Lista de Trigonometria

77 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 01 Determine o comprimento e a medida em graus dos arcos em destaque Use π 314 a b c 02 Expresse em radianos a medida de cada arco a AB 125 b CD 54536 c EF 15 d GH 90 03 Expresse em graus a medida de cada arco a AB π 3 b CD π 4 c EF 893 1800 π d GH π 6 04 Observe a imagem em que OP 2 cm e α π 6 Use π 314 Determine o comprimento a da circunferência b do arco AP c do arco AB 05 Qual é a 1ª determinação positiva dos arcos abaixo a 5π 2 b 900 c 2 520 06 Para cada medida de arco a seguir determine o arco congruente à 1ª determinação positiva a expressão geral da medida dos arcos côngruos a ele a 405 b 28π 3 c 34π 6 d 3600 78 07 Sendo a soma das medidas dos arcos AB e CD igual a 8 6 π e a medida de AB igual ao triplo da medida de CD mais 5 determine a medida dos arcos AB e CD em radianos 08 Observe a imagem Sabendo que o comprimento de C1 é igual a 6π cm e que o comprimento de C2 é 5 3 do comprimento de C1 determine o comprimento do arco ACB 09 Determine a expressão geral em radianos das medidas dos arcos de extremidades indicadas pelos pontos considerando a origem em A e o sentido antihorário a b c 10 O retângulo ABCD é áureo pois a razão entre os comprimentos de seus lados não congruentes é aproximadamente 1618 ou seja AD AB 1618 Esse retângulo está dividido em quadrados cujos comprimentos dos lados seguem a sequência de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 e 13 Com o centro no vértice de cada quadrado são traçados arcos de circunferência formando uma espiral conforme a figura Calcule o comprimento dessa espiral de C até L 11 Em uma pista como a representada a seguir quatro atletas vão disputar uma prova de corrida de curta distância Nesta imagem A B C e D representam as posições de largada de cada atleta Explique por que as posições de largada não estão alinhadas lado a lado 79 12 A flor representada ao lado será confeccionada em arame Quantos metros de arame no mínimo serão necessários para confeccionála sabendo que suas pétalas serão do mesmo tamanho 13 UFRGSRS Qual é a expressão geral em radianos dos arcos com extremidades nos pontos indicados k ℤ a 3π 4 2kπ b 3π 4 kπ c 3π 4 kπ 2 d π 4 kπ RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO COSSENO E TANGENTE 14 Em cada item verifique se o valor do cosseno é positivo ou negativo para o arco indicado a 3 120 b 37π 6 c 1 665 d 25π 4 15 Identifique a qual quadrante pertence α em cada caso a seguir a sin α 0 cos α 0 c cos α 0 tan α 0 e sin α 0 tan α 1 b sin α 0 tan α 1 d sin α 0 cos α 0 f cos α 0 tan α 0 16 Determine o valor do seno do cosseno e da tangente para os arcos a seguir a 13π 6 c 7π 4 e 4π 3 b 1 620 d 4 050 f 19π 6 17 Conhecendo o valor de sin α calcule cos α e tan α nos itens abaixo a sin α 3 5 com π α 3π 2 b sin α 12 15 com π 2 α π c sin α 5 13 com 3π 2 α 2π 18 Determine o valor de A em cada expressão a A sin 2x cos x 2 sin 5x cos 4x tan 3x para x 60 b A sin 4x cos 5x sin x sin 6x cos 2x tan 3x sin 2x para x 45 80 19 EsPCExSP O valor de cos 165 sin 155 cos 145 sin 25 cos 35 cos 15 é a 2 b 1 c 0 d 1 e 1 2 20 Determine o sinal de a sin 390 c cos 9π 12 e tan600 b sin 7π 6 d cos150 f tan 8π 3 21 Escreva os quadrantes em que se encontra a extremidade do arco de ângulo central α tal que a sin α 2 3 b cos α 1 3 c tan α 12 d sin α 3 2 22 Calcule os valores de seno cosseno e tangente indicados nos itens fazendo a redução ao 1º quadrante Dados sin 72 09511 cos 41 07547 tan 15 02679 a sin 7π 5 b cos 581 c tan 35π 12 23 Determine o valor de x a sin x 3 2 para x π 2 π d tan x 3 3 para x 3π 2 2π b cos x 3 2 para x 0 2π e tan x 3 para x π 2 3π 2 c cos x 2 2 para