Lista de Exercícios Resolvidos - Derivação Implícita e Aplicações

PROBLEMAS 26 Nos Problemas 1 a 6 calcule dydx de duas formas a por derivação implícita b derivando uma expressão explícita de y Em cada caso mostre que as duas respostas são iguais 1 2x 3y 7 2 xy 4 3 xy 2y 3 4 x2 y3 12 5 xy 2y x2 6 x 1y 5 Nos Problemas 7 a 20 determine dydx por derivação implícita 7 x2 y2 25 8 x2 y x2 y2 9 x3 y3 xy 10 5x x2 y3 2y 11 y2 2xy2 3x 1 0 12 1x 1y 1 13 x y 1 14 2x y2 4 15 xy x y 2 16 y2 3xy 4x2 9 17 2x y3 x 18 x 2y2 y 19 x2 3y25 2xy 20 3xy2 14 2x 3y Nos Problemas 21 a 26 determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado 21 x2 y3 8 4 22 1x 1y 2 14 12 23 xy 2 2 1 24 x2 y3 2xy 6x y 1 0 1 25 1 x y3 x 7 1 2 26 x2 2y3 2xy2 64 0 2 Nos Problemas 27 a 32 determine todos os pontos forneça as duas coordenadas sobre a curva dada para os quais a reta tangente é a horizontal e b vertical 27 x y2 9 28 xy 16y2 29 x2 xy y 3 30 xx yy 5 31 x2 xy y2 3 32 x2 xy y2 3 Nos Problemas 33 e 34 use derivação implícita para calcular a derivada segunda d2ydx2 33 x2 3y2 5 34 xy y2 1 35 FABRICAÇÃO A produção de uma certa fábrica é Q 008x2 012xy 003y2 unidades por dia onde x é o número de homenshoras de mãodeobra especializada e y o número de homenshoras de mãodeobra nãoespecializada No momento são usados 80 homenshoras de mãodeobra especializada e 200 homenshoras de mãodeobra nãoespecializada Use os métodos do cálculo para estimar a variação de mãodeobra nãoespecializada necessária para compensar um aumento de 1 homemhora da mãodeobra especializada de modo que a produção não seja alterada 36 FABRICAÇÃO A produção de uma certa fábrica é Q 006x2 014xy 005y2 unidades por dia onde x é o número de homenshoras de mãodeobra especializada e y o número de homenshoras de mãodeobra nãoespecializada No momento são usados 60 homenshoras de mãodeobra especializada e 300 homenshoras de mãodeobra nãoespecializada Use os métodos do cálculo para estimar a variação de mãodeobra nãoespecializada necessária para compensar um aumento de 1 homemhora da mãodeobra especializada de modo que a produção não seja alterada 37 TAXA DE OFERTA Quando o preço unitário de um certo produto é p reais o fabricante tem interesse em fabricar x unidades onde 3p2 x2 12 Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é R 400 e está aumentando à taxa de 87 centavos por mês 38 TAXA DE DEMANDA Quando o preço unitário A Qual é o comprimento s de um dos lados do cubo Com que taxa este comprimento s está variando no momento em relação ao tempo t b Qual é a atual taxa de variação da área S da superfície do bloco de gelo em relação ao tempo Nota Um cubo de lado s tem um volume V s3 e a área da superfície é S 6s2 41 MEDICINA Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0002π mm3min Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R 0005 mm Nota Uma esfera de raio R tem um volume V 43 πR3 42 CONTROLE DA POLUIÇÃO Um estudo ambiental realizado em uma certa cidade revela que haverá Qp p2 4p 900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes Se a população atualmente é de 50000 habitantes e está aumentando à razão de 1500 habitantes por ano qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto 43 TAXA DE DEMANDA Quando o preço de um certo produto é p reais a unidade a demanda é d em centenas de unidades onde 75x2 17p2 530 Qual é a taxa de variação da demanda quando o preço é R 700 e está diminuindo à taxa de 45 centavos por mês ou seja dpdt 075 44 LEI DE BOYLE De acordo com a lei de Boyle quando um