Lista 2 Exercícios Cálculo 1

Gabarito 1 1 Considerando a decomposição u arctan x dv dx du 1x² 1 dx v x obtemos arctan x dx x arctan x 1x² 1 xdx Agora fazendo a substituição w 1 x² temos dw 2xdx e portanto arctan x dx x arctan x 12 1w dw x arctan x 12 ln w C x arctan x 12 ln 1 x² C 2 Considerando a decomposição u ln x³ dv dx du 3ln x² 1x dx v x obtemos ln x³ dx xln x³ 3 ln x² dx 1 Para resolver ln x² dx aplicaremos o método de integração por partes novamente Neste caso usando a decomposição u ln x² dv dx du 2ln x 1x dx v x chegamos em ln x² dx xln x² 2 ln x dx 2 Aplicaremos mais uma vez o método de integração por partes agora para resolver a integral ln x dx Fazendo u ln x dv dx du 1x dx v x temos ln x dx x ln x x C 3 Finalmente substituindo os resultados obtidos em 2 e 3 em 1 concluímos que ln x³ dx xln x³ 3xln x² 6x ln x 6x C 3 Considerando a decomposição u senln x dv dx du cosln xx dx v x obtemos senln x dx x senln x cosln x dx 1 Para resolver cosln x dx usaremos o método de integração por partes novamente Neste caso fazendo u cosln x dv dx du senln xx dx v x chegamos que cosln x dx x cosln x senln x dx 2 Note que a integral que começamos a resolver inicialmente reapareceu em 2 Logo substituindo 2 em 1 senln x dx x senln x x cosln x senln x dx Portanto 2 senln x dx x senln x x cosln x senln x dx 12 x senln x x cosln x C 4 Considerando a decomposição u x dv sec² xdx du dx v tg x obtemos x sec² x dx x tg x tg xdx x tg x sen xcos x dx Note que fazendo a substituição w cos x obtemos dw sen x dx e assim concluímos que xsec² x dx x tg x 1w dw x tg x ln w C x tg x ln cos x C tg² x sec³ xdx sec³ x tg x 3 sec³ x tg² xdx sec³ xdx 4 tg² x sec³ xdx sec³ x tg x sec³ xdx tg² x sec³ xdx 14 sec³ x tg x sec³ xdx Finalmente vimos no Exemplo 4 da Aula 5 Integração por partes Apostila de Cálculo IIA Cristiane e Freddy que sec³ x dx 12 sec x tg x ln sec x tg x C Por isso concluímos que tg² x sec³ x dx 14 sec³ x tg x 18 sec x tg x ln sec x tg x C Integrando obtemos 1x² 1 dx 12x 1 dx 12x 1 dx 12 ln x 1 12 ln x 1 C b Fazemos a mudança de variável t² ex 1 Então temos ex t² 1 ou seja ex dx 2t dt e nossa integral fica e2x ex 1 dx t² 1t 2t dt 2 t² 1 dt 2 t³3 t voltando para a variável x e usando que t ex 1 temos e2x ex 1 dx 2 ex 1323 ex 112 C c Fazendo a divisão dos polinômios pois eles são do mesmo grau temos x² x² 31 3 dividindo por x² 3 obtemos x²x² 3 1 3x² 3 integrando x²x² 3 dx 1 3x²3 dx x 3 arctan x3 C d Primeiro fazemos a mudança de variável t tan x então aplicando arctan aos dois lados da igualdade obtemos x arctant derivando obtemos dx 11 t² dt Nossa integral fica tan³x dx t³1 t² dt Fazendo a divisão dos polinômios na última integral obtemos t³ t² 1 t t dividindo por t² 1 obtemos t³t² 1 t tt² 1 Resolvendo a integral tan³x dx t³1 t² dt t tt² 1 dt t²2 12 2tt² 1 dt t²2 12 ln t² 1 tan² x 2 12 ln tan²x 1 C e Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador fazemos a divisão de polinômios Obtemos x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2x³ 2x 3 e assim