Lista de Exercícios - Séries de Fourier e Funções Periódicas

Lista III Series de Fourier 1 Desenvolva em série de Fourier as seguintes funções periódicas de período 2π a ft t b ft t c ft sent d ft et e fx t2 π t 0 t2 0 t π 2 Obtenha os primeiros três termos da série de Fourier das funções periódicas abaixo a fx x2 e fx fx 2π π x π b fx tan x e fx fx 2π π x π c fx x sen x e fx fx 2π π x π d fx x3 2x e fx fx 2π π x π e fx e2x e fx fx 2π π x π 3 Desenvolva em série de Fourier as seguintes funções periódicas a fx fx 4 e fx x 2 x 0 x 0 x 2 b fx fx 6 e fx 0 3 t 1 1 1 t 1 0 0 1 3 Séries de Fourier Obs A série de Fourier de uma função fx é dada por fx a02 Σ de n1 até an cosnπxL bn sennπxL em que 2L é o período da função a0 1L de L até L fx dx an 1L de L até L fx cosnπxL dx bn 1L de L até L fx sen nπxL dx 1 Todas funções tem período 2π logo L π a ft t integral de função ímpar num intervalo simétrico é 0 a0 1π de π até π t dt 0 an 1π de π até π t cosnπtπ dt 1π de π até π t cosnt dt 0 função ímpar bn 1π de π até π t sen nπtπ dt 1π de π até π t sen nt dt integração por partes 1π 1nt cosnt n 1n cosnt dt de π até π 1π 1nt cosnt de π até π n de π até π 1n cosnt dt π cosnπ π cosnπ π n 2 1n n ft Σ n1 até 2 1n n sen nπtπ Σ n1 até 2 1n n senn t b ft t função par de a até a ft dt 2 de 0 até a ft dt a0 1π de π até π t dt 2π de 0 até π t dt 2π t220π 2ππ22 π função par an 1π de π até π t cosnπtπ dt 2π de 0 até π t cosn t dt t se t 0 função par 2pi 0 to t t cosnt 2pi 0 to nπ u cosun2 du substitución unπ integración por partes 2pi 1n2 u senu senudu 0 to nπ 2pi 1n2 u senu cosu 0 to nπ 2pi 1n2 nπ sennπ cosnπ 0 cos0 2π n2 1n 1 bn 1pi π to π t sennπ tπ dt 1pi π to π t sennt dt 1π π to 0 t sennt dt 0 to π t sennt dt 1π π to 0 t sennt dt 0 to π t sennt dt integral da letra a 1π 1 t cosntn π to 0 t cosntn 0 to π 1π π 1n n π 1n n 0 ft π2 n2 to 2 1n 1 cosnt π n2 c ft sent a0 1π π to π sent dt 1π π to 0 sent dt 0 to π sent dt 1π cost π to 0 cost 0 to π 1π cos0 cosπ cosπ cos0 4π an 1π π to π sent cosnt dt 1π π to 0 sent cosnt dt 0 to π sent cosnt dt Pausa para algunos cálculos prop propiedades trigonométricas sentcosnt sentnt sent nt2 sent cosnt dt sentnt sent nt 2 dt 12 sentnt dt sentnt dt 12 11n costnt 11n costn t Continuando an 1π π to 0 sent cosnt dt 0 to π sent cosnt dt 1π 1 11n costnt 11n costnt π to 0 11n costnt 11n costnt 0 to π 1π 1n 1n1n1 1n 1n1n1 1n 1n 2 π n1n1 bn 1π π to π sent sennt dt 1π π to 0 sent sennt dt 0 to π sent sennt dt Pausa para algunos cálculos sent sennt costnt cost nt2 sent sennt dt costnt costnt dt2 12 11 n sent nt 11n sentnt Continuando bn 1π π0 sent sennt dt 0π sent sennt dt 12π 11n sentnt 11n sentntπ0 11n sentnt 11n sent ntπ0 0 sen0 0 sen n1π ft 2π n1 1n 1n 2 cosnt πn 1n 2 d ft et a0 1π ππ et 1π et ππ eπ eππ an 1π ππ et cosnt dt 1π et senntn et senntn dt ππ Integração por partes 1π et senntn 1n et cosntn 1n et cosnt dt0π Integração por partes de novo Se isolarmos et cost dt obtemos an 1π net senntn2 1 et cosntn2 1ππ 1π 1n eπ eπn2 1 bn 1π ππ et sennt dt 1π et cosnt et cosntn dtπ 1π et cosntn 1n et senntn et senntnπ Integração por partes Integração por partes de novo Isolando et sennt dt obtemos an 1π n et cosnt et senntn2 1ππ 1π eπ 1n n eπ 1n nn2 1 1n n eπ eπ πn2 1 ft eπ eπ2π n1 1n eπ eπ cosnt πn2 1 1n n eπ eπ πn2 1 e ftt² π t 0 t² 0 t π a0 1π ππ ftdt 1π π0 t² dt π0 t² dt 1π t³30π t³3π0 1π 0³3 π³3 π³3 0³3 π³3 π³3 0 Obs função ímpar an 1π ππ ft cosntdt 1π π0 t² cosnt π0 t² cosnt 1π π0 t² cosnt dt π0 t² cosnt