x 0 2π 24 Resolva as expressões a tan 510 sin 405 cos 780 3 tan 585 tan 750 b sin 17π 6 cos 11π 3 cos 25π 6 sin 10π 3 tan 13π 3 cos 35π 6 tan 13π 4 4 25 Use os valores notáveis do seno e calcule a sin 37π 6 c sin 6π e sin 630 b sin 225 d sin 19π 4 f sin π 3 26 Calculem os possíveis valores reais de x em a sin x 1 b sin x 2 2 c sin x 1 2 d sin x 0 81 27 Calcule a sin 150 c sin 240 e sin 315 cos 315 b cos 150 d cos 240 28 Qual é o número real expresso por a sin 360 sin 540 4 sin 1170 b cos 810 4 cos 3780 1 2 cos 1350 29 Simplifique as expressões a sin9π α sin5π α b sin4π α cos8π α sin270 α b sinα 900 cosα 540 30 Sabendo que α π 2 rad calcule A sin π 2 3 sin 2α sin 3α 4 31 Seja a sequência definida por an n π 2 π 6 com n ℕ em que an expressa ângulos em radianos Calcule o valor de cos a6 32 Calcule o valor de cada expressão seguinte a y cos 90 cos 180 cos 60 cos 0 cos 90 b y cos π 4 cos π 2 cos π cos π 6 33 Classifique como verdadeiras V ou falsas F as afirmações seguintes e CORRIJA AS FALSAS a cos 90 cos 30 cos 60 c cos 2 cos 1 e cos 6 0 b sin π 3 2 cos π 3 2 1 d cos 100 sin 100 0 f Existe um número real x tal que cos x 2 34 Sabendo que sin2 α 4 9 α 0 2π obtenha o valor de cos α 35 Sabendo que sin x 3 cos x com π 2 x π obtenha o valor de y sin x cos x 36 Calcule o valor de use os valores notáveis redução ao 1º quadrante e arcos côngruos a tan 180 e tan 45 i tan 3π 4 b tan 0 f tan 60 j tan 4π 3 c tan 30 g tan 210 k tan 5π 6 d tan 90 h tan 300 l tan 5π 6 82 37 Dê o sinal de a tan 200 b tan 310 c tan 4 d tan 2 e tan 1 38 Classifique como verdadeiras V ou falsas F as afirmações seguintes a tan 100 tan 105 b tan 20 tan 25 c Existem dois números reais no intervalo 0 2π cuja tangente vale 3 d tan 80 sin 80 e tan 250 0 f tan 2π não existe 39 Sabendo que sin x 1 3 e x π 2 π determine o valor de tan x 40 Se 3π 2 x 2π e cos x 02 qual é o valor de tan x 41 Se x π 2 π e tan x 4 obtenha o valor de a sin x b cos x 42 Considerando tan 58 8 5 determine o valor de a sin 58 b sin 32 c tan 302 d tan 122 43 Determine x nos seguintes casos com x ℝ a tan x 3 b tan x 1 44 Determine o valor de tan 1935 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS COTANGENTE SECANTE E COSSECANTE 45 Determine o sinal de cot 882 46 Sendo cos x 041 calcule sin x tan x e cot x 47 Dê todos os valores de x no intervalo 2π x 2π para os quais se tem cot x 1 48 Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que cot x 3 49 Sendo sin x 3 10 calcule cos x tan x e cot x 83 50 Sendo cos x 080 calcule sin x tan x e cot x 51 Sendo tan x 5 2 calcule cot x sin x e cos x 52 Sendo cot x 060 calcule tan x csc x sin x cos x e sec x 53 Sendo secx tan x a a 0 calcule sin x 54 Dado sin 060 calcule as demais razões trigonométricas de x 55 Dado tan x 7 3 calcule as demais razões trigonométricas de x 56 Dado sec x 5 2 calcule as demais razões trigonométricas de x 57 Dado sec x t2 1 t 0 calcule as demais razões trigonométricas de x 58 Sendo csc x m calcule tan x FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 59 Sejam as funções f ℝ ℝ definida por fx sin x g ℝ ℝ definida por gx cos x h ℝ π 2 kπ k ℤ ℝ definida por hx tan x Determine a f π 3 c f π 2 g π 3 e h 4π 3 b gπ d f π 6 g π 4 f g 3π 2 h 5π 6 60 Sejam f 0 2π ℝ definida por fx sin x e g 0 2πfx sin x definida por gx cos x Observe a representação gráfica dessas funções Determine para quais valores de x as funções f e g assumem valores iguais 84 61 Em cada item determine o maior subconjunto A 0 2π tal que a lei de formação apresentada defina uma função de A em ℝ a fx sin x b gx 1 cos x 62 Esboce o gráfico das funções a seguir a f 7π 2 5π ℝ definida por fx sin x b g 15π 2 5π 2 ℝ definida por gx cos x c