Juros Compostos: Introdução e Formulações Matemáticas

JUROS COMPOSTOS São Paulo 2021 1 INTRODUÇÃO A capitalização dos juros simples consiste que os juros são aplicados apenas ao capital inicial Deste modo não existe renumeração nos juros em períodos anteriores Os juros simples são aplicados principalmente em operações de curto prazo ASSAF NETO 2017 O regime de juros compostos consiste que os juros são aplicados em juros de períodos anteriores Por exemplo os juros ao final de cada período e o valor respectivo é somado ao valor inicial No período seguinte os juros serão calculados ao valor ajustado do primeiro período e somado a este mesmo valor Este mesmo procedimento é repetido nos demais períodos até a finalização do prazo Os juros compostos são mais sofisticados que os juros simples pois no caso da capitalização composta os prazos podem ser fragmentados Neste capítulo iremos apresentar as formulações matemáticas dos juros compostos e suas aplicações Primeiramente abordaremos os problemas de forma analítica Depois resolveremos os problemas dos juros compostos usando a calculadora HP12c e depois usando o programa Excel Por fim abordaremos os conceitos de taxa equivalente taxa proporcional e a taxa nominal FORMULAÇÕES MATEMÁTICA DOS JUROS COMPOSTOS Neste capítulo iremos apresentar as expressões matemáticas dos juros compostos Para entender o mecanismo dos juros compostos considere uma aplicação de R10000 e uma taxa de juros compostos a 10 am Vamos calcular o montante final após 3 meses No primeiro mês os juros produzidos serão 100 010 10 O montante final vai ser dado por 100 10 110 No segundo mês os juros serão aplicados em R11000 assim 110 010 11 O montante vai ser dado por 110 11 121 No terceiro mês os juros serão aplicados em R12100 assim 121 010 121 O montante vai ser dado por 121 121 1331 2 Em termos matemáticos podemos escrever o valor futuro montante da seguinte forma 𝑉𝐹 100 1 010 no segundo mês 𝑉𝐹 100 1 010 1 010 e no terceiro mês 𝑉𝐹 100 1 010 1 010 1 010 100 1 0103 1331 De maneira genérica 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 1 Lembrando que nesta expressão 𝑉𝑃 é o valor presente ou capital 𝑖 é a taxa de juros compostos e 𝑛 o prazo de capitalização Na equação 1 o termo 1 𝑖𝑛 é chamado de fator de capitalização Através da equação 1 podemos calcular o valor presente 𝑉𝑃 𝑉𝐹 1 𝑖𝑛 2 Nesta equação o fator 1 1𝑖𝑛 é chamado fator de atualização Resumimos a atuação do fator de capitalização e atualização na figura 1 Figura 1 a Aplicação do fator de capitalização e b aplicação do fator de atualização Fonte Elaborado pelo autor 2020 Exemplo 1 Um empreendedor pretende obter R10000000 daqui a dois anos Calcule o valor dos juros compostos que deve ser depositado em um investimento que rende 097 am 3 Resolução As grandezas que o problema fornece são 𝑉𝐹 𝑅10000000 𝑖 097 𝑎 𝑚 𝑛 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 O problema pede o capital aplicado isto é valor presente Usando a equação 2 𝑉𝑃 100000 1 0009724 7932014 Assim será necessário depositar R7932014 Se usarmos a expressão 1 para calcular o valor futuro de VP teremos 𝑉𝐹 7932014 1 0009724 100000 Exemplo 2 Um comerciante depositou R10000 em uma aplicação de 20 am de juros compostos por um prazo de 1 ano e 3 meses Calcule o valor que será resgatado depois desse tempo Resolução As grandezas que o problema fornece são 𝑃𝑉 𝑅1000000 𝑖 20 𝑎 𝑚 002 𝑛 1𝑎𝑛𝑜 𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 O problema pede o valor futuro assim usando a equação 1 𝑉𝐹 10000 1 00215 