MATEMATICA MODULO 1 EM CESEC pdf

Matemática Ensino Médio Módulo I Governador do Estado de Minas Gerais Romeu Zema Neto Vicegovernador do Estado de Minas Gerais Mateus Simões de Almeida Secretário de Estado de Educação Igor de Alvarenga Oliveira Icassatti Rojas Secretária Adjunta Fernanda de Siqueira Neves Subsecretária de Desenvolvimento da Educação Básica Kellen Silva Senra Superintendência de Políticas Pedagógicas Rosely Lúcia de Lima Diretoria de Modalidades de ensino e Temáticas Especiais Fabiana Benchetrit dos Santos Coordenação da Educação de Jovens e Adultos Denise Jacqueline Silva Oliveira Superintendente da Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores Graziela Santos Trindade Diretora da Coordenadoria de Ensino da EFE Janeth Cilene Betônico da Silva Elaboração e construção Professores Formadores da Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores Revisão Equipe Pedagógica e Professores Formadores da Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores Supervisão Juliano Alves Andrade Silene Gelmini Araújo Veloso Prezado Estudante Você está recebendo o Plano de Estudos de COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO I Nele você encontrará conteúdos e propostas didáticas que o ajudarão a desenvolver habilidades fundamentais para o prosseguimento ou conclusão de seus estudos O material foi elaborado considerando o seu perfil trajetória de vida interesses objetivos e necessidades Neste Plano de Estudos você encontrará uma diversidade de textos imagens vídeos músicas questões exercícios e outras propostas pedagógicas que foram elaboradas pensando em favorecer o seu processo de aprendizagem Você deverá desenvolver as atividades didáticas aqui propostas a partir dos suportes disponibilizados neste material e no Google Classroom Porém para o esclarecimento de qualquer dúvida ou para uma assessoria mais personalizada para a compreensão de conceitos ou realização das questões você pode contar com a orientação de estudos feita pelo professor orientador da aprendizagem do CESEC em que você está matriculado Desejamos que seus objetivos possam ser alcançados e que você continue em seu percurso escolar com sucesso Secretaria de Estado da Educação de Minas Gerais SUMÁRIO TEMA DE ESTUDO Geometria e Medidas 05 TEMA DE ESTUDO Números e Álgebra 11 TEMA DE ESTUDO Números e Álgebra 29 TEMA DE ESTUDO Probabilidade e estatística 37 REFERÊNCIAS 41 5 CESEC MODULO NÚMERO I DE ESTUDO CESEC Referência Ensino Médio Ano Letivo 2025 Área de Conhecimento Matemática e suas Tecnologias Componente Curricular Matemática PLANO DE ESTUDOS Habilidades EM13MAT313 Utilizar quando necessário a notação científica para expressar uma medida compreendendo as noções de algarismos significativos e algarismos duvidosos e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro Unidade Temática Geometria e Medidas Objetos de Conhecimento Notação científica Olá estudante Neste caderno vamos falar sobre Notação Científica Uma forma prática de escrever números muito grandes ou muito pequenos facilitando a compreensão e o cálculo Estudo e Construção no plano cartesiano Vamos praticar a interpretação e criação de pontos no plano cartesiano Funções Polinomiais de Primeiro Grau e Segundo Grau Estudaremos como diferenciar equações simples de primeiro e segundo graus e entender a relação entre duas variáveis Funções Afins e funções do Segundo Grau Exploraremos esses tipos de funções e como interpretar seus gráficos Funções exponenciais e Logarítmicas Exploraremos como as funções exponenciais e logarítmicas se comportam em diferentes intervalos numéricos Noções de probabilidade Estudo da chance de ocorrência de eventos utilizando conceitos como espaço amostral eventos e a fórmula de probabilidade para calcular a frequência esperada de eventos em situações incertas 6 CESEC Queremos que vocês se dediquem aos estudos com entusiasmo e confiança pois cada conhecimento adquirido será um passo importante rumo ao sucesso da vida de vocês Estamos aqui para ajudálos em cada etapa desse processo por isso criamos com muito carinho este material de apoio Vamos juntos em mais uma jornada de aprendizado e crescimento A Notação Científica é uma forma simples e eficiente de representar números muito grandes ou muito pequenos usando potências de 10 Ela ajuda a expressar medidas de maneira mais prática destacando os algarismos significativos e aqueles que podem gerar dúvida pois toda medida tem um certo nível de erro Vamos começar compreendendo o que é a notação científica Essa notação é usada para simplificar a escrita de números com muitos algarismos O formato geral é N x 10n onde N é um número entre 1 e 9999 o termo dígito e 10n é o termo exponencial que indica quantas vezes o número é multiplicado ou dividido por 10 Por exemplo o número 