h π 2 3π 2 ℝ definida por hx tan x 63 Representando os gráficos de f ℝ ℝ e g ℝ ℝ em um mesmo sistema de coordenadas obtemos apenas um ponto de intersecção Sabendo que fx sin x identifique g entre as alternativas a seguir a gx cos x b gx x 1 c gx x2 d gx sin x cos x 64 MackenzieSP O maior valor que o número real descrito abaixo pode assumir é 10 2 sin x 3 a 20 3 b 7 3 c 10 d 6 e 20 7 65 Considere as funções f ℝ ℝ dada por fx 3 5 sin2x g ℝ ℝ dada por gx 4 cos3x π e h D ℝ com D x ℝ x π 2 kπ k ℤ dada por hx 2 1 2 tan x Determine a f π 4 c h π 4 e período de f b g π 3 d período de h f período de g 66 Determine o período e a imagem das funções definidas de ℝ em ℝ dadas suas leis de formação a qx 5 sin x π 3 b rx 3 cos 2πx π 4 c sx 4 2 sin 3 2 x π 67 Esboce o gráfico de cada função definida de ℝ em ℝ dada sua lei de formação Em seguida compare as representações com os gráficos das funções reais sin x ou cos x para descrever as alterações provocadas em relação aos gráficos dessas funções a qx cos2x b rx 3 cos x π 2 c sx 2 2 sin 1 2 x 85 68 Identifique e relacione cada gráfico à sua respectiva lei de formação Para isso escreva a letra e o símbolo correspondentes a fx 4 2 sin 1 2 x c hx 2 1 3 tanx b gx 4 sin x π 2 d mx 1 3 tan x π 3 I III II IV 69 Sabendo que as funções f e g a seguir estão definidas de ℝ em ℝ determine os valores das constantes a b c e d com a d ℝ b ℝ e c ℝ de modo que o gráfico seja o apresentado em cada figura Em seguida escreva a lei de formação de cada função a fx a b sincx d b gx a b coscx d 70 Calcule o valor máximo das funções definidas de ℝ em ℝ dadas suas leis de formação a fx 8 19 cos2x 5 b gx 1 4 sin π 2 x 3 86 71 No dia 28 de setembro de 2015 uma equipe de estudiosos modelou aproximadamente as marés do Porto de Cabedelo na Paraíba pela função h 0 24 ℝ definida por ht 13 14 cos π 6 t 41π 60 em que h representa a altura da maré em metros e t o tempo em horas Sabendo que as marés alta e baixa ocorrem duas vezes ao dia resolva o que se pede a Qual foi a altura máxima que as marés atingiram nesse dia E a altura mínima b Qual é o período dessa função c Esboce o gráfico da função h apresentada no enunciado 72 UFPR O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro como ilustra a figura Suponha que em um instante t em segundos a altura ht do pistão em centímetros possa ser descrita pela expressão ht 4 sin 2πt 005 4 a Determine a altura máxima e a mínima que o pistão atinge b Quantos ciclos completos esse pistão realiza funcionando durante um minuto 73 Considere as funções de ℝ em ℝ definidas por fx 2 sin x 4 e gx 2 cos x 2 e calcule a f0 f4π g0e g4π b fπ gπ c f6π g2π d f2π g8π 74 UnespSP Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peça Sabese que o custo de produção Cx e o valor de venda Vx são dados aproximadamente em milhares de reais respectivamente pelas funções C e V dadas por Cx 2 cos πx 6 e Vx 32 sin πx 12 0 x 6 O lucro em reais obtido na produção de três dezenas de peças é a 500 b 750 c 1 000 d 2 000 e 3 000 75 Esboce o gráfico obtenha o conjunto imagem e o período da função definida por a fx 1 sin 2x c mx 4 sin 2x π 2 e qx 2 cos x 2 π 4 b nx 3 cos x π 6 d gx 1 2 sin x 4 π 76 Considere a representação gráfica da função f definida por fx a sin bx com 0 x π e b 0 Quais são os valores de a e b 87 77 De acordo com a representação gráfica da função f definida por fx a cos bx com 0 x 3π e b 0 determine o valor de a b 78 Obtenha o domínio o conjunto imagem e o período da função definida por a gx 2 sinx π c mx 1 3 sin x 2 π 2 b hx 1 3 cos x 4π 3 d qx 3 2 2 cos x 2 7π 6 79 O deslocamento horizontal de um pêndulo é dado pela função f definida por ft a sin bt em que ft é expresso