Métodos Quantitativos Matemáticos

Código Logístico 57419 Fundação Biblioteca Nacional ISBN 9788538764465 9 788538 764465 MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS Paulo Afonso BracarenseMaria Emilia Martins Ferreira Métodos quantitativos matemáticos IESDE BRASIL SA 2018 Paulo Afonso Bracarense Maria Emilia Martins Ferreira Todos os direitos reservados IESDE BRASIL SA Al Dr Carlos de Carvalho 1482 CEP 80730200 Batel Curitiba PR 0800 708 88 88 wwwiesdecombr CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ C875m 4 ed Bracarense Paulo Afonso Métodos quantitativos matemáticos Paulo Afonso Bracarense Maria Emilia Martins Ferreira 4 ed Curitiba PR IESDE Brasil 2018 144 p il 21 cm Inclui bibliografia ISBN 9788538764465 1 Matemática Estudo e ensino Superior I Ferreira Maria Emilia Martins II Título 1852040 CDD 510711 CDU 5107 20072018 IESDE BRASIL SA É proibida a reprodução mesmo parcial por qualquer processo sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais Projeto de capa IESDE BRASIL SA Imagem da capa pixeldreamsktsimageiStockphoto Paulo Afonso Bracarense Doutor em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC com estágio de doutoramento na University of South Florida nos Estados Unidos Mestre em Agronomia Estatística e Experimentação Agronômica pela Universidade de São Paulo USP e em Políticas Públicas pela Humboldt University of Berlin HUB e European Viadrina University of Frankfurt em Oder na Alemanha Especialista em Gestão Municipal de Recursos Hídricos pelo Instituto Federal de Educação do Ceará IFCE e pela Agência Nacional de Águas ANA Bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Paraná UFPR Professor da UFPR Maria Emilia Martins Ferreira Doutora em Engenharia Florestal pela Universidade Federal do Paraná UFPR Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC MBA em Gestão Ambiental pela UFPR Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do Maranhão UEMA Sumário Apresentação 7 1 Sistemas numéricos 9 11 O problema 9 12 Explorando o problema 9 13 Equacionando o problema 10 14 Conceitos e regras 11 2 Operações com números reais 21 21 O problema 21 22 Explorando o problema 21 23 Equacionando o problema 21 24 Conceitos e regras 22 3 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 41 31 O problema 41 32 Explorando o problema 41 33 Equacionando o problema 42 34 Conceitos e regras 43 4 Intervalos 63 41 O problema 63 42 Explorando o problema 63 43 Equacionando o problema 63 44 Conceitos e regras 64 5 Estudo de funções 71 51 O problema 71 52 Explorando o problema 71 53 Equacionando o problema 72 54 Conceitos e regras 72 6 Limites 91 61 O problema 91 62 Explorando o problema 91 63 Equacionando o problema 92 64 Conceitos e regras 92 7 Derivada de função 103 71 O problema 103 72 Explorando o problema 103 73 Equacionando o problema 104 74 Conceitos e regras 105 Referências 119 Gabarito 121 Apresentação O aprendizado da matemática estimula nossa capacidade de compreensão do mundo de desenvolvimento lógico e de ampliação da comunicação que por sua vez abrem novas opções de aprendizado Esse círculo virtuoso exige que estejamos sempre abertos a buscar maior aprimora mento no domínio dos conteúdos e da linguagem da matemática O matemático francês Jules Henri Poincaré 18541912 que usufruiu em seu tempo de enorme popularidade pois foi precursor do estilo Carl Sagan e era um cientista que soube se co municar com o público e dar à ciência um sabor popular defendia há mais de um século que a matemática deveria crescer não só por sua beleza intrínseca mas também pela promoção do conhecimento como um todo Hoje a abundância de informações propiciadas pela enorme capacidade dos computadores em adquirir armazenar e processar dados exige cada vez mais o domínio da linguagem e técnicas matemá ticas na gestão de negócios Desse modo devemos ter a matemática como uma aliada em quem pode mos nos apoiar e não como uma tirana com quem só convivemos devido à sua absoluta inevitabilidade A modelagem matemática nas empresas trabalha tipicamente com a representação dos pro cessos decisórios estratégicos nas mais diferentes áreas como administração de recursos humanos contas a receber contas a pagar suprimentos logística estoque transporte produção receita in vestimentos vendas etc O uso da matemática pelos profissionais da área é um acessório funda mental a ser incorporado à experiência à inteligência e à intuição na tomada de decisão Neste livro propomos um método de estudo que visa estimular o indivíduo a respon der questões que o levem a compreender as temáticas necessárias à sua formação profissional Apresentamos aqui os conteúdos matemáticos com base na busca de soluções a