Lista de Exercícios - Modelos de Regressão Múltipla e Testes de Hipóteses

PERGUNTA 1 Um conjunto de dados foi analisado e forneceu o resultado que se apresenta na imagem em que os valores da coluna coef representam o parâmetro β j correspondente a cada variável e os valores da coluna std err representam o erro padrão de cada parâmetro coef std err Intercept 172787 0842 x1 63678 1364 x2 365 2260 x3 17067 0416 Considerando que esse resultado atende a um modelo de primeira ordem com interação leia as seguintes afirmativas e verifique mediante cálculos quais as informações fornecidas I O modelo correspondente é y 17 2787 6 3678x1 3 654x2 1 7067x3 em que x 3 x 1 x 2 II Para x 1 x 2 x 3 0 o valor esperado de y será µ Y 17 2787 III O valor do coeficiente de β 3 indica que o parâmetro β 3 é predominante no modelo IV Com os dados fornecidos é possível calcular intervalos de confiança para cada parâmetro β j apenas se tiver o valor de σ² e n V Com os dados fornecidos é possível realizar o teste de utilidade do modelo Assinale a verdadeira se informação que afirmava e o correto caso se afirme err Apenas I e V Apenas I e IV Apenas I II e IV Apenas I II III e X PERGUNTA 2 Um conjunto de 10 amostras e k3 foi ajustado mediante o modelo de regressão múltipla Com os dados foi calculado um SQEr234 e um SQT375 Com esses dados obtenha o coeficiente de regressão múltipla ajustado R 2 2 404 R 2 0 967 R a 2 0 967 R 2 0 936 R a 2 0 96 PERGUNTA 3 Para todos os modelos de regressão é necessário realizar procedimentos de verificação da validade dos parâmetros obtidos ou dos valores previstos Nesse sentido é necessário realizar os testes de hipótese que validam ou rejeitam os valores dos parâmetros e a utilidade do modelo No procedimento de teste de hipótese considerase o cálculo de valores críticos e estatísticos de teste Com essas informações em mente na regressão de variáveis múltiplas o teste de utilidade do modelo considera o cálculo de R2 k 1 R2 k 1 verificar se f F crit 1 R 2 n k 1 1 R 2 n k 1 R² k 1 R² k 1 verificar se f F crit β j ˆ β j β j β j t crit β j ˆ β j verificar se z z crit β j ˆ β j β j β j t crit β j ˆ β j verificar se z z crit 1 R 2 n k 1 1 R 2 n k 1 verificar se f F crit β j ˆ β j β j β j t crit β j ˆ β j verificar se z z crit lembrando que t se deva aplicar a β j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 PERGUNTA 4 Um conjunto de dados com três variáveis preditoras foi analisado e forneceu o resultado que se apresenta na imagem em que os valores da coluna coef representam o parâmetro β j correspondente a cada variável e os valores da coluna std err representam o erro padrão de cada parâmetro coef std err Intercept 17 2787 7 1617 x1 6 3678 2 260 x2 3 6584 1 364 x3 1 7067 0 431 Para um t n k 1 3 250 obtido para esta amostra com um nível de confiança de 90 Calcule o intervalo de confiança do parâmetro β j 2 13 7428 β j 2 0 9772 0 3060 β j 2 3 1074 10 5258 β j 2 13 2518 8 0914 β j 2 0 7746 6 0141 β j 2 40 5714 PERGUNTA 5 Considere o modelo de regressão múltipla a seguir Neste modelo a variável r 1 representa a velocidade de um carro em kmh e a variável r 2 representa se o carro tem motor naturalmente aspirado x 2 0 ou motor turbo x 2 1 Com isso em mente observe as seguintes equações e escolha a que representa corretamente essa condição Para motor turbo o modelo pode ser descrito como Para motor naturalmente aspirado o modelo pode ser descrito como Para motor naturalmente aspirado o modelo pode ser descrito como Para motor turbo o modelo pode ser descrito como Para motor turbo o modelo pode ser descrito como em que PERGUNTA 6 Um conjunto de dados foi ajustado com o seguinte modelo y 17 2787 5 3678x 1 3 6584x 2 1 7067x 3 em que x 3 x 1 x 2 Em que a variável x não é categórica Pela característica deste modelo o parâmetro que acompanha a variável r 1 isto é β 1 6 3678 Responda e justifique se o resto das variáveis se mantiverem constantes o incremento de x 1 em uma unidade significa que y diminui em 0 3678 unidades Sim se todas as variáveis ficarem fixas acrescentar x 1 em uma unidade faz y diminuir já que β 1 é negativo Não visto que x 1 é categórica e em alguns casos adota