1345868 Deste modo o comerciante terá um valor de R1345868 Exemplo 3 Calcule a taxa de juros compostas cobrada por um banco se o valor tomado emprestado hoje por um lojista é de R16000000 com prazo de pagamento de 3 meses se o lojista terá que pagar R18000000 ao final do prazo Resolução As grandezas fornecidas pelo problema são 𝑉𝐹 𝑅18000000 𝑉𝑃 𝑅16000000 𝑛 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Para calcular a taxa usaremos a equação 1 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 180000 160000 1 𝑖3 1 𝑖3 180000 160000 1 𝑖3 1125 4 devemos usar a propriedade da radiciação 1 𝑖 1125 3 1 𝑖 1125 1 3 1 𝑖 104 𝑖 104 1 𝑖 004 4 𝑎 𝑚 Neste exemplo fizemos todos os passos para calcular a taxa i contudo a expressão para calcular a taxa pode ser escrita como 𝑖 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑛 1 3 Exemplo 4 O valor futuro de uma dívida é de R3000000 com uma taxa de juros de 3 am Sabendo que o valor presente é de R2250000 calcule o prazo estipulado dessa dívida Resolução As grandezas fornecidas pelo problema são 𝑉𝐹 𝑅3000000 𝑉𝑃 𝑅2250000 𝑖 3 𝑎 𝑚 Para calcular a taxa usaremos a equação 1 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 30000 22500 1 003𝑛 103𝑛 30000 22500 103𝑛 13333 para resolver o problema usaremos a propriedade de logaritmo 𝑛𝑙𝑜𝑔103 𝑙𝑜𝑔13333 𝑛 𝑙𝑜𝑔13333 𝑙𝑜𝑔103 973 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Como fizemos no problema anterior podemos deduzir uma expressão para calcular o prazo 𝑛 log 𝑉𝐹 𝑉𝑃 log 1 𝑖 4 Por fim os juros podem ser calculados na capitalização de juros compostos como 𝐽 𝑉𝐹 𝑉𝑃 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 𝑉𝑃 Colocando o valor presente em evidência 𝐽 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 1 5 Exemplo 5 Calcule o valor dos juros pagos de um empréstimo de R90000 pelo prazo de 5 meses a juros compostos de 30 am 5 Resolução As grandezas fornecidas pelo problema são 𝑛 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑉𝑃 𝑅9000000 𝑖 3 𝑎 𝑚 003 Usando a equação 5 teremos 𝐽 90000 1 0035 1 1433467 USO DA CALCULADORA FINANCEIRA As calculadoras financeiras auxiliam nos cálculos financeiros de uma maneira muito mais rápida A calculador financeira mais usada é a HP12c contudo podemos encontrar vários emuladores para smartphones Vamos aqui apresentar as ferramentas que usaremos para resolver os problemas de interesse em juros compostos 𝑃𝑉 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐹𝑉 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑖 𝑡𝑎𝑥𝑎 Retomando os exemplos que fizemos na seção anterior Exemplo 6 Um empreendedor pretende obter R10000000 daqui a dois anos Calcule o valor dos juros compostos que deve ser depositado em um investimento que rende 097 am Resolução Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 24 n Digite 097 i Digite 100000 FV Pressionando o teclado PV teremos como resultado R7932014 Neste caso vamos desconsiderar o sinal negativo pois a calculadora financeira usa a convenção de fluxo de caixa Também devemos observar que digitamos a taxa de juros na forma percentual quando usamos a calculadora financeira 6 Exemplo 7 Um comerciante depositou R10000 em uma aplicação de 20 am de juros compostos por um prazo de 1 ano e 3 meses Calcule o valor que será resgatado depois desse tempo Resolução Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 15 n Digite 2 i Digite 10000 PV Pressione o teclado FV e teremos R1345868 Neste caso já desconsideramos o sinal negativo na calculadora Exemplo 8 Calcule a taxa de juros compostas