Integral por Partes

LISTA 4 INTEGRAL POR PARTES QUESTÃO 01 Usando integral por partes integre as funções a seguir a x eˣ dx b x lnx dx c x² eˣ dx d lnx dx e x x 1 dx f x² lnx dx g x x 1² dx h x lnx² 1 dx i x x lnx dx j lnx 1 dx a x eˣ dx A integração por partes é dada por u dv uv v du Neste caso podemos escolher u x du dx dv eˣ dx v eˣ dx eˣ Aplicando a fórmula de integração por partes x eˣ dx x eˣ eˣ dx x eˣ eˣ C Portanto x eˣ dx eˣ x 1 C b x lnx dx u dv uv v du Escolhemos u lnx du 1x dx dv x dx v x dx x²2 Aplicando a fórmula x lnx dx lnx x²2 x²2 1x dx x²2 lnx 12 x dx x²2 lnx 12 x²2 C x²2 lnx x²4 C Portanto x lnx dx x²2 lnx x²4 C C x2 ex dx u dv uv v du Primeira aplicação Seja u x2 e dv ex dx Então du 2x dx e v ex x2 ex dx x2 ex ex 2x dx x2 ex 2 x ex dx Segunda aplicação para resolver x ex dx Seja u x e dv ex dx Então du dx e v ex x ex dx x ex ex dx x ex ex C1 Substituindo de volta na primeira integral x2 ex dx x2 ex 2x ex ex C x2 ex 2x ex 2 ex C Portanto x2 ex dx ex x2 2x 2 C D lnx dx Aqui usaremos a integração por partes Seja u lnx e dv dx Então du 1x dx e v x lnx dx x lnx x 1x dx x lnx 1 dx x lnx x C Portanto lnx dx x lnx x C E x x 1 dx Seja u x 1 então x u 1 e dx du A integral se torna u 1 u du u32 u12 du Agora integramos termo a termo u32 du u12 du 25 u52 23 u32 C Substituímos u de volta por x 1 25 x 152 23 x 132 C Podemos simplificar ainda mais fatorando x 132 x 132 25x 1 23 C x 132 6x1 10 15 C x 132 6x 4 15 C 215 3x 2x 132 C F x² lnx dx u dv uv v du Escolhemos u lnx dv x² dx Então du 1x dx v x² dx x³3 Aplicando a fórmula de integração por partes x² lnx dx lnx x³3 x³3 1x dx x³3 lnx 13 x² dx x³3 lnx 13 x³3 C x³3 lnx x³9 C x³3 lnx 13 C G xx1² dx Primeiro expandimos x1² x 1² x² 2x 1 Agora integramos xx²2x1 dx x³2x²x dx Integramos termo a termo x³ dx 2x² dx x dx x⁴4 2x³3 x²2 C Portanto xx1² dx x⁴4 2x³3 x²2 C H xlnx²1 dx u lnx²1 dv x dx Então du 2xx²1 dx v x²2 Aplicando a fórmula de integração por partes xlnx²1 dx x²2 lnx²1 x²2 2xx²1 dx x²2 lnx²1 x³x²1 dx Para resolver x³x²1 dx fazemos a divisão longa ou manipulação algébrica x³x²1 x xx²1 Então x³x²1 dx x xx²1 dx x dx xx²1 dx x²2 12 lnx²1 C Substituindo de volta xlnx²1 dx x²2 lnx²1 x²2 12 lnx²1 C x²2 lnx²1 x²2 12 lnx²1 C x²12 lnx²1 x²2 C i xx lnx dx xx lnx dx x32 lnx dx Usando integração por partes escolhemos u lnx então du 1x dx dv x32 dx então v x32 dx 25 x52 Aplicando a fórmula de integração por partes u dv uv v du x32 lnx dx 25 x52 lnx 25 x52 1x dx 25 x52 lnx 25 x32 dx 25 x52 lnx 25 25 x52 C 25 x52 lnx 425 x52 C 25 x2 x lnx 425 x2 x C j lnx 1 dx u lnx 1 então du 1x1 dx dv dx então v x Aplicando a fórmula de integração por partes u dv uv v du lnx 1 dx x lnx 1 x 1x1 dx x lnx 1 xx1 dx Para resolver xx1 dx podemos reescrever o integrando xx1 x11x1 1 1x1 Então xx1 dx 1 1x1 dx x ln x 1 C Substituindo de volta lnx 1 dx x lnx 1 x ln x 1 C x lnx 1 x ln x 1 C x 1 lnx 1 x C