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Exercícios 1 Considere a série de potências fx Σn0 xn1 n12 Determine a O domínio e o raio de convergência b fx o domínio e o raio de convergência c hx 0x ft dt o domínio e o raio de convergência 2 Dada a série fx Σn0 xn n a Mostre que ela é absolutamente convergente x ℝ b Mostre que fx fx c Sabendose que dy Aexdx y Aex conclua que fx ex isto é ex Σn0 xn n 3 Use o resultado do item 2 e obtenha 0x et2 dt em série de potências de x 4 Use o resultado do item 3 e obtenha 012 ex2 dx com duas casas decimais 5 Responda a Obtenha a série de potências de x para a função fx ex 1 x Sugestão subtraia 1 unidade e depois divida por x a função do exercício 2c b Use o item a e calcule a soma da série Σn1 n n1 Sugestão derive em relação à x a função e série obtida no item anterior e calcule f1 6 Mostre que Σn1 n 2n1 4 Sugestão manipule a série geométrica 11x Σn0 xn x1 inclusive através de derivada até chegar na série Σn1 n 2n1 num ponto apropriado de x 7 Calcule Σn2 n1 n Sugestão use a mesma sugestão anterior com a função ex Σn0 xn n x ℝ Respostas 1 a Dc 11 r 1 b fx Σn0 xn n1 Dc 11 e r 1 c hx Σn0 xn2 n12 n2 Dc 11 e r 1 3 0x et2 dt Σn0 1n x2n1 2n1 n x ℝ 4 012 ex2 dx Σn0 1n 122n1 2n1 n 12 124 1320 15376 05 0041 0003 00002 Usando os dois primeiros termos da série encontramos 046 5 a fx ex 1 x Σn1 xn1 n ou Σn0 xn n1 b Σn1 n n1 1 7 2e 3 a Raio de convergência Teste da razão lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 lim 𝑛 𝑥 𝑛2 𝑛2 2 𝑥 𝑛1 𝑛1 2 lim 𝑛 𝑥 𝑛2 2 𝑛1 21 lim 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 2 𝑛 2 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 21 1 𝑛 2 1 Aplicando o limite 𝑥 10 2 10 21 A série converge Raio de convergência 𝑅1 Domínio 𝐷 𝑅 𝑅11 b 𝑓 𝑥 1 𝑛1 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛1 𝑛1 𝑛1 2 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 Teste da razão lim 𝑛 𝑥 𝑛1 𝑛2 𝑥 𝑛 𝑛1 lim 𝑛 𝑥 𝑛2 𝑛1lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 1 1 𝑛 lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 1 1 𝑛 𝑥 10 101 A série converge Raio de convergência 𝑅1 Domínio 11 c 𝑓 𝑡 𝑡 𝑛1 𝑛1 2 h 𝑥 0 𝑥 𝑡 𝑛1 𝑛1 2 𝑑𝑡 𝑥 𝑛2 𝑛1 2 𝑛2 0 𝑛2 𝑛1 2 𝑛2 h 𝑥 𝑥 𝑛2 𝑛1 2𝑛2 Teste da razão lim 𝑛 𝑥 𝑛3 𝑛2 2𝑛3 𝑥 𝑛2 𝑛1 2𝑛2 lim 𝑛 𝑥 𝑛1 2 𝑛2𝑛3 lim 𝑛 𝑥1 1 𝑛 2 1 2 𝑛1 3 𝑛 lim 𝑛 𝑥1 1 𝑛 2 1 2 𝑛1 3 𝑛 𝑥 10 2 10 101 a Essa série representa a exponencial 𝑓 𝑥 𝑥 𝑛 𝑛1𝑥 𝑥 2 2 𝑒 𝑥 Então converge para todo x pertencente aos reais b Derivada 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 1 𝑛 𝑛1 𝑥 𝑛 1 𝑛1 𝑥 𝑘 𝑘𝑓 𝑥 c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝐴𝑒 𝑥𝐴 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥𝐴𝑒 𝑥𝑦 Acabamos de ver que 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑘 𝑘 𝑓 𝑥 𝑒 𝑥 𝑥 𝑛 𝑛𝑓 𝑥 0 𝑥 𝑒 𝑡 2 𝑑𝑡 0 𝑥 𝑡 2 𝑛 𝑛 𝑑𝑡 0 𝑥 1 𝑛𝑡 2𝑛 𝑛 𝑑𝑡 0 𝑥 𝑒 𝑡 2 𝑑𝑡 1 𝑛 𝑡 2𝑛1 2𝑛1𝑛 0 𝑥 1 𝑛 𝑥 2𝑛1 2𝑛1𝑛 0 1 2 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑛 𝑥 2𝑛1 2𝑛1𝑛 0 1 2 1 𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛1𝑛 0 1 2 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛1𝑛 𝑛0 1 𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛1𝑛 𝑛1 1 𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛1𝑛 