cobrada por um banco se o valor tomado emprestado hoje por um lojista é de R16000000 com prazo de pagamento de 3 meses se o lojista terá que pagar R18000000 ao final do prazo Resolução Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 3 n Digite 160000 CHS PV Digite 180000 FV Pressione o teclado i e teremos 4 am Neste exemplo colocamos o negativo no PV usamos a tecla CHS para trocar o sinal pois como já foi dito as calculadoras usam o conceito de fluxo de caixa Para um entendimento considere que o sinal negativo no valor presente considera que o dinheiro saiu do caixa do banco e depois de um determinado prazo entra no caixa do banco Exemplo 9 O valor futuro de uma dívida é de R3000000 com uma taxa de juros de 3 am Sabendo que o valor presente é de R2250000 calcule o prazo estipulado dessa dívida Resolução Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 22500 CHS PV Digite 30000 FV Digite 3 i 7 Pressionando o teclado n e teremos 10 meses Exemplo 10 Calcule o valor dos juros pagos de um empréstimo de R90000 pelo prazo de 5 meses a juros compostos de 30 am Resolução Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 90000 CHS PV Digite 5 n Digite 3 i Pressionando o teclado FV teremos R10433467 Para calcularmos os juros apertamos a tecla ENTER para gravar o valor futuro na memória Com isso teclamos R90000 e usamos a tecla para calcular os juros Através desse processo encontramos um juro de R1433467 USO DO EXCEL O Excel também é uma ferramenta muito usada para cálculos financeiros Considerada uma das melhores planilhas existentes no mercado ela possui as seguintes funções financeiras que usaremos aqui nesta seção 𝑉𝐹 valor futuro ou montante 𝑁𝑝𝑒𝑟 número de períodos ou prazo 𝑃𝑔𝑡𝑜 valor de uma prestação 𝑉𝑃 valor presente 𝑇𝑎𝑥𝑎 referese à taxa de juros aplicada sobre o investimento ou empréstimo 𝑃𝑚𝑡 referese aos fluxos de caixa de investimento ou empréstimo 𝑃𝑚𝑡 ocorre a cada período de 𝑛𝑝𝑒𝑟 Se 𝑛𝑝𝑒𝑟 é igual a 12 então o valor de 𝑝𝑚𝑡 ocorrerá 12 vezes 𝑇𝑖𝑝𝑜 0 ou omitido para série de pagamento ao final de cada mês sem entrada 𝑇𝑖𝑝𝑜 1 para séries de pagamentos com entrada ou pagamento no início do período Voltando agora os exemplos anteriores 8 Exemplo 11 Um empreendedor pretende obter R10000000 daqui a dois anos Calcule o valor dos juros compostos que deve ser depositado em um investimento que rende 097 am Resolução Para resolver esse problema podemos usar o seguinte caminho no Excel mostrado na Figura 2 Na aba funções temos a parte financeira Quando clicamos neste item vão aparecer várias funções da matemática financeira Escolhendo a função 𝑉𝑃 vai aparecer uma tela para completar os argumentos da função Figura 2 Procedimento no Excel para o uso das funções matemáticas financeiras Fonte Elaborado pelo autor 2020 Completamos a tabela com os seguintes argumentos 𝑇𝑎𝑥𝑎 097 𝑝𝑒𝑟 24 𝑝𝑔𝑡𝑜 deixamos em branco pois não estamos trabalhando com pagamentos mensais e 𝑡𝑖𝑝𝑜 0 significa que os pagamentos e recebimentos sempre ocorrem no final do período O resultado para o valor presente VP é de R7932014 com o sinal negativo Isso ocorre pois o Excel usa o conceito de fluxo de caixa isto é o sinal negativo indica uma saída de caixa Uma outra maneira seria digitar diretamente em uma célula do excel como mostrado na figura 3 No restante da seção usaremos o procedimento colocado na figura 3 9 Figura 2 Procedimento no Excel para o uso das funções financeiras diretamente na célula do Excel Fonte Elaborado pelo autor 2020 Exemplo 12 Um comerciante depositou R10000 em uma aplicação