Lista de Exercícios - Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações

Centro Universitário de Patos de Minas QUESTÃO 21 O Teorema Fundamental do Cálculo é muito útil e importante em matemática pois nos permite calcular uma grande variedade de integrais de uma maneira fácil e rápida Podemos calcular a sua integral definida fxdx Com isso obtemos uma maneira rápida e simples de resolver problemas práticos em que a função está definida De acordo com o enunciado se f é uma função contínua sobre ab e se F é uma primitiva de f nesse intervalo então fxdx Fb fa FLEMING Diniz Martin GONÇALVES Milânia Buss Cálculo A São Paulo Pearson 2004 adaptado Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular 14 x4 3x2 1dx o resultado será A 127 B 83 C 92 D 125 E 103 QUESTÃO 22 Uma empresa do ramo automotivo desenvolve projetos de motores de combustão para motos Para que a eficaz e o custo melhor definidos esse processo é concebido com vários estágios Essas etapas são feitas para melhor entender o funcionamento dos motores dos modelos de motocicletas mais produzidos Fazer X o modelo funcionar para poder testar os componentes Depois disso os dados são analisados A moto é então submetida a testes finais de avaliação instabilidades e observação das variações de torque e motores A equipe de engenharia é produzida para definição das alterações O gasto com o custo de produção da empresa deve considerar os gastos para a produção dos dois motores Os gastos delimitados por C Então sendo F um campo de forças definido por F P Q se C e Q viverem definidos em G e G um domínio com fronteiras suaves de classe C2 como podese aplicar o Teorema de Green em erros arredondamentos mais razoáveis Com base nessas informações podese afirmar que dada a curva C x2 y2 4 o resultado da integral x ydx x y dy será 8π A 8π B 4π C 4τ D 4π E 8τ Centro Universitário de Patos de Minas QUESTÃO 28 Em uma indústria criouse uma caixa dágua modelada pela função yx2 com ambas as variáveis inseridas na conta antes Em uma função essa caixa é retirada em modo de x e y gerando a caixa A altura da caixa é definida pelo intervalo 0 x 4 adquirida pela variável x o volume da caixa é A 7π m3 B 6π m3 C 7 π m3 D 5 π m3 E 8 π m3 QUESTÃO 29 O volume abaixo de uma superfície definida em R2 contínua e não negativa sobre uma área R do plano xy pode ser obtido por meio da integral apresentada abaixo yxydA lim Σ yxi yi Δ Ak i1 n onde yxi yi representa a função em um ponto do késimo subretângulo de R conforme denotam Anton Bivens e Davis 2014 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 2 A partir do exposto assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor de x ydA para R x y 0 x 1 0 y 1 A 10 B 15 C 25 D 30 E 35 QUESTÃO 30 As derivadas parciais podem ser utilizadas para calcular a inclinação de um sólido em uma determinada direção Considere que o telhado de um galpão possa ser descrito pela função zx2 y2 10 2x y 5z em que todas as medidas estão em metros Então podese dizer que a inclinação do telhado no ponto P 117 na direção do plano x 1 vale A 4 B 5 C 1 D 6 E 3 Centro Universitário de Patos de Minas O conjunto domínio de uma função é contínuo e o conjunto de elementos de tempo de E As variações associadas a algum domínio de um sinal de comportamento dependente e é chamada variável dependente Diminuição do cálculo NO caso da função do primeiro grau y ax b a variável independente x e a variável independente A função num logístico fx x2 bx a com variáveis y constante Assim calculo da função do pagamento em atrasos m a variável respeitada definida por dias de atraso A tabela é definida pelo atraso conforme ilustrado Sr Cálcio Não se deve pagar nova multa de R 050 por dia de atraso Tendo em vista essas informações considere a variável x definida em dias de atraso e a variável independente y o valor do boleto a ser pago com atraso Assim sendo podese afirmar que se o valor a ser pago será de A R 1299 B R 1309 C R 1321 D R 1350 E R 12899 QUESTÃO 25 Qual o significado geométrico da derivada primeira A A inclinação de uma reta secante ao gráfico B A inclinação da reta tangente no ponto do gráfico C O conceito de área de uma região em uma parcela D O contorno do gráfico QUESTÃO 26 Uma calculadora ligada à rede de energia dessa forma a temperatura em seu interior diminui