x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3x² 3x 2 x³ 2x 3x² 3x 2 Queremos exprimir a fração 2x 3x² 3x 2 como suas frações parciais fatorizamos o denominador x² 3x 2 x 1x 2 e então procuramos constantes A e B que cumpram 2x 3x² 3x 2 Ax 1 Bx 2 Ax 2 Bx 1x 1x 2 ou seja 2x 3 Ax 2 Bx 1 Podemos encontrar A fazendo x 1 pois obtemos 1 A ou A 1 e podemos encontrar B fazendo x 2 pois obtemos 1 B E assim x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3x² 3x 2 x³ 1x 1 1x 2 Integrando obtemos x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3x² 3x 2 dx x³ 1x 1 1x 2 dx x⁴4 ln x 1 ln x 2 C Lista de Exercícios Calculo Questão 1 1 arctan x dx x arctan x 1x² 1 dx com decomposição u arctan x dv dx du 1x²1 dx v x arctan x x arctan x 12 1w dw x arctan x 12 lnw C w 1 x² dw 2x dx x arctan x 12 ln1 x² C 2 lnx³ dx lnx³ dx x ln x³ 3 ln x² dx u ln x³ du 3ln x² 1x dx dv dx x v x ln x³ 3 x ln x² 2 ln x dx ln x² u du 2 ln x 1x dx u ln du 1x dx x ln x³ 3 x ln x² 2 x ln x x C x ln x³ 3 x ln x² 6x ln x 6 x C 3 senln x dx x senln x cosln x dx u senln x du cosln x 1x dx dv dx x v u cosln x du senln x 1x dx dv dx x v x senln x x cosln x senln x dx 2 senln x dx x senln x x cosln x senln x dx 12 x senln x x cosln x C 4 x sec² x dx x tg x tg x dx x tg x sen xcos x dx u x du dx dω sec² x dx v tg x x tg x 1v² dv x tg x lnv C x tg x lncos x C 5 x 3x dx 1ln 3 3x dx 3xln 3 1ln 3 3x dx 3xln 3 3xln 3² C x u dv x 3x dx du dx v 3xln 3 6 tg² x sec³ x dx sec² x 1 sec³ x dx sec⁵ x dx sec³ x dx sec³ x w dw 3 sec² x tg x dx dω sec² x dx v tg x sec³ x tg x 3 sec³ x tg² x dx sec³ x dx tg² x sec³ x dx 4 tg² x sec³ x dx sec³ x tg x sec³ x dx tg² x sec³ x dx 14 sec³ x tg x sec³ x dx como sec³ x dx 12 sec x tg x lnsec x tg x C 7 tg² x sec³ x dx 14 sec³ x tg x 13 sec x tg x lnsec x tg x C Questão 2 a 1x²1 dx 1x1x1 com decomposição temos 1x²1 Ax1 Bx1 A x1 B x1x1x1 A x1 B x1 1x²1 A x1 B x1 A x1 B x1 1 Px 1 2 A 1 A 12 Px 1 2 B 1 B 12 1x² 1 12 1x1 12 1x1 b 1x²1 dx 12 1x1 dx 12 1x1 dx 12 lnx1 12 lnx1 C b e2xe4x 1 dx t² 1t 2t dt 2 t² 1 dt 2 t³3 t mod variável t² e4x 1 ex t² 1 ex dx 2t dt e2xe4x 1 dx 2 e4x 1323 e2x 112 C The text in image 8 is the continuation of the solution written at the bottom of image 7 There is no new text in image 8 to extract x² x² 3 dx Por divisão de polinômios temos x² x³ 3 1 3 x² x² 3 x² x² 3 1 3 x² 3 x² x² 3 dx 1 3 x² 3 dx x 3 arctgx 3 C d tan³x dx t³ 1 t² dt t t t² 1 dt troca de variável arctgx t t tanx x arctgt dx 1 1 t² dt t³ t² 1 t² 1 t t t² 1 t³ t² 1 t t t² 1 t²2 12 2t t² 1 dt t²2 12 lnt² 1 tan²x 2 12 lntan²x 1 C e x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2 dx Por divisão de polinômios temos x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2 x³ 2x 3 x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2 x³ 2x 3 x² 3x 2 Expressando a fração 2x 3 x² 3x 2 em termos parciais 2x 3 x² 3x 2 A x 1 B x 2 A x 2 B x 1 x 1x 2 2x 3 Ax 2 Bx 1 P1 x 1 1 A A 1 P1 x 2 1 B B 1 x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2 x³ 1 x 1 1 x 2 logo x⁵ 3x⁴ 2x³ 2x 3 x² 3x 2 dx x³ 1 x 1 1 x 2 dx x⁴ 4 lnx 1 lnx 2 C