de 20 am de juros compostos por um prazo de 1 ano e 3 meses Calcule o valor que será resgatado depois desse tempo Resolução Para resolver esse problema usaremos a função VF no excel Teremos que completar os seguintes argumentos 𝑉𝐹𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑔𝑡𝑜 𝑣𝑝 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑉𝐹20 15 10000 0 O resultado encontrado foi de R1345868 Neste caso já desconsideramos o sinal negativo no Excel Exemplo 13 Calcule a taxa de juros compostas cobrada por um banco se o valor tomado emprestado hoje por um lojista é de R16000000 com prazo de pagamento de 3 meses se o lojista terá que pagar R18000000 ao final do prazo Resolução 10 Para resolver esse problema usaremos a função TAXA no excel Teremos que completar os seguintes argumentos 𝑇𝐴𝑋𝐴𝑛𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑔𝑡𝑜 𝑣𝑝 𝑣𝑓 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑇𝐴𝑋𝐴3 160000 180000 0 O resultado encontrado para a taxa de juros é de 4 am Neste caso colocamos o sinal negativo no valor presente pois representa uma saída de caixa Exemplo 14 Calcule o valor dos juros pagos de um empréstimo de R90000 pelo prazo de 5 meses a juros compostos de 30 am Resolução Não temos uma expressão para calcular os juros mas podemos fazer de maneira indireta calculando o primeiro o valor futuro 𝑉𝐹30 5 90000 0 O resultado encontrado para o Valor Futuro é de R10433467 Através deste valor fazemos a subtração com R90000 encontrando os juros de R1433467 TAXAS EQUIVALENTES Na capitalização de juros simples a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação ASSAF NETO 2017 Por exemplo se considerarmos uma taxa de juros simples de 24 aa será proporcional uma taxa de 2 am Isso ocorre pois 24 12 2 𝑎 𝑚 Além disso elas são equivalentes pois fornecem o mesmo valor futuro montante para um mesmo capital e prazo Por exemplo considere um VPR10000 e calculamos o Valor Futuro depois de um prazo de 01 ano Usando i24 aa 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖 𝑛 100 1 024 1 124 Usando i2 am 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖 𝑛 100 1 002 12 124 Mostrando que as duas taxas são proporcionais e equivalentes 11 Nos juros compostos também temos os conceitos de taxas proporcionais e taxas equivalentes A taxa equivalente composta pode ser calculada através da seguinte equação 𝑖𝑞 1 𝑖 𝑞 1 6 Onde q é o número de períodos de capitalização A equação 6 representa uma média geométrica pois os juros compostos são uma capitalização exponencial Exemplo 15 Calcule a taxa equivalente mensal composta de 15 aa Resolução Para resolver esse problema devemos usar a equação 6 com i15 aa e q12 𝑖12 1 015 12 1 1 015 1 12 1 001171 1171 𝑎 𝑚 Para verificar esses cálculos considerando que VPR10000 aplicados por essas duas taxas e pelo prazo de 01 ano n1 ano e i15 aa 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 100 1 0151 115 n12 meses e i1171 am 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 100 1 00117112 115 Resolução usando a HP12c Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 1 n Digite a taxa de 15 i Digite 1 PV Clicar em FV Para finalizar digite n para o número de períodos de capitalização da taxa que no caso seria 12 Lembrando que estamos passando de anual para mensal Por fim clicando em i encontramos 117 am No cálculo que fizemos anteriormente transformamos de uma taxa maior prazo ano para um menor prazo mês Poderíamos também transformar de uma taxa menor para uma taxa maior usando a equação 12 𝑖𝑞 1 𝑖𝑞 1 7 