Em certos instantes a temperatura do local pode ser prevista por esta função Tt a bect com t medido em minutos Nesse contexto dTdt em t 0 no interior da geladeira pode ser previsto por c 3 4t 9 em que x é o tempo em minutos A menor temperatura atingida foi de A 0 C B 10 C C 10 C D 10 C E 3 C QUESTÃO 27 O valor dos juros J obtido pela aplicação de um capital a uma determinada taxa de juros simples durante t anos é definido por J 4t Nessas condições qual o valor dos juros obtidos pela aplicação dos capital durante 18 meses CORRETO o que se afirma em a I e III apenas b I e II apenas c II e III apenas d III apenas e II e III apenas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL QUESTÃO 16 Considere S uma superfície parametrizada suave com equação vetorial definida por ruv xuv i yuv j zuv k com uv D Então sabese que a área da superfície de S pode ser calculada por AS ru rv dA onde ru xu i yu j zu k e rv xv i yv j zv k É possível calcular a integral de superfície fxyz dS a partir da aproximação da área de uma parte de S pela área de um paralelogramo aproximador do plano tangente e mesmo quando D não for retangular temos fxyz dS fruv ru rv dA Com base nessas informações podese afirmar que a integral de superfície dada por x² dS na superfície x² y² z² 1 será a 35 b 2π c 4π3 d 4π3 e 3 QUESTÃO 17 Estando sempre à procura de generalidade e elegância no tratamento de problemas Lagrange sugeriu o uso de multiplicadores de Lagrange para fornecer um algoritmo elegante e simétrico para determinação de máximos e mínimos de uma função como fxyz sujeita a um vínculo ou restrição gxyz k Para empregar este método introduzimos uma constante λ para determinar λ formamos a função V f λ g pois V é paralela o g supondo Vg g 0 Depois eliminamos o multiplicador de Lagrange A e resolvemos para obter os valores procurados de x y e z Por fim devese calcular f nos pontos xyz e o maior desses valores vai ser o máximo e o menor vai ser o mínimo BOYER C B MERZBACH U C História da matemática São Paulo Editora Blucher 2012 adaptado A respeito do método dos multiplicadores de Lagrange considere a seguinte situação Suponha que dois pontos genéricos P1 x1y1z1 e P2 x2y2z2 pertençam à superfície dada pela equação z x² 1 e que estão mais próximos da origem 000 Considere a distância destes pontos à origem dada pela função xyz x² y² z² e a restrição deste problema dada por gxyz z² xy Diante das informações apresentadas assinale a alternativa que corresponde às coordenadas destes pontos P1 e P2 a P1101 e P2101 b P1100 e P2100 c P1001 e P2010 d P1001 e P2001 e P1110 e P2110 QUESTÃO 18 Através da Geometria podese calcular áreas de polígonos e do círculo Esse conhecimento pode ser utilizado para o cálculo de áreas de regiões que possam ser divididas em um número finito de regiões poligonais ou setores circulares Quando a região não pode ser decomposta assim podemos aproximar no conhecido set de áreas o cálculo de sua área Assim algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas como exemplo as regiões existentes sob uma curva ou as regiões entre duas curvas Para tais situações utilizamsese os cálculos envolvendo a Integral Definida Considerando o texto analise a seguinte situação Lucas reformou a área de lazer de seu sítio Modificou o formato da piscina e a delineou em um formato parecido com uma folha A piscina é a região limitada pelas curvas y x² e y x 6 Marque a alternativa que apresenta o valor da área da piscina a 1256 ua b 1106 ua c 1056 ua d 953 ua e 773 ua QUESTÃO 19 O cálculo de uma integral dupla quando realizado pela definição ou considerando fxy dA fxiyj A i1 j1 em que xi e yj são pontos médios dos intervalos xi1 xi e yj1 yj respectivamente nem sempre é trivial No entanto ao expressar uma integral dupla como uma integral iterada é possível facilitar a resolução podendo fazêla unidimensionalmente Então se f for uma função contínua em um retângulo R xy a x b e c y d segundo o Teorema de Fubini a integral fxy dA pode ser reescrita como fxy dydx ou fxy dxdy Com base nessas informações podese afirmar que R xy 1 x 2 e 1 y 3 será dado R QUESTÃO 20 Considere uma curva fechada C com orientação positiva e contínua por partes e D sendo uma regi A 45 B 65 C 5 D 55 E 6 16 E 18 A 19 C 20 A 21 D 22 B 23 A 24 B 25 D 26 B 27 b 28 E 29 A Falta 17 e 30