problemas concre tos Em cada capítulo trataremos do conteúdo elencando os seguintes tópicos o problema explorando o problema equacionando o problema conceitos e regras atividades Quando se opta pela utilização de métodos que envolvem a matemática para a compreensão de um fenômeno o que se busca é a construção de modelos matemáticos para explicar o problema em questão As equações e as variáveis são os elementos essenciais desses modelos mas como os valores que uma variável administrativa ou econômica assume são numéricos é importante o estu do sobre o sistema de números Partindo dessa visão buscamos nos primeiros capítulos fazer uma revisão sobre sistemas numéricos Capítulo 1 e sobre operações com números reais Capítulo 2 Eles são complementados por um estudo de intervalos no Capítulo 4 após o estudo da Teoria dos Conjuntos que abre o Capítulo 3 Métodos quantitativos matemáticos 8 Nos Capítulos 5 e 6 expomos os conceitos de função e limite fundamentais para o enten dimento do cálculo diferencial da maneira mais simples e clara possível Esses conceitos já eram conhecidos na matemática dos povos antigos mas foi somente a matemática moderna que expôs completamente o seu significado e o seu caráter essencial O Capítulo 5 é dedicado ao estudo das funções introduzido pelo estudo das relações no Capítulo 3 compreendendo que aqui elas são casos particulares de relações que podem ser estabelecidas de forma analítica Já o Capítulo 6 enfo ca o estudo de limites de funções conceito necessário para a definição de derivada O jogo de variabilidade no estudo das funções é também tratado nesta obra por meio da abordagem de derivadas das funções de interesse É relevante dessa forma termos o conhecimento do papel do cálculo diferencial no estudo de fenômenos administrativos e econômicos assunto esse que será discutido no Capítulo 7 o último de nosso livro Boa leitura 1 Sistemas numéricos 11 O problema Modelos matemáticos são comumente constituídos de equações destinadas a descrever a estrutura do modelo Essas equações são construídas com base na observa ção de relações entre variáveis que dão forma matemática ao conjunto de pressupostos analíticos adotados Assim por meio da aplicação de operações matemáticas relevan tes a essas equações procurase derivar um conjunto de conclusões que se seguem lo gicamente desses pressupostos Uma variável é algo cuja magnitude pode mudar isto é algo que pode assumir diferentes valores As variáveis frequentemente utilizadas em Administração e Economia incluem preço lucro receita custo produção renda nacional consumo investimento dentre outras Cada variável pode assumir diferentes valores e é representada por um símbolo O preço pode ser representado por P o lucro por L a receita por R o custo por C e assim por diante Um modelo matemático quando construído adequadamente pode ser resolvido gerandose os valores das soluções de certo conjunto de variáveis tais como o nível de preço que iguala oferta e demanda de mercado ou o nível de produção que maximiza o lucro A questão a se responder é se todas essas variáveis podem ser represen tadas por números de uma mesma natureza 12 Explorando o problema Desejamos estimar o valor do preço do feijão no Paraná em um determinado mês do ano de 2018 Sabemos que o preço do feijão no mesmo mês de 2017 pode influenciar o preço atual o preço da lentilha a quantidade de feijão produzida e se o feijão foi importado ou produzido em outro estado também são determinantes desse preço Uma possível equação de previsão do preço do feijão poderia ser Pi a bPi cPLi dQi eI onde Pi é o preço do feijão em 2018 no mês i com i 1 a 12 Ou seja o preço do feijão em abril de 2018 será representado por P4 Pi é o preço do feijão em 2017 no mês i com i 1 a 12 P4 é o preço do feijão em abril de 2017 Pi é a chamada variável defasada PLi é o preço da lentilha em 2018 no mês i Qi é a quantidade de feijão produzida em 2018 no mês i Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 10 I é uma variável que representa se o feijão foi importado I 1 ou produzido no Paraná I 0 Veja que se o feijão foi produzido fora do Paraná seu preço será acrescido de e unidades monetárias Esse modelo matemático arbitrário contém variáveis de diferentes tipos O preço é uma variável contínua que pode assumir valores fracionários A quantidade em sacas é uma variável discreta que só pode assumir valores inteiros E a variável I chamada de variável dummy fantas ma representa a existência ou não de uma certa condição São variáveis de naturezas diferentes e os valores que elas assumem são de naturezas distintas 13 Equacionando o problema Uma variável é uma característica constituinte de um evento fenômeno pessoa