378 pode ser escrito como 378 x 102 em notação científica ou seja 378 multiplicado por duas vezes 10 Se o número for maior que 1 o expoente será positivo Já para números menores que 1 o processo é de divisão por 10 até se chegar ao formato N x 10n com o expoente sendo negativo Por exemplo 0025 é escrito como 25 x 102 pois o número 25 foi dividido duas vezes por 10 para alcançar 0025 Para números menores que 1 o expoente sempre será negativo Imagem Potências de base 10 Fonte Ribeiro Júnior 2024 7 CESEC EXEMPLOS a 2000000 2 106 b 200 000 000 2 108 c 200 000 000 000 000 000 2 1017 d 1 200 000 000 000 12 1012 e 002 2 102 f 0002 2 103 g 0000 000 002 2 109 h 000000000000000000016 16 1019 Imagina ter que calcular 50000000000 50 bilhões x 00005 As calculadoras simples não teriam como registrar o número 50000000000 pois elas normalmente registram somente até 8 dígitos Fazendo esse cálculo com tantos zeros correríamos o risco de errarmos em algum Usar potências de base 10 para expressar esses números ajuda a não cometer tantos erros Então vamos lá 5000000000050 bilhões x 00005 5 x 1010 x 5 x 104 5 x 5 x 1010 x 104 25 x 10104 25 x 106 25 x 1 000 000 25 000 000 Note que as operações envolvidas são muito mais simples Efetuar 5 x 5 e 10 4 é bem mais fácil do que 50000000000 x 00005 8 CESEC Portanto a Notação Científica é muito importante para os cálculos com valores extremamente grandes ou pequenos Para saber mais acesse O que é Notação científica Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvEFYYKpy3Qwg Para uma melhor apropriação desses conceitos vamos praticar ATIVIDADES 1 Escreva os números em notação científica 1 85 700 5 13 000 000 2 945 000 000 000 6 1 080 000 000 3 000079 7 000000000013 4 00000002 8 0000000005 2 Observe a figura abaixo e responda Imagem Distância aproximada da Terra Fonte Brainly 2024 A distância entre a Terra e o Sol é de 149600000 km escrever esta distância na forma de notação científica seria escrever como de qual das opções a seguir 9 CESEC A 1496 x 108 B 1496 x 108 C 1496 x 108 D 1496 x 108 3 Você já notou que alguns números são muito grandes como por exemplo a população mundial representada por 7 800 000 000 78 bilhões de pessoas já outros são muito pequenos como o tamanho de uma célula animal que mede 000002 m 20 micrômetros Desta forma utilizamos a notação científica que é uma maneira de representar esses números de uma forma mais simples tendo em vista que a notação científica utiliza a potência de base 10 para diminuir a quantidade de algarismos desses números Agora responda as perguntas que seguem A O que você acha mais fácil escrever 7 800 000 000 ou 78 bilhões E qual você acha mais fácil escrever 000002 m ou 20 micrômetros Agora quando falamos 78 bilhões ou 20 micrômetros você compreende bem essas grandezas B Represente esses dois números na forma de notação científica 4 Qual número é maior 2145 1036 ou 78942 1029 5 Causada pelo novo coronavírus SARSCoV2 o Brasil viveu a pandemia nos anos de 2020 e 2021 conhecida como Covid 19 Existem vários tipos de vírus que podem ter estrutura e tamanhos diferentes porém no geral são seres minúsculos invisíveis a olho nu e que se espalham rapidamente O comprimento típico de um vírus é de 0000001 centímetros de diâmetro aproximadamente Escrito em notação científica corresponde a A 1 x 107 cm B 1 x 106 cm C 1 x 105 cm D 1 x 104 cm 10 CESEC FOLHA PARA CÁLCULOS 11 CESEC PLANO DE ESTUDOS Habilidades EM13MAT302A Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus para resolver problemas em contextos diversos com ou sem apoio de tecnologias digitais EM13MAT401 Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra EM13MAT502 Investigar relações entre números expressos em tabelas para representálos no plano cartesiano identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y ax² Unidade Temática Números e Álgebra Objetos de Conhecimento Plano cartesiano Expressão algébrica Função polinomial de primeiro e segundo graus Funções afins e funções de segundo graus Para o desenvolvimento destas habilidades vamos rever informações importantes expressões algébricas e o Plano Cartesiano Assim daremos sustentação para o aprendizado em funções que é o foco das habilidades propostas para este tópico Um breve e importante resumo A linguagem algébrica é aquela que usa letras símbolos e números para expressar de forma clara e objetiva operações matemáticas Expressões Algébricas é uma expressão matemática composta por números letras operações e sinais indicativos de prioridade Exemplos 3x2 2x 10 4ab 3a4 b Termo algébrico é um produto de números e letras ou de letras somente Por exemplo na expressão 4ab 3a4 b os termos são 4ab 3a4 e b 12 CESEC Cada termo algébrico é formado por um coeficiente número e uma parte literal letras Cada letra da parte literal é chamada