Exemplo 16 Calcule a taxa equivalente semestral composta de 2 am Resolução Para resolver esse problema devemos usar a equação 7 com i2 am e q6 Usamos este número para q pois em 1 semestre temos 6 meses 𝑖6 1 0026 1 01262 1262 𝑎 𝑠 Resolução usando HP 12C Digite f CLx para limpar a memória da máquina Alterar o valor de n para um número de períodos de capitalização da taxa que queremos encontrar No caso seria 6 Digite a taxa de 2 i Digite 1 PV Clicar em FV Digite 1 n Após isso clique em i e encontramos o valor de 1262 ao semestre Para verificamos esse resultado podemos considerar o valor de PVR10000 aplicado nessas duas taxas a 01 semestre n1 semestre e i1262 as 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 100 1 012621 11262 n6 meses e i2 am 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖𝑛 100 1 0026 11262 Exemplo 17 Um empreendedor está buscando uma alternativa de investimento para o seu capital de R10000000 Em um determinado Banco A ele pode aplicar seu dinheiro a uma taxa de juros compostos 12 ao semestre Em outro banco B ele pode aplicar o dinheiro a uma taxa de juros compostos 2544 ao ano Qual o melhor Banco para o empreendedor aplicar seu dinheiro Resolução Para verificar qual o melhor Banco podemos usar a expressão 1 n2 semestres e i12 as 𝑉𝐹 100000 1 0122 125440 n1 ano e i2544 aa 13 𝑉𝐹 100000 1 02544 125440 Essas duas taxas são equivalentes deste modo não faz diferença entre o Banco A e o Banco B Também podemos deduzir uma expressão genérica que podemos usar para qualquer tipo de prazo 𝑖𝑞 1 𝑖𝑡 𝑞 𝑡 1 8 Onde 𝑖𝑞 taxa para o prazo que queremos encontrar 𝑖𝑡 taxa para o prazo que temos 𝑞 prazo que queremos 𝑡 prazo que eu tenho Exemplo 18 Uma determinada aplicação financeira teve um rendimento de 1665 em 365 dias Calcule a taxa equivalente em 360 dias Resolução Usando a equação 8 teremos 𝑖𝑡 1665 𝑞 360 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑡 365 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑖𝑞 1 𝑖𝑡 𝑞 𝑡 1 1 01665 360 365 1 1640 𝑒𝑚 360 𝑑𝑖𝑎𝑠 Finalizamos a seção sobre as taxas equivalentes em juros compostos Na próxima seção iremos tratar sobre os juros TAXA NOMINAL E EFETIVA Nesta seção iremos apresentar o conceito de taxa nominais usando o conceito de juros compostos ROSS 2010 A taxa de juros nominal é o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros Essa taxa é normalmente expressa para um período superior da incidência dos juros Por exemplo vamos supor que um investimento tem proposto uma taxa de 10 aa com capitalização dos juros acontecendo todo o semestre Vamos supor que investimos 14 R100 assim 10 𝑎 𝑎 corresponde a 5 ao semestre as Usando a expressão 2 teremos 𝑉𝐹 1001 0052 𝑅11025 vejam que a taxa efetiva de juros vai ser de 1025 𝑎 𝑎 Deste modo veja que a taxa de juros efetivo vai ser sempre maior que taxa nominal de juros DAL ZOT 2015 Podemos definir que a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada em todo o prazo de forma exponencial Assaf A taxa efetiva de juros pode ser calculada através da seguinte expressão 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑓 1 𝑖𝑞 1 9 onde q é o número de períodos Por exemplo a uma taxa de 5 ao semestre teremos uma taxa efetiva anual de 𝑖𝑓 1 0052 1 01025 1025 Exemplo 19 Calcule a taxa efetiva de 36 aa capitalizados mensalmente Resolução O primeiro passo é calcular a taxa mensal proporcional simples de 36 aa Neste caso 36 12 3 𝑎 𝑚 Usando agora a equação 9 teremos 𝑖𝑓 1 00312 1 04258 4258 esse valor é a taxa efetiva de juros Resolução usando o Excel