ou processo que varia em graus Não necessariamente precisa ser expressa por meio de números A forma de expressála varia de acordo com o nível de mensuração utilizado Por exemplo Variável idade 1 5 20 50 nível de mensuração de razão Variável coeficiente de inteligência QI 50 80 100 120 nível de mensuração intervalar Variável avaliação da palestra excelente boa regular ruim péssima nível de men suração ordinal Variável cor da parede verde amarela azul etc nível de mensuração nominal O que difere o nível de mensuração de razão para o intervalar é que no primeiro o valor 20 de fato representa o dobro de 10 enquanto no nível de mensuração intervalar não 20 C não indica que a temperatura seja o dobro de 10 C Pense que se essas temperaturas forem convertidas para graus Farenheit por exemplo essa relação o dobro não permanecerá a mesma 10 C são 50 F enquanto 20 C são 68 F Dependendo do nível de mensuração podese fazer diferentes classificações de variáveis As variáveis com níveis de mensuração de razão e intervalar são chamadas de variáveis quantitativas Variáveis quantitativas são aquelas que são mensuráveis Exemplo ida de altura peso etc Elas ainda se subdividem em Variáveis quantitativas contínuas são aquelas que possuem números fracionados e podem ser medidas Exemplo peso altura etc Variáveis quantitativas discretas são aquelas que são expressas por números inteiros e no geral são resultado de contagem Exemplo idade semestre na universidade etc Já as variáveis com níveis de mensuração ordinal e nominal são chamadas de variáveis qualitativas Sistemas numéricos 11 Variáveis qualitativas são aquelas que se baseiam em qualidades e não podem ser mensuráveis numericamente Exemplo cor dos olhos classe social A B C D ou E etc Elas ainda se subdividem em Variáveis qualitativas ordinais são aquelas que podem ser colocadas em ordem Exemplo conceito excelente bom regular ruim péssimo classe social A B C D ou E etc Variáveis qualitativas nominais são aquelas que não podem ser hierarquizadas ou or denadas Exemplo cor dos olhos estados do Brasil etc A natureza da variável determinará a que tipo de sistema de representação ela estará submetida Nosso trabalho neste capítulo será o de apresentar os diferentes tipos de números conforme sua natureza A questão referente a uma discussão mais aprofundada da natureza real dos números interessa mais à filosofia do que à matemática A natureza essencial do conceito de número do ponto de vista da Teoria do Conhecimento não fará parte portanto do conteúdo deste texto Interessanos distinguir os diferentes tipos de números para podermos melhor operálos nas questões práticas que surgirão em outras fases de um curso de Administração ou Economia Caracterizaremos do particular para o geral os conjuntos de números afeitos ao nosso curso a saber números naturais números inteiros números racionais e irracionais e números reais Neste ca pítulo esses conjuntos serão apresentados e algumas de suas características serão estudadas 14 Conceitos e regras 141 Números naturais N Consideramos que os números naturais têm início com o número zero e es crevemos esse conjunto como N 0 1 2 3 4 5 6 Representamos o conjunto dos números naturais com a letra N As reticências indicam que esse conjunto não tem fim N é um conjunto com infinitos números Excluindo o zero do conjunto dos números naturais o conjunto será repre sentado por N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Todo número natural dado n exceto o zero tem um antecessor número que vem antes do número dado Exemplo 1 Se m é um número natural finito diferente de zero então Vídeo Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 12 a O antecessor do número m é m1 b O antecessor de 2 é 1 c O antecessor de 34 é 33 d O antecessor de 10 é 9 142 Números inteiros Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais e o conjunto dos opostos dos números naturais Esse conjunto é denotado pela letra Z Zahlen números em alemão Esse conjunto pode ser escrito por Z 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Alguns subconjuntos do conjunto Z podem ser assim definidos Conjunto dos números inteiros excluído o número zero Z 4 3 2 1 1 2 3 4 Conjunto dos números inteiros não negativos Z 0 1 2 3 4 Conjunto dos números inteiros não positivos Z 4 3 2 1 0 1421 Reta numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada considerando o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar escrito à direita da ori gem tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e dispor os números inteiros da seguinte maneira 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números intei ros obedecem é crescente da esquerda para a direita razão