variável Por exemplo na mesma expressão citada 4ab 3a4 b temos TERMOS COEFICIENTE PARTE LITERAL VARIÁVEL 4ab 4 ab a e b 3a4 3 a4 a b 1 b b Valor numérico de uma expressão algébrica Dada uma expressão algébrica substituindo cada variável por um número obtemos uma expressão numérica e ao calcular seu valor calculamos o valor numérico da expressão algébrica Para evitar desordem entre operações recomendamos que a substituição de cada variável pelo valor numérico seja feita entre parênteses Exemplos 1 2m2 5m 3 para m 2 2 a2b a3 b2 para a 1 e b 2 222 52 3 122 13 22 24 52 3 12 1 4 8 10 3 1 2 1 4 7 3 2x 3 para x 1 4 3x2 2x 4 para x 1 21 3 312 21 4 2 3 5 3 2 4 5 Podemos também problematizar as expressões algébricas por exemplo perguntando qual é o quadrado de um número subtraído de 16 Para resolvermos basta considerar que x seja a variável que estamos procurando x2 16 Daí podemos atribuir qualquer valor a x O uso de expressões algébricas é muito comum para entendermos o comportamento matemático de variáveis e para descrever fórmulas de outros componentes curriculares como Física Química e da própria Matemática sendo bastante comum no estudo da geometria analítica funções polinômios e equações 13 CESEC Agora vamos rever equações e seguir para as funções Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade que é a que permite encontrar os resultados da equação Segue quadro para exemplificar e diferenciar expressão de equação Expressão algébrica Equação 3x 2 3x 2 0 2x 1 2x 1 7 As equações foram criadas para auxiliar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número ou variável não é conhecido As equações do 1º grau podem apresentar duas incógnitas ou variáveis e que são representadas pela expressão ax by c onde a e b são diferentes de 0 e c assume qualquer valor real Uma forma muito usual de apresentar uma equação de 1º grau com duas variáveis ou incógnitas é ax by 0 com a 0 b 0 Para representar uma equação de 1º grau com duas variáveis uma boa solução é usar o plano cartesiano Por isso vamos relembrálo Imagem Plano cartesiano Fonte Blogspot 2013 14 CESEC As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados x y Em razão dessa ordem devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y Qualquer ponto que não se encontre sobre os eixos estará localizado nos quadrantes Observe a figura abaixo Imagem Coordenadas Cartesianas Fonte Ribeiro 2024 15 CESEC O ponto A 00 é a origem do plano cartesiano Os pontos B C H I e J não estão localizados nos eixos e sim nos quadrantes 1º Quadrante B 42 2º Quadrante H 4 4 3º Quadrante I 3 3 e C 1 1 4º Quadrante J 2 2 Os pontos D 6 0 E 0 4 F 3 0 e G 0 5 estão localizados nos eixos D e F no eixo das abscissas eixo X e os pontos E e G no eixo das ordenadas eixo Y Após relembrarmos o plano cartesiano vamos praticar a construção das soluções das equações lineares por meio de tabelas e gráficos Exemplo Represente em uma tabela algumas soluções que satisfaçam a equação x y 2 e depois represente os pares ordenados no plano cartesiano Imagem Representação gráfica de uma função Fonte Minas Gerais 2022 Saiba mais sobre Representação Gráfica de uma Equação do 1º grau com duas Incógnitas Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvzvX9gCd19bot116s 16 CESEC Equação do segundo grau A equação do 2o grau também chamada de equação quadrática é do tipo ax2 bx c 0 sendo a b e c números reais e a Þ 0 Esta é sua forma padrão Mas às vezes à primeira vista uma equação quadrática não aparenta ter essa forma Vejamos alguns exemplos Como resolver uma equação quadrática Embora existam outras maneiras de encontrar soluções e você já tenha aprendido anteriormente vamos recordar aqui a fórmula quadrática especial chamada também de fórmula de Bhaskara Com ela basta substituir os valores de a b c e fazer os cálculos para encontrar as soluções da equação que é a mesma coisa que Agora que revisamos expressões algébricas equações de primeiro grau e segundo grau vamos aprofundar nosso conhecimento sobre funções polinomiais de 1º e 2º graus 17 CESEC Uma função é chamada de função polinomial quando sua lei de formação é um polinômio As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau do polinômio que as define Por exemplo se o polinômio que descreve a lei de formação da função for de grau dois dizemos que essa é uma função polinomial do segundo grau Exemplos de Polinômios Polinômio de 1º grau 2𝑥3 Polinômio de 2º grau 𝑥24𝑥4 Polinômio de 3º grau 𝑥33𝑥22𝑥1 Polinômio de 4º grau 𝑥42𝑥3𝑥25𝑥6 e assim por diante Para calcular o valor numérico de uma função polinomial basta substituir a variável pelo valor desejado transformando o polinômio em uma expressão numérica No estudo dessas funções é comum a representação gráfica no plano cartesiano A função polinomial do 1º grau tem sempre um gráfico em