Dentro do Excel podemos usar o comando EFETIVAtaxanominalnúmporano assim podemos usar os seguintes valores Taxanominal36 Númporano12 o resultado encontrado foi de 4258 Resolução usando a HP12C Digite f CLx para limpar a memória da máquina 100 CHS PV Frequência de capitalização que no nosso caso é 12 n Taxa proporcional que no nosso caso é 3 i 15 Através disso teclamos a tecla FV O valor encontrado foi de 14258 Escolhemos arbitrariamente o valor de R10000 para PV pois facilita a encontrar a taxa efetiva que no caso será de 4258 Exemplo 20 Um comerciante fez um empréstimo de R7000000 em um banco pelo prazo de 01 ano e uma taxa nominal de 28 ao ano capitalizados trimestralmente Calcule o montante e o custo efetivo taxa efetiva deste empréstimo Solução o primeiro passo será calcular a taxa simples proporcional Como os juros são capitalizados trimestralmente temos que em 01 ano correspondem a quatro trimestres 28 4 7 𝑎 𝑡 Usando a equação 1 para calcular o valor futuro montante teremos 𝑉𝐹 70000 1 0074 9175572 O custo efetivo pode ser calculado através da equação 9 𝑖𝑓 1 𝑖𝑞 1 1 0074 1 03108 3108 Exemplo 21 A taxa nominal da caderneta de poupança no ano de 2019 foi 4256 aa com capitalização mensal Calcule a taxa efetiva de juros Solução Calculando a taxa proporcional simples lembrando que 01 ano temos 12 meses 4256 12 03547 𝑎 𝑚 Usando a expressão 9 𝑖𝑓 1 000354712 1 00434 434 Deste modo se você aplica R10000 na caderneta de poupança no começo do ano de 2019 e no final vai ter R10434 Exemplo 22 Um empreendedor procurando por uma aplicação financeira encontrou que um banco paga 38 ao ano de juros Considerando que a aplicação seja de 01 mês calcule a rentabilidade efetiva juros efetivos considerando os juros de 38 aa como a Taxa efetiva 16 Resolução Se a taxa efetiva for de 38 aa temos que calcular a taxa equivalente mensal através da equação 6 𝑖𝑞 1 𝑖 𝑞 1 𝑖12 1 038 1 12 1 00272 272 𝑎 𝑚 b Taxa Nominal Resolução Se a taxa for nominal primeiramente temos que calcular a taxa simples proporcional de 38 anual para mensal 38 12 317 𝑎𝑚 Agora usando a expressão 9 𝑖𝑓 1 0031712 1 4543 Assim a taxa nominal de 38 aa corresponde a uma taxa efetiva de 4543 Outra análise que devemos fazer é se tivermos uma taxa efetiva fazer a conversão para a taxa nominal Por exemplo vamos supor que um determinado Banco cobra uma taxa efetiva de 266 anual com a capitalização sendo mensal Para isso usaremos a equação 9 isolando apenas a variável de interesse 𝑖 1 𝑖𝑓 1 𝑞 1 1 0266 1 12 1 198 𝑎 𝑚 2376𝑎 𝑎 Esse mesmo raciocínio pode ser feito no excel usando o comando nominaltaxaefetivanúmporano Preenchendo assim os dados teremos Taxaefetiva266 Númporano12 encontraremos uma taxa nominal de 2382 aa EXEMPLOS DIVERSOS Nesta seção iremos apresentar alguns exemplos e mostrar algumas observações na análise de juros compostos Exemplo 23 Vamos supor que você tem que pagar um valor de R4500000 em um empréstimo que é vencível daqui a 15 meses para um banco Contudo você quer 17 antecipar esse pagamento para daqui a um ano Sabendose que o banco está disposto a atualizar o banco a uma taxa de 15 am Calcule o valor a ser pago por essa antecipação Resolução Neste problema temos 𝑉𝐹 45000 𝑛1 15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛2 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 15𝑎 𝑚 na figura 3 mostramos a antecipação do pagamento Neste caso temos que usar a equação 2 𝑉𝑃 𝑉𝐹 1 𝑖𝑛 45000 1 00153 4303426 Reparem que para antecipar do 15º mês para 12º mês temos que voltar n3 meses Figura 3 Antecipação