pela qual indicamos com uma seta para a direita Essa consideração é adotada por convenção Baseandose ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros pos suem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor 1422 Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta em Z e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta em Z Sistemas numéricos 13 Exemplo 1 a 3 é sucessor de 2 b 2 é antecessor de 3 c 5 é antecessor de 4 d 4 é sucessor de 5 e 0 é antecessor de 1 f 1 é sucessor de 0 g 1 é sucessor de 2 h 2 é antecessor de 1 Todo número inteiro z exceto o zero possui um elemento denominado oposto z isso é caracterizado pelo fato geométrico de que tanto z como z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0 Exemplo 2 a O oposto de ganhar é perder logo o oposto de 3 é 3 b O oposto de perder é ganhar logo o oposto de 5 é 5 Como todos os números naturais também são números inteiros dizemos que N é um sub conjunto de Z ou que N está contido em Z N Z Números primos Definese como número primo aquele número maior que 1 que é divisí vel somente por 1 e por ele mesmo Os sete primeiros números primos são 2 3 5 7 11 13 e 17 Observe que nenhum deles é divisível por outro número menor que ele mesmo a não ser pelo número 1 Não são primos todos os números pares diferentes de 2 porque são divi síveis pelo menos pelo número 2 Também não são primos os números 9 e 15 por exemplo que são divisí veis respectivamente por 3 no caso do 9 e por 3 e 5 no caso do 15 143 Números racionais Q Quando dividimos um número inteiro a por outro número inteiro b 0 obtemos um nú mero racional Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária A letra Q deriva da palavra inglesa quotient que significa quociente já que um número racional é um quociente de dois números inteiros Métodos quantitativos matemáticos 14 Por exemplo se a 6 e b 2 obtemos o número racional 30 Se a 1 e b 2 obtemos o número racional 05 Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros Q a b a Z e b Z Lembrese de que não existe divisão por zero O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não nulos Q x Q x 0 O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não negativos Q x Q x 0 O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não positivos Q x Q x 0 O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos Q x Q x 0 O símbolo Q é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos Q x Q x 0 Como todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional temos N Z Q Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito Por exemplo a 1 e b 3 nos dá o número racional 033333 É a chamada dízima periódica 1431 Dízima periódica Uma dízima periódica é um número real da forma mnpppp m n e p são números inteiros sendo que o número p se repete indefinidamente razão pela qual usamos os três pontos ao final A parte que se repete é denominada período Em alguns materiais é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra abaixo do período ou ainda o período dentro de parênteses Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período Exemplo 1 a 0333333 03 b 3636363 363 Sistemas numéricos 15 Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período Por exemplo a 083333333 083 b 072535353 07253 Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais Exemplo 2 a 03333 03 003 0003 00003 b 08333 08 003 0003 00003 c 47855 478 0005 00005 Curiosidade Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima pe riódica é um número racional Isso significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração O processo para realizar essa tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos As pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que faremos na sequência devem se aprofundar no estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior A geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração número racional que deu origem a uma dízima periódica Denominamos essa fração de geratriz da dízi ma periódica Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para nu merador o período e para denominador tantos noves quantos fo rem os algarismos do período Exemplos 0 2323 23 99 Métodos quantitativos matemáticos 16 Dízima composta A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma nd onde n parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica d tantos noves quantos forem os algarismos do período segui dos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica Exemplos 0 1252525 125 1 990 124 990 0 047777 047 04 900 43 900 144 Números irracionais I Um número é dito número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo na forma de uma dízima periódica Exemplo 1 O número real