Integrais de Linha e Funções Vetoriais - Notas de Aula

⑭Objetivo a do representa a área da região colorida A b Desejamos estender o conceito e integrarmos sobre uma curva em vez de integrar sobre um intervalo a b da Imagine que uma particula se mova ao y longo de uma curva C como mostrado C na figura ao lado É impossível descrever C com uma al equação do tipo y fx Entretanto as coordenadas a e y são funções do tempo e podem ser escritas como a ft e y gt Quando t varia o ponto a y ft gt varia e traça a curva C que chamamos curva parametrizada Exemplos Esbace e identifique a curva definida pelas equa ções paramétricas x t at y t 1 a toat Ey t 1 t y 1substituiremos na primeira equação a t at x y 1 2y 1 x y 4y 3 De forma geral a curva com equações paramétricas m ft y gt at b tem ponto inicial fa ga e ponto final fb gb Exemplos Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas a cost y sent O ai O ponto a y se move no círculo unitário ya 2 Exemplo Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas a enst y cosat Oct 12 As equações paramétricas representam o círculo unitário 2 yz 1 Os dois exemplos anteriores mostram que diferentes conjuntos de equaçõe paramétricas podem representar a mesma curva 2 comprimento de arco Se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas a ft y gt astb onde fe gvão contínuas em Ca b e C por percorrida escatamente uma vez quando t aumento de a até então o comprimento de C e Exemploy Se usarmos a representação do círculo unitário dada no Exemplo 2 então dos sent e dy ust e assimse dt L d ented 3 Funções Vetoriais Curvas e funções vetoriais são intimamente relacionadas Uma função vetorial é uma função cujo domínio é um con junto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores Para todo número t no domínio de existe um único vetor de R denotado por H Se ft e gt são as componentes do vetor H então f e g são funções a valores reais Chama das funções componentes de e escrevemos t ft gt Ft gt Lada uma curva C de equações paramétricas al ft y gt NI f gt é o vetor posição do ponto PfIt gt sobre C Assim qualquer função vetorial t define uma curva Cique é traçada pela ponta do vetor em movimento F Exemplos Descreva a curva definida pela função vetorial da t 1 2 3t de t 1 2 t1 3 W 2 ① Vetor direcional O 2 ⑧ Exemplo 6 Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto P1 3 ao ponto R21 A equação vetorial que une a extremidade do vetor t a extremidade do vetor é dada por t 1t OLt11 t 1 t1 3 2 1 t 1 3 4t OLt11 4 A derivada de uma função vetorial de rt ft gt ft gtj onde f e g são fun ções diferenciáveis então t ft gt fi gtT Na Seção 2 definimos o comprimento de uma curva pla na com equações paramétricas a ft y gt a b para o caso no qual fe g são continuas por Em outras palavras S Sgt Podemos escrever de forma mais compacta tld Consideremos C uma curva dada pela função vetorial volt em que é contínua e C é percorrida exatamente uma vez à medida que aumenta de a a b Definimos sua função comprimento de arco por st d Então St é o comprimento da parte de Centre a e VI se derivarmos a expressão acima segue do Corema Fundamental do Cálculo que Uma parametrização t é dita lisa em um intervalo I se for contínua e t em I Uma curva é dita lisa se tiver uma parametrização lisa Uma curva lisa não tem quebras abruptas ou cuspides