do pagamento do 15 mês para 12 mês Fonte Elaborado pelo autor 2020 Exemplo 24 Na figura 4 apresentamos os seguintes pagamentos para um empréstimo feito por um empreendedor primeira prestação de R2000000 daqui a 2 meses R3000000 daqui a 6 meses e R1000000 daqui a 8 meses Calcule o valor a ser pago pelo empreendedor na data de hoje com uma taxa de 2 am Resolução Neste caso diferente dos outros exemplos temos mais de um valor para o Valor Futuro Assim temos que usar a equação 2 incluindo todos os pagamentos 𝑉𝑃 20000 1 0022 30000 1 0026 10000 1 0028 5439742 18 Figura 4 Esquema de pagamento feito por um empréstimo Fonte Elaborado pelo autor 2020 Resolução usando HP12C Digite f CLx para limpar a memória da máquina Digite 2 i Digite 2 n Digite 20000 FV Pressionando PV encontraremos um resultado de R1922338 Agora vamos continuando com a outra prestação teremos Digite 6 n Digite 30000 FV Pressionando PV encontraremos um resultado de R2663914 Teclando o sinal de iremos somar os dois valores de PV encontrando R4586252 Por fim faremos o mesmo para o terceiro pagamento Digite 8 n Digite 10000 FV Pressionando PV encontraremos um resultado de R853490 Assim teclando teremos R5439742 Exemplo 25 Um consumidor vai comprar uma mercadoria com um desconto de 10 sobre o seu valor a prazo Calcular a taxa efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo admitindo um prazo de pagamento de 50 dias Resolução Para facilitar os nossos cálculos consideramos que o valor da mercadoria seja de R10000 Assim um desconto de 10 vai corresponder a um pagamento de R9000 Usando a equação 1 teremos 𝑉𝐹 𝑉𝑃 1 𝑖 100 90 1 𝑖 1 𝑖 100 90 𝑖 100 90 1 01111 1111 𝑝𝑎𝑟𝑎 50 𝑑𝑖𝑎𝑠 19 para calcular a taxa efetiva mensal 30 dias podemos usar a equação 8 𝑖𝑞 1 𝑖𝑡 𝑞 𝑡 1 𝑖30 1 01111 30 50 1 006525 6525 𝑎 𝑚 Exemplo 26 O gerente financeiro de uma empresa terá que pagar daqui a 4 meses o valor de R20000000 Contudo através de uma análise do fluxo de caixa ele percebe que a empresa terá dificuldades em fazer o pagamento nesta data Através de uma negociação ele consegue fazer essa dívida ser paga em duas prestações iguais nos meses 6 e 8 contando de hoje usando uma taxa de 15 am Calcule o valor dessas duas prestações Resolução O esquema do problema está mostrado na figura 5 Para resolver esse problema devemos igualar os R20000000 com os dois valores de P na data focal 0 Usando a equação 2 teremos 200000 1 00154 𝑃 1 00156 𝑃 1 00158 18843685 091𝑃 089𝑃 18𝑃 18843685 𝑃 18843685 18 10468714 Figura 5 Mudança de pagamento de R20000000 que foram modificados para duas prestações iguais nos meses de 6 e 8 Fonte Elaborado pelo autor 2020 20 CONCLUSÃO Neste módulo apresentamos a capitalização composta onde primeiramente apresentamos que neste método os juros atuam sobre os juros do prazo anterior Deste modo os juros compostos também são chamados de juros sobre juros Apresentamos também as equações matemáticas dos juros compostos que são utilizadas para o cálculo do valor futuro valor presente taxa e prazo Além disso ensinamos em como utilizaras as ferramentas computacionais para realizar esses mesmos cálculos Por fim foram apresentadas as diferentes taxas isto é taxa equivalente taxa nominal e taxa efetiva 21 BIBLIOGRAFIA ASSAF NETO Alexandre Matemática Financeira e suas Aplicações 13 ed São Paulo Cengage Learning 2017 DAL ZOT Willi de CASTRO Manuela Longoni Matemática Financeira fundamentos e aplicações Porto Alegre Bookman 2015 ROSS Stephen A et al Fundamentos de Administração Financeira Porto Alegre AMGH Editora 2010