abaixo é um número irracional embora pareça uma dízima periódica x 010100100010000100000 Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente obtemos um número chamado irracional Existem infinitos números que não são dízimas periódicas Dois números irracionais muito importantes são e 2718281828459045 a base do logaritmo neperiano π 3141592653589793238462643 o número pi Esses números são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como cálculos de áreas volumes centros de gravidade previsão populacional etc O π pi representado habitualmente pela letra grega π que equivale ao p é o número ir racional mais famoso da história com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos percorremos aproximadamente 10920 km e se dividirmos esse valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 km iremos verificar que essa razão é de 314154200 esse número já nos é familiar seu valor é aproximadamente 314 Sistemas numéricos 17 Na realidade como número irracional pi é expresso por uma dízima infinita não periódica que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possível determinarmos com centenas de milhões de casas decimais Aqui aparece o valor de π obtido com a calculadora do Windows 3141592653589793238462643383279 145 Números reais R O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais indicado por R Como todo número natural é inteiro todo número inteiro é racional e todo número racional é real temos N Z Q R Indicamos por R o conjunto de números reais sem o zero ou seja R R 0 O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais não negativos R x R x 0 O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais não positivos R x R x 0 O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais positivos R x R x 0 O símbolo R é usado para indicar o conjunto de números reais negativos R x R x 0 Atividades 1 Qual é o nome que se dá aos cardinais 0 1 2 10 11 distintos dois a dois 2 Qual é a representação do conjunto dos números naturais 3 Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais 4 Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais sem o número zero 5 É correto pensar que só são números aqueles que possuem mais de um algarismo 6 Existe um número maior do que todos os outros 7 Qual o menor número natural 8 Identifique os antecessores dos números m dados Métodos quantitativos matemáticos 18 m 2 m 10 9 Qual é o número natural x que torna a sentença aberta x 5 0 verdadeira 10 É correto afirmar que 3 1 e 1 3 11 Sabendose que N Z que outro nome poderia se dar ao conjunto dos números inteiros positivos 12 Qual é o valor oposto de 0 zero Dizemos que um número inteiro p é primo quando p 0 1 1 e os divisores p Dp 1 1 p p 13 Quais dos seguintes números inteiros não são primos 12 13 0 5 31 1 2 4 1 49 14 É correto afirmar que todo número maior que 1 tem pelo menos quatro divisores 15 Está correta a informação que diz que fatorar um número composto é transformálo num produto de fatores primos 16 Calcule x de modo que o número 3x tenha 15 divisores 17 Qual é o valor do número 2x 32 5 sabendose que ele possui 12 divisores 18 Qual é o menor número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2 3 5 9 e 10 19 Qual o menor número primo que não divide o número 210 20 Uma fração irredutível de denominador 25 pode ser a geratriz de uma dízima periódica 21 Quais das seguintes frações correspondem a uma dízima periódica 3 20 1 14 5 8 1 4 2 9 4 22 22 A dízima 099 corresponde a um número inteiro Enunciado para os exercícios 22 a 24 O dobro da soma do minuendo do subtraendo e do resto de uma subtração é 1005 O mi nuendo excede o resto de 09825 Determinar 23 O minuendo 24 O subtraendo 25 O resto Para os exercícios 25 26 e 27 desta seção calcular as geratrizes das dízimas 26 02424 Sistemas numéricos 19 27 2123123 28 0058333 29 Como representar utilizando os conjuntos vistos neste capítulo o conjunto dos números irracionais 30 Como representar utilizando os conjuntos vistos neste capítulo o conjunto dos números reais 31 Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números 15 16 1 14 1 4 1 e 32 Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números e 2 3 2 1 1 4 0 3 4 1 6 2 e 33 Para que um número seja irracional na forma p que condições deverão ter o valor p 34 Utilizando a informação do exercício anterior dê três exemplos de números irracionais Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é irracional e r é racio nal não nulo então a r a r a r e ra são todos irracionais 35 Utilizando a informação acima dê dois exemplos que contemplem a r e a r 36 Utilizando a mesma informação dê dois exemplos que contemplem ar e ra Responda às questões a seguir 36 a 45 classificandoas