento linear afinal estamos tratando de programação linear RESTRIÇÕES são as limitantes impostas às variáveis de decisão FUNÇÃO OBJETIVO é a função matemática que indica a solução obje tivo tratado no problema raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 33 62 PASSOS A SEREM SEGUIDOS NA PROGRAMAÇÃO LINEAR IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO IDENTIFICAÇÃO DAS RESTRIÇÕES A SEREM APLICADAS IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÂO OBJETIVO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Determinada empresa tem como produtos cadeiras e mesas No pro cesso fabril cada cadeira necessita de 5 tábuas de madeira enquanto cada mesa 20 tábuas A quantidade total de tábuas disponíveis na empresa é de 400 No processo de produção cada cadeira consome 10 horas de trabalho e cada mesa 15 horas A quantidade de horas disponíveis é de 450 horas O lucro obtido é de R 9000 por cadeira e de R 16000 por mesa Qual o número de cadeiras e de mesas que faz com que o lucro seja o máximo Qual o valor do lucro máximo RESOLUÇÃO EXTRAINDO OS DADOS DO EXERCÍCIO Definição das variáveis de decisão x1 quantidade de cadeiras x2 quantidade de mesas raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 34 Verificação das Restrições a serem aplicadas às variáveis Quantidade de tábuas 5x1 20x2 400 Quantidade de horas 10x1 15x2 450 Determinação da Função Objetivo Lucro máximo 90x1 160x2 ESCOLHENDO O MÉTODO A SER UTILIZADO NA RESOLUÇÃO 63 APLICAÇÃO DO MÉTODO GRÁFICO RESOLUÇÃO Trabalhando com as restrições Quantidade de tábuas 5x1 20x2 400 Quantidade de horas 10x1 15x2 450 Tábuas 5x1 20x2 400 Para x1 0 5 0 20x2 400 x2 20 Para x2 0 5 x1 200 400 x1 80 Horas 10x1 15x2 450 Para x1 0 100 15x2 450 x2 30 Para x2 0 10 x1 150 450 x1 45 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 35 Resolvendo o Sistema de equações 5x1 20x2 400 10x1 15x2 450 temos que os valores são x1 24 e x2 14 24 14 Colocando os dados encontrados no gráfico temos os seguintes pon tos de interesse Ponto 1 0 20 Ponto 2 24 14 Ponto 3 45 0 PONTO 1 PONTO 2 PONTO 3 Verificando na FUNÇÃO OBJETIVO temos L 90x1 160x2 Ponto 1 0 20 L 900 16020 3200 Reais Ponto 2 24 14 L 9024 16014 4400 Reais Ponto 3 45 0 L 9045 1600 4050 Reais O lucro máximo é de 4400 Reais raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 36 64 APLICAÇÃO DO MÉTODO ANALÍTICO RESOLUÇÃO Trabalhando com as restrições I Quantidade de tábuas 5x1 20x2 400 II Quantidade de horas 10x1 15x2 450 III x1 0 IV x1 0 Fazendo a relação entre todas as restrições temos I e II 5x1 20x2 400 10x1 15x2 450 Encontramos os valores de x1 24 e x2 14 24 14 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto viá vel I e III 5x1 20x2 400 x1 0 Encontramos os valores de x1 0 e x2 20 0 20 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto viá vel raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 37 I e III 5x1 20x2 400 x1 0 Encontramos os valores de x1 0 e x2 20 0 20 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto viá vel I e IV 5x1 20x2 400 x2 0 Encontramos os valores de x1 80 e x2 0 80 0 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto não viável II e III 10x1 15x2 450 x1 0 Encontramos os valores de x1 0 e x2 30 0 30 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto não viável raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 38 II e IV 10x1 15x2 450 x2 0 Encontramos os valores de x1 45 e x2 0 45 0 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto viá vel III e IV x1 0 x2 0 Encontramos os valores de x1 0 e x2 0 0 0 Analisando as outras restrições verificamos que este é um ponto viá vel Verificando na FUNÇÃO OBJETIVO somente os pontos viáveis temos L 90x1 160x2 24 14 L 9024 16014 4400 Reais 0 20 L 900 16020 3200 Reais 45 0 L 9045 1600 4050 Reais 0 0 L 900 1600 0 O lucro máximo é de 4400 Reais raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 39 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste ebook você foi apresentado aos assuntos Logarítmo e Funções Logarítmicas em que foram abordados além dos conceitos introdutórios e a definição de Logarítmo as principais proprie dades dos logaritmos e as condições de existência de uma função logarítmi ca Equações Logarítmicas e Inequações Logarítmicas com diversos exemplos elucidativos para que fossem observadas as muitas maneiras de cobrança desse assunto sempre com a verificação das condições de existên cia e com a verificação no caso de inequações dos intervalos que pudessem satisfazer a proposta do exercício Aplicações das Funções Logarítmicas que foram sintetizadas em três aplicações bem importantes como em fenômenos naturais em sua apli cação na Escala Richter além da consagrada utilização na Matemática Fi nanceira e na questão da Amortização em Juros Compostos Progressão Aritmética e Progressão Geométrica com as definições das progressões conceito de razão fórmula do Termo Geral peculiaridades de uma PA e de uma PG de três termos Termos eqüidistantes Soma dos Ter mos e Interpolação dos termos de ambas as Progressões Toda a parte conceitual foi complementada com diversos exercícios de fixação além da indicação de material complementar raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 40 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 3 ed São Paulo Harbra 1986 BOYER C História da Matemática São Paulo Blucher 1996 FREITAS Antonio dos Santos de UMA ABORDAGEM DE PONTOS CRÍTI COS E AS FUNÇÕES DE MORSE Rio Claro 2017 Disponível em httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449150828frei tasasmerclapdfjsessionid16B359765E3F60A3FDDECF2149A2D287se quence3 Acesso em 15 de abril de 2022 LEVORATO Gabriela Baptistella Peres Matrizes Determinantes e Sis temas Lineares Aplicações na Engenharia e Economia 2017 Orientado por Prof Dra Carina Alves Disponível em httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449151612levora togbpmerclapdf Acesso em 15 de abril de 2022 SEARLE S R Matrix Algebra Useful for Statistics New York John Wiley 2006 STEINBRUCH A e WINTERLE P Algebra Linear São Paulo Makron Books do Brasil 1987 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 41 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO PROPRIEDADES DE MATRIZES 1 C EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO PONTO CRÍTICO 2 Ponto 0 0 ponto de sela Ponto 2 1 ponto de mínimo local EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 1 Medidas x 40m e y 40 m Área igual a 1600m2 2 Área 75m2 3 Área mínima igual a 48m2 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 42 legalecombr O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896