o valor de 0 Sim visto que x 1 é categórica e em alguns casos adota o valor de 0 cancelando assim a parte da equação que contém dita variável Não visto que x 1 é a variação de y se obtém somando β 1 β 3 Não visto que x 3 x 1 x 2 não é possível manter x fixo se acrescentar o valor de x 1 em uma unidade PERGUNTA 7 Considerando duas variáveis preditoras e uma variável resposta existem os seguintes modelos de variáveis múltiplas I O modelo de primeira ordem II O modelo de segunda ordem sem interação III O modelo com preditores de primeira ordem e interação IV O modelo completo de segunda ordem ou modelo quadrático completo V O modelo regressão múltipla geral obtido fazendo k2 Após observar as afirmativas é correto o que se afirma em apenas I e IV apenas II e III apenas I II III e IV apenas II III e V apenas I IV e V 1 PERGUNTA 2 Um conjunto de dados foi ajustado com o seguinte modelo y 17 2787 5 3678x 1 3 6584x 2 1 7067x 3 em que x 3 x 1 x 2 Em que o erro padrão de x 1 é 1 80 Calcule o intervalo de confiança dos parâmetros que tem um nível de confiança de 90 sabendo que para o t crítico da amostra seu tamanho é novo e o valo do amostra crítica t é t n k 1 2 301 19 3027 β j 22 9339 18 4296 β j 21 8475 12 3957 β j 24 2415 13 7075 β j 21 0601 17 1577 β j 23 1185 PERGUNTA 1 Na tabela a seguir apresentamos a menor SQE para cada número k de preditores k 1 2 3 4 para um problema de regressão de variáveis múltiplas Número k de preditores variáveis SQE 1 x4 880 85 2 x1 x2 58 01 3 x1 x2 x3 49 20 4 x1 x2 x3 x4 47 86 Sabendo que SQT 29696 e n 13 complemente essa tabela calculando o valores de R 2 R 2 a e C k para os casos apresentados em cada linha e indique quantos preditores k precisa o modelo para representar melhor o conjunto de dados Dica para calcular C k precisará calcular de s² O k4 porque apresenta R 2 e R 2 a grandes e o maior C k O k2 porque apresenta um C k pequeno com valores grandes para R 2 e R 2 a O k3 porque apresenta o maior R 2 e R 2 também grande O k1 porque apresenta o menor C k O k4 porque quanto mais preditores mais confiável o modelo PERGUNTA 2 Na imagem a seguir apresentase um gráfico que contem no eixo x valores críticos versus os resíduos studentizados ambos valores visam definir as amostras influentes Interpretando o gráfico é possível afirmar que ParaTodosVerem Apresentase um gráfico com circunferências em azul algumas delas adotan tamanhos pequenos outras tamanhos médios elas estão mais alocadas para acima e um é uma circunferência maior O é um gráfico de distribuição normal dos erros O é um gráfico evidencia os valores maiores e menores dos dados O é um gráfico que evidencia amostras influentes O é um gráfico de dispersão dos dados O é um gráfico de distribuição tstudent PERGUNTA 3 Um conjunto de dados foi ajustado mediante um modelo logístico de variáveis múltiplas p x 1 x 2 x k 1 p x 1 x 2 x k e β 0 β 1 x 1 β 2 x 2 Se β 0 4 24 β 1 0 46 e β 2 1 18 calcular a razão das chances para a variável x 2 quando as outras se mantêm fixas A razão das chances é 158 A razão das chances é 118 A razão das chances é 3 25 A razão das chances é 0 46 A razão das chances é 4 24 PERGUNTA 4 Na imagem a seguir apresentamse alguns resultados da regressão de variáveis múltiplas de primeira ordem sem interação considerando k3 Rsquared 0858 Fstatistic 1817 Adj Rsquared 0811 Prob Fstatistic 0000369 coef std err t Pt 0025 0975 Intercept 138973 1640 8475 0000 10188 17607 capvol 00755 0021 2417 0043 0093 0002 power 00061 0016 0378 0714 0043 0030 weight 00021 0001 1464 0177 0005 0001 ParaTodosVerem Resultado do python seguem os valores transcritos Rsquared 0858 Adj Rsquared 0811 Fstatistic 1817 Prob Fstatistic 0000369 Após esses dados tem uma tabela com 5 linhas e 7 colunas na primeira coluna tem os nomes das variáveis e no resto das colunas os seguintes títulos coef std errt Pt0025 0975 essa informação é para a primeira linha Nas outras quatro linhas tem a seguinte informação 2da linha Intercept138973 1640 8475 0000 1018817607 3ra linha capvol 00005 0001 0417 0686 0003 0002 4ta linha power 00061 0016 0378 0714 0043 0030 2da linha weight 00021 0001 1464 0177 0005 0001 As palavras Intercept