como verdadeiras V ou falsas F 37 É verdade que 3 R 38 É verdade que 1 2 R Q 39 É verdade que 2 5 3 R Q 40 É verdade que 4 R Q 41 É verdade que 3 2 5 R Q 42 É verdade que 3 4 R Q 43 É verdade que 3 2 5 2 Q 44 É verdade que R Q R 45 É verdade que R Q U Q R Métodos quantitativos matemáticos 20 46 É exemplo de número primo a 44 b 17 c 0 d 1 47 A geratriz da dízima periódica 044444444 é a 44 99 b 4 9 c 44 100 d 045 2 Operações com números reais 21 O problema Um investidor possui R 1000000 para serem aplicados durante 5 meses O banco ofereceu uma taxa de 6 ao mês no regime de capitalização composta Qual será o montante a receber após esse período Vídeo 22 Explorando o problema Na capitalização composta ou juros compostos o juro produzido no fim de cada período financeiro é somado ao capital que o produziu passando os dois capital mais juro a renderem juros no período seguinte O juro no primeiro mês será calculado como o produto do capital pela taxa E o montante será então a soma do capital inicial mais o juro do primeiro mês No segundo período o juro será o montante do primeiro mês mais o juro do segundo mês E o montante do segundo mês será a soma do montante do primeiro mês e o juro do segundo mês Na próxima seção abordaremos esse estudo visando principalmente identificar as opera ções utilizadas 23 Equacionando o problema Suponhamos um capital C que será aplicado a juros compostos à taxa de i No fim do pri meiro período o juro produzido será 1 J1 C i e o montante 2 M1 C J1 Substituindo J1 na expressão 2 temos M1 C C i C 1 i No fim do segundo período o juro será J2 M1 i E o montante ao final do segundo período será determinado por M2 M1 J2 Então M2 M1 M1 i M11 i Mas M1 C1 i Então M2 C1 i1 i C1 i2 Métodos quantitativos matemáticos 22 Seguindo esse raciocínio podemos concluir que para n períodos o montante pode ser cal culado por 3 Mn C1 in que é a fórmula fundamental dos juros compostos para um número inteiro de períodos onde 1 i é denominado fator de capitalização da taxa i Antigamente o cálculo do montante Mn era feito exclusivamente por logaritmo pois sendo 1 in uma função exponencial e as variáveis i e n podendo ser quaisquer não havia outra opção Mais tarde com o aparecimento dos computadores foram criadas tabelas de 1 in com deter minados valores mais usados para i e n exatamente para facilitar os cálculos para usuários que não tinham fácil acesso aos computadores Mas nada disso era definitivo pois os valores da taxa i em juros compostos principalmente variavam muitíssimo Somente depois do advento das minicalculadoras eletrônicas e dos micro computadores que fazem cálculo de potência é que o cálculo pode ser feito com total facilidade para quaisquer prazos e taxas Para o problema colocado o montante após cinco meses será dado por M 5 10000 1065 R 1338226 Essa série de cálculos com C R 1000000 i 6 e n 5 meses para a solução de um problema relativamente simples envolveu as operações de adição multiplicação e potenciação Acrescentadas das operações de diferença divisão e radiciação envolvem as operações básicas com números reais que serão abordadas neste capítulo 24 Conceitos e regras 241 Operações algébricas com números reais As operações algébricas básicas com números reais são a adição e a multi plicação De posse dessas duas operações podese estender algumas características e conceituar as operações básicas de subtração e divisão Posteriormente serão tra tadas as operações de potenciação e radiciação 2411 Adição e multiplicação de números reais Valem as seguintes propriedades dos números reais com relação às operações de adição e de multiplicação Fechamento se a e b são números reais então sua soma a b e seu produto a b são também números reais Comutativa quando adicionamos ou multiplicamos dois números reais a e b a ordem na qual eles são adicionados ou multiplicados é irrelevante isto é a b b a e a b b a Vídeo Vídeo Vídeo Vídeo Operações com números reais 23 Associativa na adição ou multiplicação de números reais os números a b e c podem ser agrupados em qualquer ordem a b c a b c a b c a b c a b c a b c Identidade o número zero é chamado de elemento neutro da adição assim soma do o zero a qualquer outro número este não se altera O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação Multiplicado o 1 a qualquer outro número este não se altera Simbolicamente a 0 0 a a a 1 1 a a Inversa para cada número real a existe um único número real denotado de a e chama do de inverso aditivo de a ou negativo de a com a propriedade de a a a a 0 Se a é qualquer número real diferente de zero existe um único número real denotado 1a e chamado de inverso multiplicativo de a ou de recíproco de a com a