Lista 2 Series

Lista 2 Testes de Convergência de Séries 1 Teste a série quanto a convergência ou divergência a ₙ₁ n² 1n³ 1 b ₙ₁ eⁿ n² c ₙ₁ n eⁿ² d ₙ₁ 1n³ 13ⁿ e ₙ₁ 2n 1ⁿ n²ⁿ f ₙ₁ 5ⁿ 3ⁿ 4ⁿ g ₙ₁ sen 2n 1 2ⁿ h ₙ₁ 1ⁿ n² n² n 1 i ₙ₁ n eⁿ j ₙ₁ 3ⁿ n² n k ₙ₁ nn1 n² l ₙ₁ 1ⁿ¹ n² n³ 4 2 Decida se a série converge ou diverge usando o teste da integral a ₙ₁ n³ n⁴ 4 b ₙ₁ n eⁿ² 3 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências a ₙ₁ n 8ⁿ x 6ⁿ b ₙ₀ x²ⁿ n c ₙ₀ x 2ⁿ n² 1 d ₙ₁ 1ⁿ¹ n5ⁿ xⁿ ① a Seja fx x² 1 x³ 1 temos que ₁ fx dx lim b ₁ᵇ x² 1 x³ 1 dx lim b ₁ᵇ x 1 x² x 1 dx lim b ₁ᵇ 12 2x 2 x² x 1 dx 12 lim b ₁ᵇ 2x 1 x² x 1 1 x² x 1 dx I II I se u x² x 1 du 2x 1 dx e então ₁ᵇ 2x 1x² x 1 dx duu lnu lnx² x 1 ₁ᵇ lnb² b 1 ln1² 1 1 lnb² b 1 II completando quadrados x² x 1 x² 2x12 12² 34 x 12² 34 ₁ᵇ 1 x² x 1 dx ₁ᵇ 1 x 12² 34 dx u x 12 du dx ₁ᵇ 1 u² 34 du 1 34 4u²3 1 du 43 du 2u3² 1 se t 2u 3 dt 2 du 3 du 3 2 dt from 1 to b of 1 x2 x 1 dx 43 3 2 dt t2 1 23 3 arctgt 23 3 arctg2u 3 23 3 arctg2 3x 12 from x1 to xb 23 3 arctg2x 1 3 from x1 to xb 23 3 arctg2b 1 3 23 3 arctg1 3 Logo from 1 to of fx dx 12 lim b ln b2 b 1 23 3 arctg2b 1 3 23 3 arctg1 3 Como lim b b2 b 1 lim b b2 1 1b 1b2 2 e lim b arctg2b 1 3 π 2 concluise que from 1 to of fx dx e pelo teste da integral a série Σ from n1 to of n2 1 n3 1 diverge b Temse an en n2 e assim lim n an lim n en n2 lim n en 2n lim n en 2 0 Portanto a série diverge c Como an n en2 an1 n1 en12 n1 n en2 2n 1 an1 n1 n en2 e2n1 Assim an1 an n1 n en2 e2n1 en2 n n1 e2n1 n1 e2n1 e lim n an1 an lim n n1 e2n1 lim n 1 2 e2n1 LHopital 0 1 pelo teste da razão a série é absolutamente convergente e portanto converge d Temse Σ n1 1n3 13n Σ n1 1n3 Σ n1 13n converge psérie com p3 1 converge série geométrica com r 13 1 converge e Sendo an 2n1n n2n 2n1n n2n 2n1n2n então lim n nan lim n n2n1n2n lim n n2n1n2n lim n 2n1n2 lim n 22n 0 1 pelo teste da raiz a série converge absolutamente e portanto é convergente f Sendo an 5n 3n 4n 54n 34n 1 então lim n an lim n 54n 34n 1 0 logo a série diverge g Temse sen2n 1 n 1 Assim sen2n 12n 1 12n 1 2n 12n n 1 ou seja n1 sen2n 12n n1 12n série geométrica com r12 1 converge Segue do teste da comparação que a série é convergente h É uma série alternada com an n2 n2 n 1 Temos lim n an lim n n2 n2 n 1 LHopital lim n 2n 2n 1 lim n 2n 2n1 12n0 11 1 0 série divergente i Como an nen an1 n1 en1 n1 en e1 Deste modo an1 an n1 en e1 n en 1e n1n Assim lim n an1an 1e lim n n1n 1e lim n 11 1e 1 Do teste da razão a série é absolutamente convergente e portanto convergente a Sendo aₙ 3ⁿ n² n aₙ₁ 3ⁿ¹ n1² n1 3ⁿ 3 n1² n1 n Assim aₙ₁ aₙ 3ⁿ 3 n1² n1 n n 3ⁿ n² 3 n1 n² E então lim n aₙ₁ aₙ 3 lim n n1 n² 3 lim n 1 2n 3 0 0 1 segue do teste da razão que a série é absolutamente convergente e deste modo convergente b Como aₙ n n1n² então lim n ⁿaₙ lim n ⁿn n1n² lim n n n1ⁿ lim n n1nⁿ lim n 1 1nⁿ e¹ 1e 1 Do