𝑛2 0 1 2 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 1 3 1 2 3 1 7 6 1 2 5 0 1 2 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥0500410003046 Do 3º termo em diante descartamos a 𝑒 𝑥1 𝑛0 𝑥 𝑛 𝑛 1 𝑛1 𝑥 𝑛 𝑛 𝑓 𝑥 𝑒 𝑥1 𝑥 𝑛1 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛1 𝑥 𝑛1 𝑛 𝑛0 𝑥 𝑛 𝑛1 b 1 Σn1 1 n Σn0 1 n 1 Σn0 1 n Σn11 1 n Σn0 1 n 1 0 Σn0 1 n Σn0 1 n 1 Σn0 1 n Σn0 1 n 1 e Σn0 1 n 1 e Σn0 1 n 1 e Σn0 1 n 1 e Σn0 1 n 1 e e Σn1 n n1 1 6 Mostre que Σn1 n 2n1 4 Sugestão manipule a série geométrica 11x Σn0 xn x1 inclusive através de derivada até chegar na série Σn1 n 2n1 num ponto apropriado de x Σn1 21n n 2 Σn1 2n n Σn1 z0n z01z0 Σn1 n z0nz0 1z012 Σn1 n z0n z0z012 Σn1 2n n 2 2 Σn1 2n n 22 Σn1 21n n 4 Σn1 21n n 4 a Raio de convergência Teste da razão lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 lim 𝑛 𝑥𝑛2 𝑛 22 𝑥𝑛1 𝑛 12 lim 𝑛 𝑥 𝑛 22 𝑛 12 1 lim 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 2 𝑛 2 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 2 1 1 𝑛 2 1 Aplicando o limite 𝑥 1 02 1 02 1 A série converge Raio de convergência 𝑅 1 Domínio 𝐷 𝑅 𝑅 11 b 𝑓𝑥 1 𝑛12 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛1 𝑛1 𝑛12 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛1 Teste da razão lim 𝑛 𝑥𝑛1 𝑛 2 𝑥𝑛 𝑛 1 lim 𝑛 𝑥 𝑛 2 𝑛 1 lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 1 1 𝑛 lim 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 1 1 𝑛 𝑥 1 0 1 0 1 A série converge Raio de convergência 𝑅 1 Domínio 11 c 𝑓𝑡 𝑡𝑛1 𝑛12 ℎ𝑥 𝑡𝑛1 𝑛 12 𝑑𝑡 𝑥 0 𝑥𝑛2 𝑛 12𝑛 2 0𝑛2 𝑛 12𝑛 2 ℎ𝑥 𝑥𝑛2 𝑛 12𝑛 2 Teste da razão lim 𝑛 𝑥𝑛3 𝑛 22𝑛 3 𝑥𝑛2 𝑛 12𝑛 2 lim 𝑛 𝑥𝑛 12 𝑛 2𝑛 3 lim 𝑛 𝑥 1 1 𝑛 2 1 2 𝑛 1 3 𝑛 lim 𝑛 𝑥 1 1 𝑛 2 1 2 𝑛 1 3 𝑛 𝑥1 02 1 01 0 1 a Essa série representa a exponencial 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑛 1 𝑥 𝑥2 2 𝑒𝑥 Então converge para todo x pertencente aos reais b Derivada 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑛𝑥𝑛1 𝑛 𝑛𝑥𝑛1 𝑛𝑛 1 𝑥𝑛1 𝑛 1 𝑥𝑘 𝑘 𝑓𝑥 c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝐴 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐴𝑒𝑥 𝑦 Acabamos de ver que 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑥𝑘 𝑘 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑓𝑥 𝑒𝑡2 𝑥 0 𝑑𝑡 𝑡2𝑛 𝑛 𝑑𝑡 𝑥 0 1𝑛𝑡2𝑛 𝑛 𝑑𝑡 𝑥 0 𝑒𝑡2 𝑥 0 𝑑𝑡 1𝑛𝑡2𝑛1 2𝑛 1𝑛 0 𝑥 1𝑛𝑥2𝑛1 2𝑛 1𝑛 𝑒𝑥2 1 2 0 𝑑𝑥 1𝑛𝑥2𝑛1 2𝑛 1𝑛 0 1 2 1𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛 1𝑛 𝑒𝑥2 1 2 0 𝑑𝑥 1𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛 1𝑛 𝑛0 1𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛 1𝑛 𝑛1 1𝑛 1 2 2𝑛1 2𝑛 1𝑛 𝑛2 𝑒𝑥2 1 2 0 𝑑𝑥 1 2 1 3 1 2 3 1 76 1 2 5 𝑒𝑥2 1 2 0 𝑑𝑥 05 0041 0003 046 Do 3º termo em diante descartamos a 𝑒𝑥 1 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 1 𝑥𝑛 𝑛 𝑛1 𝑓𝑥 𝑒𝑥 1 𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑛1 𝑥 𝑥𝑛1 𝑛 𝑛1 𝑥𝑛 𝑛 1 𝑛0 b 1 n1 1n n0 1n 1 n0 1n n11 1n n0 1n 6 Mostre que n1 n2n1 4 Sugestão manipule a série geométrica 11x n0 xn x 1 inclusive através de derivada até chegar na série n1 n2n1 num ponto apropriado de x n1 21nn 2 n1 2nn n1 z0n z01z0 n1 nz0nz0 1z0 12 n1 nz0n z0z0 12 n1 2nn 2 n1 2nn 2 n1 2nn 2 2 n1 21nn 4 n1 21nn 4
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