Integral Dupla em Coordenadas Polares

Integral Dupla em Coordenadas Polares 2 Origem Eixo polar Dado um ponto P do plano r é a distância de P a origem 𝜃 é o ângulo entre o eixo polar e o segmento OP geralmente em radianos 3 Pr 𝜃 são as coordenadas polares de P 4 Em muitos casos será conveniente descrever regiões em coordenadas polares 5 Relação entre coordenadas polares r𝜃 e as coordenadas retangulares xy As regiões da Figura 1 são casos especiais de um retângulo polar R r θ a r b α θ β que é apresentado na Figura 3 Para calcularmos a integral dupla R fx y dA onde R é um retângulo polar dividimos o intervalo a b em m subintervalos ri1 ri de larguras iguais Δr b am e dividimos o intervalo α β em n subintervalos θj1 θj de larguras iguais Δθ β αn Então os círculos r ri e os raios θ θj dividem o retângulo polar R nos retângulos polares menores Rij mostrados na Figura 4 FIGURA 3 Retângulo polar O centro do subretângulo polar Rij r θ ri1 r ri θj1 θ θj tem coordenadas polares ri 12ri1 ri e θj 12θj1 θj Calculamos a área de Rij usando o fato de que a área de um setor de círculo de raio r e ângulo central θ é 12 r2 θ Subtraindo as áreas de dois desses setores cada um deles com ângulo central Δθ θj θj1 descobrimos que a área de Rij é ΔAi 12 ri2 Δθ 12 ri12 Δθ 12 ri ri1ri ri1 Δθ ri Δr Δθ Apesar de termos definido a integral dupla R fx y dA em termos de retângulos convencionais podemos mostrar que para as funções contínuas f obtemos a mesma resposta usando retângulos polares As coordenadas retangulares do centro de Rij são ri cos θj ri sen θj portanto uma soma de Riemann típica é i1m j1n fri cos θj ri sen θj ΔAi i1m j1n fri cos θj ri sen θj ri Δr Δθ Se escrevermos gr θ r fr cos θ r sen θ a soma de Riemann na Equação 1 pode ser reescrita como i1m j1n gri θj Δr Δθ que é a soma de Riemann para a integral dupla αβ αβ gr θ dr dθ Portanto temos R fx y dA limm n o i1m j1n fri cos θj ri sen θj ΔAi limm n o i1m j1n gri θj Δr Δθ αβ αβ gr θ dr dθ 2 Mudança para Coordenadas Polares em uma Integral Dupla Se f é contínua no retângulo polar R dado por 0 a r b α θ β onde 0 β α 2π então R fx y dA αβ ab fr cos θ r sen θ r dr dθ EXEMPLO 1 Calcule R 3x 4y2 dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 SOLUÇÃO A região R pode ser descrita como R x y y 0 1 x2 y2 4 É a metade do anel mostrado na Figura 1b e em coordenadas polares é dado por 1 r 2 0 θ π Portanto pela Fórmula 2 R 3x 4y2 dA 0π 12 3r cos θ 4r2 sen2 θ r dr dθ EXEMPLO 1 Calcule R 3x 4y² dA onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x² y² SOLUÇÃO Se tomarmos z 0 na equação do paraboloide obteremos x² y² 1 Isso significa que o plano intercepta o paraboloide no círculo x² y² 1 e o sólido está abaixo do paraboloide e acima do disco circular D dado por x² y² 1 veja as Figuras 6 e 1a Em coordenadas polares D é dado por 0 r 1 0 θ 2π Como 1 x² y² 1 r² o volume é EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x² y² Se f é contínua em uma região polar da forma D r θ α θ β h1θ r h2θ então D fx y dA αβ h1θh2θ fr cos θ r sen θ r dr dθ EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x² y² acima do plano xy e dentro do cilindro x² y² 2x SOLUÇÃO O sólido está acima do disco D cujo limite tem equação x² y² 2x ou após completar os quadrados x 1² y² 1 EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x² y² acima do plano xy e dentro do cilindro x² y² 2x Em coordenadas polares temos x² y² r² r cos θ assim o limite circular fica r² 2r cos θ ou r 2 cos θ Portanto o disco D é dado por D r θ π2 θ π2 0 r 2 cos θ Bibliografia Stewart James Cálculo Vol 2 6ª Edição Editora Cengage Guidorizzi H L Um curso de cálculo Vols 2 e 3 6ª edição LTC