dt Pausa para alguns cálculos t² cosnt dt u² cosu dtn³ Subst t cósint nt u 1n3 u2 senu 2u senu du 1n3 u2 senu 2u senu u cosu 1n3 n2t2 sennt 2nt sennt nt cosnt Continuando an 1π 2π1nn2 2π1nn2 0 bn 1π ππ ft sennt dt 1π π0 t2 sennt dt 0π t2 sennt dt 1π π0 t2 sennt dt 0π t2 sennt dt Pausa para algunos cálculos t2 sennt dt t2 cosntn 2t cosntn dt t2 cosntn 2 nt sennt cosntn3 Continuando bn 1π π2 1nn 2 2 1nn3 π2 1nn 2 21nn3 1π 2 π2 1nn 2 2 2 1nn3 ft n1 1π 2π2 1nn 2 2 2 1nn3 sennt 2 Para todos os itens L π a fx x2 a0 1π ππ x2 dx 1π x33 ππ 2π33π 2π23 an 1π ππ x2 cosnx dx 1π nπnπ u2 cosun3 du 1π n3 u2 senu 2u senu du nπnπ 1π n3 u2 senu 2 u cosu senu nπnπ 1π n3 4π 1n n 4 1nn2 bn 1π ππ x2 sennx dx 0 Função ímpar Assim os 3 primeiros termos da série de Fourier são π33 i13 4 1nn2 cosnx π33 4 cosx12 4 cos2x22 4 cos3x32 π33 4 cosx cos2x 43 cos3x b fx tanx a0 1π ππ tanx dx Esta integral diverge logo não podemos determinar a série de Fourier c fx x senx po integração por partes a0 1π ππ x senx dx 1π x cosx cosx dx ππ 1π x cosx senx ππ 1π π cosπ senπ π cosπ senπ 2ππ 2 an 1π from π to π x senx Cosnx dx 1π from π to π x senn1x senn1x2 dx Integral por partes 1π x 11n Cosn1x 11n Cosxnx from π to π 12 11n Cosn1x 11n Cosn1x dx 1π x2 11n Cosn1x 11n Cosn1x 12 11n2 senn1x 11n2 senn1x from π to π Todos senos dió 0 1π 2π 1n 1n1n 2 1n 1n2 bn 1π from π to π x senx sennx dx 0 função impar Assim os 3 primeiros termos da série de Fourier são 22 2 Cosx112 2 Cos2x122 2 Cos3x132 indeterminado 1 2 Cos2x3 Cos3x4 d fx x3 2x ao 1π from π to π x3 2x 0 função impar an 1π from π to π x3 2x Cosnx dx 0 função impar bn 1π from π to π x3 2x sennx dx 1π from π to π x3 sennx dx 2 from π to π x sennx dx I from π to π x3 sennx dx 1n x3 Cosnx from π to π 3 x2 Cosnxn dx from π to π 1n x3 Cosnx n 3n3 n2 x2 sennx 2 nx Cosnx sennx from π to π 12 π 1n n3 2 π 1n n função 1 a II 2 from π to π x sennx dx 2 2π 1n n bn 1π 12 π 1n n3 2 π 1n n 4 π 1n n 1n 12 6n2 n3 Assim os 3 primeiros termos da série de Fourier são 6 senx 128 sen2x 4227 sen3x 6 senx 32 sen2x 199 sen3x e fx e2x ao 1π from π to π e2x dx 1π from 2π to 2π eu du 2 substituição u2x 12π eu from 2π to 2π e2π e2π 2π an 1π from π to π e2x Cosnx dx 1π e2x Sennxn from π to π e2x Sennxn dx from π to π Integral por partes 1π e2x sennxn 2n e2x cosnxn e2x 2 cosnxn dx from π to π Isolando e2x cosnx dx obtemos aₙ 1π from π to π n e2x sennxn² 4 2 e2x cosnxn² 4 1π 2 e2π 1n n² 4 2 1n e2πn² 4 bₙ 1π from π to π e2x sennx dx Integral por partes 1π e2x cosnxn 2 e2x cosnxn dx from π to π 1π e2x cosnxn 2n e2x sennxn e2x sennx dx n from π to π Integral por partes Isolando e2x sennx dx obtemos bₙ 1π n e2x cosnxn² 4 2 e2x sennxn² 4 from π to π 1π e2π 1n n n² 4 1n e2π n n² 4 Assim os 3 primeiros termos serão e2π e2π4π 2 e2π 2 e2π5π cosx e2π e2π5π senx 2 e2π 2 e2π8π cos2x 2 e2π 2 e2π8π sen2x 2 e2π 2 e2π13π cos3x 3 e2π 3 e2π13π sen3x 3 a L 2 a₀ 12 from 2 to 2 fx dx 12 from 2 to 0 x dx from 0 to 2 x dx 12 2 2 2 aₙ 12 from 2 to 2 fx cosnπ x 2 dx 12 from 2 to 0 x cosnπ x 2 dx from 0 to 2 x cosnπ x 2 dx 12 4π n² 4 1n π n² 4 1n π n² 4π n³ 4π n² 1n 1 bₙ 12 from 2 to 2 fx sennπ x 2 dx 12 from 2 to 0 x sennπ x 2 dx from 0 to 2 x sennπ x 2 dx 12 4 1n π n 4 1n π n 0 fx 1 from n1 to 4π n² 1n 1 cosnπ x 2 b L 3 a₀ 13 from 3 to 3 fx dx 13 from 1 to 1 dx 23 aₙ 13 from 3 to 3 fx cosnπ x 3 dx 13 from 1 to 1 cosnπ x 3 dx 13 3 sennπ x 3nπ from 1 to 1 2nπ sennπ3 bn 13 33 fx sennπx3 dx 13 11 sennπx3 dx 0 Função ímpar fx 13 Σ n1 to 2πn sennπ3 cosnπx3