Limite e Derivada

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA TECNOLOGIA E INOVAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CARLOS ALBERTO REYES MALDONADO PRIMEIRA AVALIAÇÃO DE CÁLCULO I Questão 1 Usando a ideia intuitiva de limite ou seja usando valores numéricos calcule lim 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 1 Questão 2 Usando a definição formal de limite calcule lim 𝑥 2 𝑥2 1 𝑥 1 Questão 3 Calcule a lim 𝑥 3 𝑥3 𝑥3 b lim 𝑥 0 3𝑥 1 Questão 4 Calcule lim 𝑥 1 𝑓𝑥 e lim 𝑥 1 𝑓𝑥 em que 𝑓𝑥 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 1 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 1 Questão 5 Calcule caso existe e se não existir justifique lim 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 1 𝑥 1 Questão 6 Calcule lim 𝑥 1 𝑥 e explique com suas palavras o que significa o resultado Questão 7 Calcule lim 𝑥 0 1 𝑥 e explique com suas palavras o que significa o resultado GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA TECNOLOGIA E INOVAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CARLOS ALBERTO REYES MALDONADO Questão 8 Calcule lim 𝑥 1 𝑥5𝑥41 2𝑥5𝑥1 Questão 9 Mostre ou prove que a função 𝑓𝑥 𝑥 é contínua em 𝑥 0 Questão 1 Usando a ideia intuitiva de limite ou seja usando valores numéricos calcule lim x1 x2 1x 1 Solução Seja fx x2 1x 1 x 1x 1x 1 x 1 Vamos analisar o comportamento de fx quando x se aproxima de 1 em dois casos de dois modos Quando x se aproxima 1 por valores menores que 1 ou seja x 09 x 099 x 0999 Então temos fx se aproximando de 19 199 1999 Quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 ou seja x 101 x 1001 x 10001 Então temos fx se aproximando de 201 2001 20001 Como fx se aproxima de 2 tanto por valores menores que 1 quanto por valores maiores que 1 concluímos que lim x1 fx 2 Questão 2 Usando a definição formal de limite calcule lim x2 x2 1x 1 Solução Seja fx x2 1x 1 x 1x 1x 1 x 1 Queremos mostrar que para todo ε 0 existe δ 0 tal que x 0x 2 δ 0 fx 3 ε Tomu δ ε Então para 0 x 2 δ ε temse que 0 fx 3 x 1 3 x 2 ε ou seja lim x2 fx 3 Questão 3 Calcule a lim x3 x 3x 3 b lim x0 3x 1 Solução a lim x3 x 3x 3 lim x3 x 3x 3x 3 lim x3 1x 3 123 b lim x0 3x 1 30 1 1 Questão 4 Calcule lim x1 fx e lim x1 fx em que fx x2 se x 1 2x se x 1 Solução Temos que lim x1 fx lim x1 2x 21 2 e lim x1 fx lim x1 x2 12 1 Questão 5 Calcule caso exista e se não existir justifique lim x1 x2 2x 1x 1 Solução Temos que lim x1 x2 2x 1x 1 lim x1 x 12x 1 lim x1 x 1 0 Questão 6 Calcule lim x 1x e explique com suas palavras o que significa o resultado Solução Temos que lim x 1x 0 ou seja fazendo x ficar muito grande o quociente fica muito pequeno ie fica cada vez mais próximo de zero mas sem atingilo exatamente Questão 7 Calcule lim x0 1x e explique com suas palavras o que significa o resultado Solução Temos que lim x0 1x fazendo x xx aproximar de zero por valores positivos o quociente 1x fica muito grande ui x aproxima do infinito e também é positivo Nem caso escrevemos Questão 8 Calcule lim x1 x⁵ x⁴ 1 2x⁵ x 1 Solução lim x1 x⁵ x⁴ 1 2x⁵ x 1 1⁵ 1⁴ 1 21⁵ 1 1 34 Questão 9 Mostre que a função fx x é contínua em x0 Solução Como o limite lim x0 fx lim x0 x 0 0 existe e é igual a f0 0 0 concluímos que f é contínua em x0