propriedade de a 1 a 1 a a 1 a 0 O inverso multiplicativo é também frequentemente representado por a1 O zero não tem inverso multiplicativo isto é não existe a possibilidade da divisão por zero Distributiva em relação à adição se a b e c são números reais então a b c a b a c Exemplo 1 6 3 4 6 3 6 4 6 7 18 24 42 42 A propriedade distributiva vale para qualquer número de termos Evidência Colocar um número em evidência significa utilizar a propriedade distributi va da soma em relação à multiplicação utilizando o máximo divisor comum Por exemplo seja a igualdade 2x 2y 4 Podemos aplicar diretamente a propriedade distributiva colocando o nú mero 2 em evidência uma vez que o máximo divisor comum mdc entre dois números iguais é o próprio número Então podemos reescrever a iden tidade como 2x y 4 e finalmente x y 2 Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 24 Outro exemplo se dá colocando o máximo divisor comum entre dois números diferentes em evidência como na igualdade 2x 4y 4 Observe que o máximo divisor comum entre 2 e 4 é o número 2 O maior número que é divisor de 2 e 4 O máximo divisor comum entre 10 e 20 por exemplo é o número 10 porque ele é ao mesmo tempo divisor de 10 e de 20 Outros divisores de 10 e 20 são os números 1 2 e 5 Mas o maior divisor entre 10 e 20 é o número 10 Na igualdade acima o mdc é o 2 que pode ser colocado em evidência e teremos 2x 2y 4 e então x 2y 2 2412 Divisão de números reais Existem duas classificações para definir a operação de divisão 1 Divisão exata Dividendo Divisor Quociente 2 Divisão inexata Dividendo Divisor Quociente Resto A divisão pode ser definida em termos do inverso da multiplicação ou recíproca Se a e b são dois números reais onde b 0 o quociente a b é dado por a b a 1 b a b b 0 Então as propriedades básicas da multiplicação dentro do sistema de números reais podem ser estendidas para as operações de divisão O zero pode ser dividido e produz o quociente zero mas a divisão por zero não é definida Isto é se a é um número real diferente de zero 0 a mas a 0 não é definido Vale lembrar que o zero não tem um inverso multiplicativo então multiplicação pelo inver so multiplicativo do zero não é definida 2413 Sequência de operações Determine o valor da expressão numérica 5 3 2 12 4 Fica fácil identificar a necessidade de dar uma sequência de prioridades para fazer tal cálculo senão jamais teríamos certeza do resultado a ser encontrado Na matemática são definidas as se guintes prioridades no momento de resolver uma expressão numérica 1º resolvese a operação de multiplicação eou de divisão o que vier antes 2º resolvese a operação de adição eou de subtração o que vier antes Operações com números reais 25 Dessa forma o valor da expressão numérica anterior é 5 3 2 12 4 5 6 3 11 3 8 Essas ordens de operações podem mudar com a inclusão de parênteses colchetes ou chaves Operações com esses símbolos de agrupamento são resolvidas prioritariamente nessa ordem parênteses colchetes chaves e finalmente as operações sem esses elementos Mais recen temente o uso de sequência de parênteses tem sido usado em substituição a colchetes e chaves Exemplo 2 2 5 3 4 6 3 2 5 3 4 6 3 10 12 2 22 2 20 ou de outra forma 2 5 3 4 6 2 1 2 8 4 6 2 1 2 32 6 2 1 2 26 2 1 2 13 1 26 1 27 Fica assim bastante clara a importância dos símbolos de agrupamento na solução de qual quer expressão matemática 242 Trabalhando com frações Se a e b são inteiros com b 0 então a b é chamada de fração ou número racional Usamos a terminologia Numerador Denominador para nos referirmos às partes da fração As frações cujos denominadores são potências de 10 são denominadas frações decimais As demais frações são conhecidas como frações ordinárias Exemplo 1 i frações decimais 1 10 7 100 3 1000 4 0 001 Métodos quantitativos matemáticos 26 ii frações ordinárias 2 7 3 4 2 3 5 4 6 3 Toda fração de numerador menor do que o denominador ou seja toda fração menor do que a unidade chamase fração própria A fração cujo numerador é maior do que o denominador chamase fração imprópria Finalmente toda fração cujo numerador é um múltiplo inteiro do de nominador é uma fração aparente Exemplo 2 i frações próprias 1 2 7 100 3 4 ii frações impróprias 12 7 3 2 21 8 5 4 iii frações aparentes 21 7 12 4 12 3 6 3 Dizse que simplificar uma fração é obter uma fração equivalente e de termos menores Quando uma fração não pode ser simplificada seus termos são primos entre si ou seja o máximo divisor comum mdc é igual a 1 e a fração tem o nome de irredutível Assim tornar uma fração irredutível significa reduzila à expressão mais simples por meio de simplificações Em seguida veremos as quatro operações básicas no estudo de frações 2421 Adição e subtração