forma de reta Representação gráfica da função fx2x 2 Imagem Representação gráfica da função fx2x 2 Fonte Ribeiro 2024 Na representação gráfica de uma função do 2º grau possui um gráfico em forma de parábola Representação gráfica da função fx x2 4x 5 18 CESEC Imagem Representação gráfica da função fx x2 4x 5 Fonte Ribeiro 2024 Uma função do 1 grau é descrita pela lei fxaxb em que a e b são constantes reais e a variável x é real Se b 0 então a função é descrita pela lei fxax e é chamada de função linear Portanto a função linear é um caso específico de função do 1 grau com duas incógnitas e é representada graficamente por uma reta no plano cartesiano Então uma função f R R é conhecida como função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio que obedece a definição fx anxn an1xn1 an2xn2 a2x2 a1x a0 Em que x é a variável n é um número natural an an1 an2 a2 a1 e a0 são coeficientes Os coeficientes são números reais que acompanham a variável do polinômio Exemplos fx x5 4x4 7x3 5x² x 9 fx 19x³ 2x 7 fx x3 19 CESEC Expressão Algébrica Equação Função 5x 8 5x 8 0 fx 5x 8 Observando o quadro acima observamos que uma equação possui números desconhecidos números conhecidos e uma igualdade Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto numérico a um único elemento de outro conjunto numérico Essa regra é justamente uma expressão algébrica representada de maneira parecida com as equações A representação gráfica da função f é o conjunto de pares ordenados que satisfazem y f x De uma forma resumida temos Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y de maneira que para cada valor de x há um único valor de y correspondente que é chamado de imagem do elemento x Como o valor de y é dependente do valor de x se diz que y é uma variável dependente e x uma variável independente Uma variável y pode também ser representada por fx ou seja y fx sendo x a variável independente e y a variável dependente O símbolo fx deve ser lido como f de x Neste caso a função f é que relaciona as duas variáveis Um exemplo a função y 150 25x também pode ser escrita como fx 150 25x Para o estudo das funções de segundo grau dizemos que uma função definida para todo número real é de 2o grau ou quadrática quando puder ser escrita na forma fx ax2 bx c com a b c R e a 0 Nessa função destacase o termo quadrático ax2 o termo linear bx e o termo independente c A representação gráfica da função quadrática é uma parábola A parábola é uma curva que admite um eixo de simetria conforme indicado na figura a seguir 20 CESEC Imagem Representação da parábola Fonte Ribeiro 2024 Características importantes da parábola Uma parábola tem concavidade para cima a 0 ou para baixo a 0 Toda parábola tem um ponto de máximo ou de mínimo chamado vértice ponto de simetria da parábola O ponto será mínimo quando a concavidade estiver voltada para cima e máximo quando a concavidade estiver voltada para baixo Imagem Máximo e Mínimo Fonte Minas Gerais 2022 Na vida real encontramos a representação gráfica da função quadrática em diversas construções arquitetônicas e de engenharia Vejamos alguns exemplos Vamos analisar uma foto de uma construção bem conhecida no Brasil e em Minas Gerais a Igreja de São Francisco de Assis popularmente chamada de a Igrejinha da Pampulha Esta obraprima projetada por Oscar Niemeyer 21 CESEC é famosa por suas formas curvas e linhas elegantes Ao observar a estrutura da igreja podemos identificar como a forma de algumas de suas partes como a cobertura e os arcos pode ser descrita por equações do segundo grau As curvas hiperbólicas e parabolóides presentes na arquitetura são exemplos de como as equações quadráticas podem modelar e representar formas complexas em construções Essa análise nos permite compreender a aplicação prática da matemática na arquitetura revelando como conceitos teóricos ganham vida em projetos reais e icônicos Imagem Representação parábola Fonte Minas Gerais 2023 Na engenharia as formas dos cabos de uma ponte de suspensão identificamse com uma parábola Foi Galileu 15641642 o primeiro a estudar a física e a matemática das pontes Os cabos de uma ponte de suspensão assumem a forma de uma parábola Fonte Minas Gerais 2023 22 CESEC Fonte Minas Gerais 2023 Agora observe no quadro abaixo os pontos do gráfico da função quadrática fx ax2 bx c que interceptam o eixo x e entenda como eles se relacionam com as soluções da equação quadrática ax2 bx c 0 Fonte Minas Gerais 2023 Para apropriação desses conceitos vamos praticar ATIVIDADES 1 Complete a tabela a seguir conforme o modelo fornecido utilizando a variável representada por x Em cada exemplo calcule o valor das expressões correspondentes considerando que x tem o valor de 2 23 CESEC LINGUAGEM USUAL EXPRESSÃO ALGÉBRICA VALOR NUMÉRICO QUANDO x 2 O dobro de um número 2x 4 O triplo de