teste da raiz concluímos que a série é absolutamente convergente e portanto convergente 1 É uma série alternada com aₙ n² n³ 4 I lim n aₙ lim n n² n³ 4 lim n 2n 3n² lim n 2 3n 0 lHôpital II Considerando fx x² x³ 4 temos fx 2xx³ 4 x² 3x² x³ 4² 2x⁴ 8x 3x⁴ x³ 4² fx x⁴ 8x x³ 4² x8 x³ x³ 4² 0 x ℝ O sinal de f é tal que x 0 8 x³ 0 x³ 8 x 2 Para x 2 fx 0 Assim f é decrescente para x 2 e então fn1 fn bₙ₁ bₙ n 2 porém a série começa em n1 mas a adição de um número finito de termos não altera a convergência da série Segue de I e II que a série converge pelo critério da série alternada 2 a Seja fx x3 x4 4 Temos 1 fx dx lim b 1b x3 x4 4 lim b 1b 14 4x3 x4 4 dx se u x4 4 du 4x3 dx 1 fx dx lim b 14 du u lim b 14 lnu lim b 14 ln x4 4 xb x1 vou seja 1 fx dx 14 lim b lnb4 4 ln14 4 Do teste da integral a série diverge b seja fx xex2 de temos 1 fx dx lim b 1b xex2 dx lim b 12 1b 2xex2 dx se u x2 du 2x dx 1 fx dx 12 lim b eu du 12 lim b eu 12 lim b ex2 xb x1 12 lim b eb2 e12 12e Do teste da integral a série converge ③ a Como aₙ n8ⁿ aₙ₁ n18ⁿ¹ n18ⁿ 8 Assim aₙaₙ₁ n8ⁿ n18ⁿ 8 n 8 n1 8 n n1 como lim n nn1 lHopital lim n 11 1 segue que o raio de convergência R é tal que R lim n 8 n n1 8 lim n nn1 8 1 R 8 Assim a princípio a série converge x ℝ tal que x6 8 8 x 6 8 14 x 2 Para x 14 n1 n8ⁿ 14 6ⁿ n1 n8ⁿ 8ⁿ n1 n8ⁿ 1ⁿ 8ⁿ n1 n 1ⁿ a qual é uma série alternada diver gente pois lim n aₙ lim n n 0 Para x 2 n1 n8ⁿ 2 6ⁿ n1 n8ⁿ 8ⁿ n1 n sendo lim n aₙ lim n n série diverge Portanto o intervalo de convergência é 14 x 2 b sendo aₙ x²ⁿn aₙ₁ x²n1n1 x²ⁿ x²n1 n Assim aₙ₁aₙ x²n1 ou seja lim n aₙ₁aₙ lim n 1n1 x² 0 x² 0 1 x ℝ Portanto o raio de convergência é R e o intervalo de convergência é ℝ c Sendo an 1n²1 an1 1n1²1 Assim R lim n an an1 lim n n²11 1n1²1 lim n n1²1n²1 R lim n xn1 xn lim n n1n lim n 11 1 Portanto o raio de convergência é R 1 Deste modo a série converge a princípio x ℝ tal que x2 1 1 x2 1 1 x 3 Para x 1 n0 12nn²1 n0 1nn²1 é uma série alternada com an 1n²1 Como lim n 1n²1 0 e n 0 n n1 n² n1² n²1 n1²1 1n²1 1n1²1 an an1 então an é decrescente Segue do critério da série alternada que n0 1nn²1 converge Para x 3 n0 32nn²1 n0 1nn²1 n0 1n²1 Seja fx 1x²1 Entas ₀ fx dx lim b ₀b 1x²1 dx lim b arctgxxbx lim b arctgb arctg0 π2 No teste da integral a série converge portanto no intervalo de convergência é 1 x 3 d Como an 1n1 n 5n an1 1n11 n1 5n1 Assim R lim n an an1 lim n 1n1 n 5n n1 5n 5 1n lim n 5 n1n 5 lim n n1n 5 1 5 item anterior ou seja o raio de convergência é R 5 Deste modo na princípio a série converge x ℝ tal que x 5 5 x 5 Para x 5 Σ n1 to 1n1 n 5n 5n Σ n1 to 1n1 1n n Σ n1 to 12n1 n Σ n1 to 1n1 n Σ n1 to 1 n psérie com p1 divergente Para x 5 Σ n1 to 1n1 n 5n 5n Σ n1 to 1n1 1n é uma série alternada com an 1n Sendo lim n 1n 0 e como 1n 1n1 n 1 an decresce No critério da série alternada a série converge Portanto o intervalo de convergência é 5 x 5