Lista de Exercícios Resolvidos de Estatística

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Um exame de estatística consta de seis problemas Para ser aprovado um estudante deverá resolver corretamente pelo menos 4 deles Um determinado estudante sabe 60 do assunto sobre o qual serão elaborados os problemas Qual será a probabilidade desse estudante ser aprovado Solução Distribuição Binomial Definindo a variável aleatória discreta X número de problemas resolvidos corretamente pelo estudante temos que XB606 Portanto Pdo estudante ser aprovado PX 4 PX 4 PX 5 PX 6 PX 4 C6 4 064 042 C6 5 065 04 C6 6 066 040 PX 4 6 4 2 064 042 6 5 1 065 04 6 6 0 066 040 0544 2 Numa linha adutora de água de 60 Km de extensão ocorrem 30 vazamentos no período de um mês Qual a probabilidade de ocorrer durante o mês pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 Km de extensão Solução Distribuição de Poisson Definindo a variável aleatória discreta X número de vazamentos por 3 Km temos que XB20090 Portanto 60 Km 30 vazamentos 3 Km λ Logo λ 15 PX 3 1 P 0 PX 1 PX 2 PX 3 1 e15 150 0 e15 151 1 e15 152 2 PX 3 1 0223130 0334695 0251021 1 0808846 0191154 3 Um técnico visita os clientes que compraram assinatura de um canal de TV para verificar p decodificador Sabe se por experiência que 90 desses aparelhos não apresentam defeitos a Determine a probabilidade de que 20 aparelhos pelo menos 17 não apresentam defeitos Solução Distribuição Binomial Definindo a variável aleatória discreta X número de decodificadores sem defeito temos que XB20090 Portanto PX 17 C20 17 09017 0103 C20 18 09018 0102 C20 19 09019 010 C20 20 09020 0100 PX 17 019012 028518 027017 012158 086705 b Se a probabilidade de defeito for de 00035 qual a probabilidade de que em 2000 visitas ocorra no máximo 1 defeito Solução Aproximação da Binomial à Poisson Definindo a variável aleatória discreta X número de decodificadores defeituosos temos que XB2000 00035 Portanto 𝜆 2000 00035 7 PX 1 PX 0 PX 1 PX 1 e7 70 0 e7 71 1 0000912 0006383 0007295 4 A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente com média 990g e desviopadrão 10g a Qual a probabilidade de uma lata ser rejeita no comércio se tiver peso menor que 976g Solução Distribuição Normal Definindo a variável aleatória contínua X peso da lata temos que XN µ σ2 XN 900 100 Portanto Z 976 990 10 14 PX 976 PZ 14 050 04192 00808 b Nas condições do item anterior qual a probabilidade de que em 20 latas observadas 3 sejam rejeitadas Solução Distribuição Binomial Definindo a variável aleatória discreta X número de latas rejeitadas temos que XB20 00808 Portanto p 00808 e q 1 p 1 00808 09192 PX 3 C20 3 008083 0919217 01435 5 Uma empresa monopolista no mercado de determinado produto tem produção constante de 90 toneladas ton por dia Sabese que a procura diária é uma v a com distribuição Normal com média 𝜇 80 toneladas e desvio padrão 𝜎 10 toneladas a Qual a procura média diária deste produto Calcule a variância Solução Distribuição Normal Definindo a variável aleatória contínua X procura diária em toneladas do produto temos que XN µ σ2 XN 80 100 Portanto 𝜇 Ex 80 e 𝜎2 102 100 b Qual deve ser a produção mínima diária para que a probabilidade de ocorrer procura excedentária seja 0025 Solução Distribuição Normal Definindo a variável aleatória contínua X produção diária em toneladas do produto temos que XN µ σ2 XN 80 100 Portanto 𝑋 𝜇 𝑍 𝜎 80 196 10 996𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟𝑑𝑖𝑎 6 Seja 𝑋 a v a que representa o tempo em segundos decorrido entre a entrada consecutiva de 2 peças numa linha de produção Admita que esta v a segue uma distribuição Exponencial com valor médio 15 segundos a Determine a probabilidade do tempo que ocorre entre a entrada consecutiva de 2 peças na linha de produção estar entre 10 e 20 segundos Solução Distribuição Exponencial Definindo a variável aleatória contínua X tempo em segundos temos que XExp λ XExp 𝜆 1 15 Portanto 𝜇 EX 1 𝜆 1 𝜆 15 𝜆 1 15 P10 X 20 PX 10 PX 20 e006710 e006720 02499