um número mais cinco 3x 5 11 Um número menos quatro O quadrado de um número menos um O triplo de um número O triplo de um número menos dois A metade de um número A metade de um número mais sete A soma de um número com o seu triplo A diferença de um número e a sua terça parte A diferença de três números consecutivos 24 CESEC O quíntuplo de um número mais vinte resulta 30 O quadrado da soma de dois números O triplo da soma de um número com cinco O quadrado de um número mais um A décima parte de um número O produto da soma pela diferença dois termos A diferença entre o dobro e a metade do número O quadrado da diferença dos dois termos O cubo da soma de dois termos 2 Enem 2022 Uma moça estacionou seu carro na interseção da Rua 1 com a Avenida A Ela está hospedada em um hotel na Rua 3 posicionado a exatos 40 metros de distância da Avenida A contados a partir da Avenida A em direção à Avenida B No mapa está representado um plano cartesiano cujo 25 CESEC eixo das abscissas coincide com a Avenida A e o das ordenadas com a Rua 1 sendo a origem 0 0 o local onde se encontra estacionado o veículo Os quarteirões formados pelos cruzamentos dessas vias formam quadrados de lados medindo 100 m A ordenada do ponto que representa a localização do hotel é A 60 B 40 C 0 D 40 E 60 3 Ao resolver a equação x 4 2x 13 1 qual é o valor que se encontra para x A 9 12 B 23 2 C 29 D 31 26 CESEC 4 Para cada uma das equações abaixo determine 5 pares ordenados que as satisfaçam Utilize tabelas como no exemplo anterior para encontrar os pares A 2x y 6 B x y 7 C 7x y 11 D 05x y 7 5 Um ônibus interestadual viaja a uma velocidade constante Uma tela mostra aos passageiros a distância já percorrida e o tempo transcorrido como apresentado abaixo A Qual a velocidade do ônibus B Quais os dados serão mostrados na tela meia hora mais tarde C Se x representa a quantidade de horas transcorridas e y a distância percorrida complete a seguinte tabela em seu caderno 27 CESEC 6 Complete a tabela indicando se cada uma das expressões representa uma função quadrática e se afirmativo determine seus coeficientes 7 Enem 2015 Adaptada O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R1 90000 propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho A expressão que corresponde à proposta salarial s em função do tempo de serviço t em anos é st 1900 105t De acordo com a proposta do sindicato o salário em reais de um profissional dessa empresa com 3 anos de tempo de serviço será A 11 00445 B 5 98500 C 2 19949 D 2 08372 E 1 90962 28 CESEC FOLHA PARA CÁLCULOS 29 CESEC PLANO DE ESTUDOS Habilidades EM13MAT403B Estabelecer relações com ou sem apoio de tecnologias digitais entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano Unidade Temática Números e Álgebra Objetos de Conhecimento Funções exponenciais Funções logarítmicas Agora que já conhecemos e sabemos identificar uma função de primeiro e segundo grau vamos avançar para o estudo das funções exponenciais e logarítmicas Definimos como função exponencial uma função f ℝ ℝ sua lei de formação pode ser descrita por f x ax em que a é a base cujo valor sempre será um número real positivo Características importantes da função exponencial Seu domínio é o conjunto de todos os números reais Seu conjunto imagem é o conjunto dos números reais positivos se a 0 e o conjunto dos números reais negativos se a 0 O gráfico sempre intercepta o eixo das ordenadas eixo y no ponto 0 a e não intercepta o eixo das abscissas eixo x O gráfico da função fx ax é crescente quando a base é um número maior do que 1 ou seja quando a 1 Assim quanto maior o valor de x maior será o valor de fx 30 CESEC Imagem Representação da função exponencial crescente Fonte Ribeiro 2024 A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1 ou seja quando 0a1 Caso ela seja decrescente quanto maior o valor de x menor será o valor de fx Imagem Representação da função exponencial decrescente Fonte Ribeiro 2024 Ao construir o gráfico de uma função exponencial é prioridade encontrar o valor numérico para alguns valores de x como fizemos na construção dos 31 CESEC gráficos das funções de primeiro e segundo graus Vamos construir o gráfico da função exponencial fx 2x Vamos organizar nossos dados em uma tabela conforme sugerido para o desenvolvimento da habilidade estudada aqui Fonte Minas Gerais 2022 Representando esses pontos no plano cartesiano obtemos o seguinte gráfico Fonte Ribeiro 2024 32 CESEC Dando sequência ao desenvolvimento da habilidade em estudo abordaremos a definição da função logarítmica e a construção do gráfico correspondente Definimos a função logarítmica como f R R ou seja seu domínio é o conjunto dos números reais diferentes de zero e seu contradomínio são os números reais tal que a lei de formação pode ser descrita por fx logax em que x é a