capvol power weight são nomes de variáveis apenas poderiam por exemplo ser x1 x2 x3 e x4 É necessário realizar o teste de utilidade do modelo com um nível de significância de 95 para este propósito foi calculado o valor sendo ele igual a 4066 e o Considerando esses valores críticos e os valores apresentados na imagem é possível afirmar que Como rejeitase a hipótese nula isto é todo Como rejeitase a hipótese nula isto é pelo menos um dos mas não é possível saber quais parâmetros são como rejeitase a hipótese nula isto é pelo menos um dos Os parâmetros diferentes de zero são Como para rejeitase a hipótese nula isto é todo Como para rejeitase a hipótese nula isto é todo PERGUNTA 5 Após o processo de ajuste do modelo foi obtida uma equação com 3 variáveis preditoras linear e sem interação Treze amostras compõem o conjunto de dados com eles foram calculados os coeficientes e os resultados da diagonal são apresentados na seguinte tabela Número de amostra 1 0358 2 0200 3 0214 4 0167 5 0658 6 0131 7 0934 8 0339 9 0358 10 0144 11 0237 12 0167 13 0237 Considerando o critério qual ou quais amostras podem ser consideradas influentes Amostra 7 Amostras 4 6 10 e 12 Nenhuma amostra é influente Todas as amostras exceto 5 e 7 Amostras 5 e 7 PERGUNTA 6 Na imagem a seguir apresentase um mapa da correlação que existe entre as variáveis resposta lny e variáveis preditoras lnx1 lnx2 lnx3 de um modelo de variáveis múltiplas Leia as seguintes afirmativas sobre a interpretação do gráfico ln x1 ln x2 ln x3 lny ParaTodosVerem Figura que representa um mapa de calor sendo azul o menor valor 1 e vermelho escuro o maior 1 percorre uma gama de cores de azul azul claro cinza laranja claro laranja e vermelho A imagem está representada em forma de matriz 4x4 As linhas estão organizadas na seguinte ordem lnx1lnx2lnx3 e lny as colunas tem a mesma ordem Na linha 1 apresentamse os seguintes valores 1 0 0 083 na segunda linha os valores 0 1 0 005 na terceira linha os calores 0 0 1 012 na quarta linha os valores 083 005 012 e 1 I Os valores da diagonal representam o coeficiente de determinação do modelo II Podese afirmar que existe correlação de 083 entre lnx1 e lny III Podese afirmar que não existe correlação entre lnx3 e lnx2 IV As variáveis preditoras não apresentam correlação entre si o que indica a possibilidade de não existir multicolinearidade V A variável preditora que está melhor correlacionada com a variável resposta é lnx2 Após analisar as afirmativas é correto o que se afirma em Apenas II III e IV Apenas II III Apenas II III e V Apenas I II e IV Apenas I III e V PERGUNTA 7 Um conjunto de amostras deverá ser ajustado com o seguinte modelo com erro multiplicativo Para realizar corretamente o processo de regressão é necessário realizar a transformação de variáveis para o modelo ser representado como linear Qual das seguintes alternativas contém o modelo linearizado ln y ln a ln y ln a ln ou y log a log ln y ylog a log ln y PERGUNTA 8 Na imagem a seguir apresentase um mapa com os valores do fator de aumento da variância VIF que existe entre as variáveis de um modelo de variáveis múltiplas ParaTodosVerem Figura que representa um mapa de calor sendo azul o menor valor 4 e vermelho escuro o maior 4 valores maiores ou menores do que esses adotaram a cor igual do que o valor extremo definido acima percorre uma gama de cores de azul azul claro cinza laranja laranja claro laranja e vermelho A imagem está representada em forma de matriz 3x3 As linhas estão organizadas na seguinte ordem 012 que representam variáveis e as colunas tem a mesma ordem Na linha 1 apresentamse os seguintes valores 1104 189 999 na segunda linha os valores 189 136 105 na terceira linha os calores999 15 1008 Após analisar o gráfico leia as alternativas sobre a interpretação dele e escolha a correta Não há multicolinearidade devido à presença de valores negativos Como na diagonal tem um valor menor a 4 não se pode afirmar que existe multicolinearidade Os valores de 999 108 e 1104 indicam que existe multicolinearidade Os valores de 108 e 1104 indicam que existe multicolinearidade Os valores desse tipo de gráfico devem estar restringidos de 1 a 1