em centímetros t em segundos e a e b são constantes Sabendo que para certo pêndulo ft 7 sin 3πt determine o conjunto imagem de f e o período de seu movimento 80 A tensão em volts de um circuito elétrico é dada por Ut a sin bt em que a e b são constantes e t é o tempo em segundos Em certo circuito elétrico a tensão é dada por Ut 53 sin 30πt Determine o conjunto imagem de U e o período da tensão desse circuito 81 Determine os valores de m para que a função a dada fx 2m 5 sin 2x m π 3 tenha período 5π b dada por gx 3m 2 cos x m π 5 tenha período 3π 82 Para determinada maré a altura h medida em metros acima do nível médio do mar é definida aproximadamente por ht 8 4 sin π 12 t em que t é o tempo medido em horas Com base nas informações determine o período de variação da altura da maré 83 FGVSP No mês de abril o mercado financeiro viveu uma certa instabilidade e o preço de determinada ação oscilou de tal maneira que ele poderia ser descrito pela função periódica fx 450 sin2πx em que fx é o preço da ação x 0 representa o 1º dia útil de abril x 1 4 o 2º dia útil x 1 2 o 3º dia útil e assim por diante a Esboce o gráfico da função fx correspondente aos primeiros 5 dias úteis de abril b Considerando que o dia 1º de abril foi segundafeira determine em que dias da 1ª semana útil de abril o preço dessa ação atingiu o maior e o menor valor c Quais foram o maior e o menor valor dessa ação na 1ª semana útil de abril 88 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 84 Seja sin x 2 5 com 3π 2 x 2π Calcule a cos x b tan x c csc x d sec x e cot x 85 Sendo 5 cos x 3 com π x 3π 2 determine o valor de sin x 86 Uma rampa com inclinação de θ deverá ser construída em uma escola para resolver um problema de desnível de 4 m Qual será o comprimento dessa rampa Dado tan θ 2 5 87 Calcule o valor da expressão csc x sin x sec x sin x sabendo que cot x 5 2 e 0 x π 2 88 Sabendo que sin x 7 11 determine o valor da expressão csc2 x cot2 x cos2 x sec x tan xsecx tan x 89 Durante um voo o avião de um praticante de aeromodelismo se encontrava conforme representado na imagem Dados csc 20 292 e sec 20 106 a Qual é a altura aproximada do avião depois de percorrer 5 m na direção indicada b Calcule a distância horizontal aproximada atingida pelo avião depois de ter percorrido 8 m na direção e posição indicadas 90 Seja cos x 2 3 e 3π 2 x 2π Calcule o valor de sin2 x 2 1 91 Simplifique as expressões a sin2 x sin2 x 1 sin2 x cos2 x b csc2 x sec x cot x tan x c sin x 1 cos x 1 cos x sin x csc x 92 Escrevendo a expressão sec2 x 1 1 cot2 x em função de A com tan x sin x A obtemos a A b 1 A c 2A d A2 e A 89 93 Simplificando a expressão 1 sec2 x sin2 x obtémse a sin2 x b cos2 x c sec2 x d csc x e cot x 94 Determine cot x sabendo que csc x 23 3 e x é um arco do 1º quadrante 95 Se a sin2 x e b 2 sin x então a2 b2 1 equivale a a sin2 x b sin4 x c cos2 x d cos4 x e 1 96 Demonstre que a cos x 1 tan x sen x1 cot x 0 b sin2 x 1 cos x 1 cos x c cos2 x sin2 x 1 tan x 1 tan x sec2 x 97 Mostre que a tan2 x cos2 x sec2 x sin2 x b sec2 x csc2 x tan x cot xtan x cot x 98 Demonstre que a tan x 1 tan2 x sin x sec x b cos a sin acsc a sec a 2 sec a csc a 99 Simplifique as expressões a y sec x cossec x 1 cotg x b y sec x cos xcsc x sen xtg x cotg x 100 Determine o valor de A cotg x 1 cossec x sec x dado cos x 1 2 90 101 Demonstrem as seguintes identidades trigonométricas a cos x tan x csc x 1 d tan x sin x2 1 cos x2 sec x 12 b tan2 x csc2 x 1 tan2 x e csc2 x tan x cot x sec2 x c tan x 11 tan x 2 sec2 x f sec2 x csc2 x sec2 x csc2 x 102 Se fx sin x tan x cot x csc x e gx sin x tan x prove que fx gx 103 Se P 1 1 sin2x 1 1 cos2x 1 1 sec2x 1 1 cossec2x demonstre que P 2