variável e a é a base do logaritmo Lembrando que por definição em um logaritmo a base é positiva e diferente de 1 Exemplos a fx log x Quando a base não aparece no logaritmo seu valor é 10 b fx log05 x Nesse caso a base é 05 c fx log8x Nesse caso a base é 8 Na construção do gráfico de uma função logarítmica temos duas particularidades para discutir Se é uma função é crescente graficamente quando à medida que o valor de x aumenta o valor de y também aumenta Exemplo fx log2x 33 CESEC Imagem Representação gráfica da função Logarítmica crescente Fonte Ribeiro 2024 Ou se a função é considerada decrescente quando à medida que o valor de x aumenta o valor de y diminui Vamos construir um gráfico de uma função logarítmica decrescente 34 CESEC Imagem Representação gráfica da função Logarítmica decrescente Fonte Ribeiro 2024 Os gráficos das funções exponenciais apresentam um crescimento lento no início seguido por um aumento acentuado refletindo um crescimento rápido e significativo Em contraste os gráficos das funções logarítmicas mostram um início de crescimento mais rápido mas que vai se desacelerando progressivamente resultando em um comportamento mais estável O estudo dessas funções é fundamental para compreender e resolver problemas práticos Por exemplo cientistas utilizam funções exponenciais para projetar o crescimento populacional enquanto biólogos aplicam funções logarítmicas para medir o crescimento de colônias bacterianas em culturas laboratoriais Embora essas funções possam parecer complexas no início com dedicação e prática vocês serão capazes de compreendêlas e utilizálas em diversas situações do cotidiano Para você se aprofundar nestes objetos de conhecimentos acesse o material e assista aos vídeos disponível em httpswwwedocentecombrpnldmatematicaemcontextofuncao exponenciallogaritmicaesequencias httpswwwyoutubecomwatchvxpvSWbDUr8 httpswwwyoutubecomwatchv3lR3guqfbUg httpswwwyoutubecomwatchvP8uxcolt8OQ Para apropriação desses conceitos vamos praticar 35 CESEC ATIVIDADES 1 Calcule o valor de cada um dos logaritmos abaixo log10100 log101000 log28 Lembrese de que o logaritmo responde à pergunta Qual número eu elevo a base para obter o valor indicado 2 Desenhe o gráfico da função fxlog10 x para x1 x 10 e x100x O que você observa sobre o crescimento da função conforme x aumenta 3 Represente as seguintes funções em um plano cartesiano construindo as tabelas para uma melhor organização das construções A f x 3x B g x 5x C p x 1 5 x D q x 2 5x 4 Construa a tabela e o gráfico da seguinte função e em seguida pesquise sobre as características das funções logarítmicas incluindo o comportamento e exemplos de aplicações práticas dessas funções fx log3 x 5 Sobre a função logarítmica é correto afirmar que I A função logarítmica é sempre crescente II A lei de formação da função logarítmica é 𝑓𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 III A função logarítmica é a função inversa da função exponencial Podemos afirmar que A Somente a afirmativa I é falsa B Somente a afirmativa II é falsa C Somente a afirmativa III é falsa D Todas as afirmativas são verdadeiras 36 CESEC FOLHA PARA CÁLCULOS 37 CESEC PLANO DE ESTUDOS Habilidades EM13MAT311 Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios realizando contagem das possibilidades para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade Unidade Temática Probabilidade e estatística Objetos de Conhecimento Noções de probabilidade Para finalizarmos este módulo vamos explorar a probabilidade e compreender as chances reais de eventos ocorrerem Tal estudo nos oportuniza análise para a tomada de decisões Probabilidade Probabilidade é um assunto que aparece em nossas vidas diariamente Com frequência fazemos perguntas do tipo Qual é a chance de ganhar na Mega Sena Qual é a chance de um determinado time ganhar um campeonato E assim por diante A Teoria das Probabilidades estuda os experimentos aleatórios ou seja situações que mesmo se repetido várias vezes sob condições semelhantes apresentam resultados imprevisíveis e apontará as chances de resultados No estudo de probabilidades é necessário conhecimento de alguns termos essenciais Experimento aleatório é todo experimento cujo resultado depende apenas do acaso ou seja mesmo repetido nas mesmas condições pode ter resultados diferentes Exemplos lançar um dado e observar o número que ocorre na face voltada para cima resultado de um sorteio de um jogo de loteria extrair ao acaso uma carta de baralho e observar o tipo de carta obtida etc Espaço amostral é o conjunto de TODOS os possíveis resultados de um experimento aleatório Normalmente representaremos o espaço amostral por Ω letra ômega do alfabeto grego e indicaremos por nΩ o número de elementos de Ω Exemplos No lançamento de um dado temos Ω 12 3 4 5 6 e nΩ 6 no lançamento de uma moeda temos Ω cara coroa e nΩ 2 etc 38 CESEC Espaço amostral equiprovável ocorre quando TODOS os elementos do espaço amostral são IGUALMENTE prováveis ou seja tem a mesma chance de ocorrerem Exemplo Imagine que você está lançando um dado de seis faces que é um dado justo Cada face do dado tem um número de 1 a 6 O espaço amostral que representa todos os resultados possíveis desse experimento é S123456 Neste caso o dado é considerado justo ou não viciado o que significa que cada uma das seis faces têm a mesma probabilidade de aparecer Como há seis resultados possíveis e todos são igualmente prováveis a probabilidade de cada resultado é P1P2P3P4P5P6 1 6 Aqui cada elemento do espaço amostral S tem a mesma chance de ocorrer ou seja 1 6 Portanto este é um exemplo de um espaço amostral equiprovável Evento é todo subconjunto de um espaço amostral de um experimento aleatório Representaremos um evento por letra maiúscula como por exemplo E e indicando o número de elementos desse subconjunto por nE Exemplos lançar um dado e obter um número maior do que 4 na face voltada para cima chamaremos o evento de D temos D 56 e nD 2 lançamento de uma moeda e obter a face cara voltada para cima chamaremos esse evento de A temos A cara e nA 1 etc Evento complementar é o subconjunto do espaço amostral formado por elementos que NÃO pertencem ao evento desejado Representaremos o evento complementar de E por E então nE é o número de elementos do evento complementar Exemplos evento complementar do lançamento de um dado e obter um número maior do que 4 na face voltada para cima chamaremos o evento complementar de D temos D 1 2 3 4 e nD 4 evento complementar do lançamento de uma moeda e obter a face cara voltada para cima chamaremos esse evento de A temos A coroa e nA 1 etc Observação Quando um evento é igual ao espaço amostral ele é chamado de evento certo Quando um evento não possui elementos ou seja é um conjunto vazio ele é chamado de evento impossível 39 CESEC Considerando Ω espaço amostral Referese ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Equiprovável Significa que cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer Finito e não vazio Indica que o espaço amostral tem um número finito de elementos e não está vazio E evento Referese a um subconjunto do espaço amostral Ω ou seja um conjunto de resultados possíveis do experimento aleatório PE probabilidade do evento E É a probabilidade de ocorrer algum evento do conjunto E nE número de elementos de E Indica a quantidade de resultados favoráveis que compõem o evento E nΩ número de elementos de Ω Representa a quantidade total de resultados possíveis no espaço amostral TEMOS Seja Ω um espaço amostral equiprovável finito e não vazio de um experimento aleatório Considerando E um evento deste espaço amostral Ω a probabilidade de ocorrer algum evento de E é indicada por PE e definida pela razão entre nE número de elementos de E e n Ω número de elementos de Ω PE 𝑛𝐸 𝑛𝛺 Diferença Esa VBbbbbbbbbbbbbbbbbbbbntre Probabilidade e Possibilidades A probabilidade e as possibilidades são conceitos relacionados mas distintos frequentemente utilizados em contextos matemáticos e estatísticos Embora possam parecer semelhantes eles têm significados diferentes e são aplicados de maneiras diferentes Possibilidades As possibilidades se referem ao número total de resultados diferentes que podem ocorrer em uma determinada situação Em outras palavras as possibilidades representam todas as opções ou alternativas possíveis em uma situação específica Por exemplo ao lançar um dado comum de seis faces há seis possíveis resultados 1 2 3 4 5 e 6 Portanto dizemos que há seis possibilidades ao lançar o dado 40 CESEC Probabilidade Por outro lado a probabilidade está relacionada à chance de um determinado resultado ocorrer em uma situação de múltiplas possibilidades É uma medida numérica que varia de 0 a 1 onde 0 significa impossibilidade e 1 significa certeza A probabilidade é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de possibilidades Por exemplo ao lançar um dado de seis faces a probabilidade de obter um número par 2 4 ou 6 é de 3 em 6 ou 12 pois há 3 resultados favoráveis 2 4 e 6 em um total de 6 possibilidades Diferenças Chave As possibilidades representam todas as opções disponíveis em uma situação enquanto a probabilidade representa a chance de um determinado resultado ocorrer em relação ao número total de possibilidades As possibilidades são frequentemente contadas ou enumeradas enquanto a probabilidade é expressa como uma fração decimal ou porcentagem As possibilidades são medidas qualitativas enquanto a probabilidade é uma medida quantitativa Para saber mais sobre Probabilidade Qual é a chance httpswwwyoutubecomwatchvAZH67sWDW5wt88s Para apropriação desses conceitos vamos praticar ATIVIDADES 1 No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se obter na face voltada para cima um número de pontos menor que 3 2 Determine o espaço amostral dos experimentos aleatórios a seguir e o número de elementos desse espaço A Retirar uma bola de uma urna contendo 10 bolas numeradas de 1 a 10 B Lançar dois dados e observar os resultados possíveis 3 ENEM Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento destes em duas línguas estrangeiras inglês e espanhol Nessa pesquisa constatouse que 600 alunos falam inglês 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas Escolhendose um aluno dessa escola ao acaso e sabendose que ele não fala inglês qual a 41 CESEC probabilidade de que esse aluno fale espanhol A 1 2 B 5 8 C 1 4 D 5 6 E 5 14 4 Enem 2015 Em uma central de atendimento cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100 Uma das senhas é sorteada ao acaso Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 a 1 100 b 19 100 c 20 100 d 21 100 e 80 100Enem 2015 Em uma central de atendimento cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100 Uma das senhas é sorteada ao acaso Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 A 1 100 B 19 100 C 20 100 D 21 100 E 80 100 5 No lançamento simultâneo de dois dados determine a probabilidade de obtermos A A soma das faces viradas para cima igual a 7 B Uma face virada para cima igual a 1 e outra igual a 4 C A soma das faces viradas para cima maior que 9 42 CESEC FOLHA PARA CÁLCULOS 43 CESEC REFERÊNCIAS RAINLY Distância aproximada da terra Disponível em httpsptstaticz dnnetfilesd1784816c672156b7af9c52bec2edb991a1jpg Acesso em 10 mai 2024 BRASIL PORTAL DO PROFESSOR Plano cartesiano Disponível emhttpportaldoprofessormecgovbrfichaTecnicaAulahtmlaula1941 Acesso em 25 mai 2022 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição e gráfico de função exponencial s l s n 1 vídeo de 1037 min Publicado pelo canal Ehttpswwwyoutubecomwatchv3lR3guqfbUg Acesso em 10 set de 2024 LOGARITMO Função Logarítmica s l s n 1 vídeo de 711 min Publicado pelo canal Equaciona Com Paulo Pereira Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvP8uxcolt8OQ Acesso em 10 set de 2024 MATEMÁTICA on line Prof MarcosPlano cartesiano S l 2013 Disponível em httpsmarcosmaticoblogspotcompplanocartesianohtml Acesso em 06 ago de 2022 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Ensino Médio Matemática e suas tecnologias Volume 2 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled1k MJnTwzOTsBlvLMXmbtI76POegXxWXuview Acesso em 10 mai 2024 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 3º ano Ensino Médio Matemática e suas tecnologias Volume 7 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled1zBuM1QbsE4bR7ah8NGJDK0iME7UsL PIview Acesso em 20 mai 2024 MINAS GERAIS Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled1k MJnTwzOTsBlvLMXmbtI76POegXxWXuview Acesso em 10 mai 2024 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 9º ano Ensino Fundamental Matemática e suas tecnologias Volume 1 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled11eMDyX8WlWPIle3X5zyJ5EN4SR3aMxdJ 44 CESEC view Acesso em 10 mai 2024 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Ensino Médio Matemática e suas tecnologias Volume 3 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível em httpsdrivegooglecomfiled14rNFwZ9zc LopBrKyYBBwvzSOTmKUKview Acesso em 10 mai 2024 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens Escola de Formação e Desenvolvimento MATEMÁTICA on line Prof MarcosPlano cartesiano S l 2013 Disponível em httpsmarcosmaticoblogspotcompplanocartesianohtml Acesso em 06 ago de 2022 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Ensino Médio Matemática e suas tecnologias Volume 3 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled1k MJnTwzOTsBlvLMXmbtI76POegXxWXuview Acesso em 10 mai 2024 MINAS GERAIS Estado Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Ensino Médio Matemática e suas tecnologias Volume 4 Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais Belo Horizonte s l 2022 Disponível emfiled1FsKNzoWbKrcfkmoQkVtC6p2esXUHqf8Tview Acesso em 16 maio 2024 MINAS GERAIS Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais Material de Apoio Pedagógico Para Aprendizagens 1º ano Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais s l 2022 Disponível emhttpsdrivegooglecomfiled14rNFwZ9zc LopBrKyYBBwvzSOTmKUKview Acesso em 13 mai 2024 MINAS GERAIS Secretaria do Estado de Educação Currículo Referência de Minas Gerais educação infantil e ensino fundamental Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais s l 2022 Disponível em httpsdrivegooglecomfiled1ac2Bg9oDsYet5WhxzMIreNtzy719UMzvie w Acesso em 6 mai 2024 MINAS GERAIS Secretaria do Estado de 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