de frações Para somar ou subtrair duas frações que têm o mesmo denominador somamos ou sub traímos os numeradores mantendose o denominador comum para ambos isto é a b c b a c b Para somar ou subtrair duas ou mais frações que têm denominadores diferentes achamos o mínimo múltiplo comum mmc entre os valores dos denominadores Esse será o novo denomi nador da fração solução Em seguida processamos a divisão do denominador mmc pelo denomi nador da primeira fração e com o quociente multiplicamos o numerador da fração em referência Processase dessa maneira para todas as frações Finalmente o procedimento recai na adição ou subtração com denominadores iguais e portanto somamse os numeradores Exemplo 1 Efetue J a b c d e f D mmc b d f J D b a D D d c D D f e D J D b a D d c D f e D Operações com números reais 27 Aplicações numéricas i 2 5 4 5 2 4 5 6 5 ii 2 7 3 4 4 2 7 3 28 8 21 28 29 28 2422 Multiplicação e divisão de frações O produto de duas frações é encontrado pela razão entre a multiplicação dos valores dos numeradores pela multiplicação dos valores dos denomi nadores isto é a b c d ac bd O quociente entre duas frações é encontrado multiplicandose a primeira fração dividen do pela inversa da segunda divisor Em seguida operase a multiplicação das duas frações isto é a b c d a b d c ad bc Exemplo 1 i 4 5 3 2 12 10 6 5 ii 3 5 2 6 3 5 6 2 18 10 9 5 243 Potência e raízes de números reais Se n é um inteiro positivo então an representa a potência a a a a an nvezes n é chamado de expoente de a e é o número de vezes que a foi multiplicado por ele mesmo e an é chamada a nésima potência de a Exemplo 1 Calcule a 42 4 4 16 b 1 3 1 3 1 3 1 3 1 27 3 c 24 2 2 2 2 16 d 43 4 4 4 64 Se n é um inteiro positivo maior do que 1 e se an b então a é chamada a raiz nésima de b Em particular se a2 b então a é a raiz quadrada de b e se a3 b então a é a raiz cúbica de b A nésima raiz de b é simbolizada por b a n O símbolo é chamado de radical b é o radicando e n é o índice do radical Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 28 Se n é igual a 2 ele pode ser omitido do radical isto é 2 b b Tanto as raízes pares como as raízes ímpares são definidas com índices como números inteiros As raízes ímpares de um número negativo são definidas mas as raízes pares de números negativos não são definidas no contexto do sistema de números reais elas fazem parte do sistema de números complexos que não serão tratados no âmbito deste livro Exemplo 2 Calcule a 8 2 3 b 9 não é definida no contexto de números reais Não existem dois números reais que multiplicados sejam iguais a 9 Todo número real b tem duas raízes quadradas uma raiz positiva e outra raiz negativa Exceto o zero que tem como raiz o próprio zero Por exemplo 3 e 3 são raízes quadradas de 9 uma vez que 32 9 e também 32 9 No entanto todo número real tem exatamente uma raiz cúbica 2431 Leis dos expoentes 0n 0 se n 0 a0 1 se a 0 a a n n 1 se a 0 a mn m n n m a a se a raiz for definida am an am n amn amn am bm abm a a a m n m n a b a b m m m se b 0 Cálculos envolvendo raízes são enormemente facilitados pelas seguintes propriedades dos radicais Regra do produto para radicais Se a e b são números reais positivos então ab a b n n n Regra do quociente para radicais Se a e b são números reais positivos então a b a b n n n Operações com números reais 29 Raiz de raiz Se a e b são números reais positivos então x x m n m n Cuida do x x x x n x y x y n x y x y n n n n n n n n 2 2 4 4 1 1 244 Expressões algébricas Uma expressão algébrica é uma declaração matemática indicando que quantidades numéri cas são combinadas por operações de adição subtração multiplicação divisão potenciação e radi ciação As quantidades podem ser constantes ou variáveis Uma constante é uma quantidade que permanece inalterável em um dado problema Uma variável é uma quantidade que pode assumir diferentes valores em um dado problema Variáveis são geralmente representadas em uma expressão algébrica por letras como x y ou z Constantes são geralmente escritas como números mas elas podem também algumas vezes ser representadas por uma característica alfabética Cada uma das seguintes expressões é uma expressão algébrica 4x3 3x 5y 12 x y z ax2 bx c e 4x2y 7xy5 Expressões algébricas são compostas por termos e cada termo é o produto de uma constante diferente de zero e variáveis com potência formada por números inteiros positivos como 4x2 9xy ou 6xy2z Então os termos podem ser compostos por dois ou mais fatores Um fator constante como 6 no termo 6x é chamado de coeficiente da variável mas o ter mo constante quando isolado como o 7 em 7 x y é chamado de constante A parte variável do termo pode ser constituída de uma variável ou do produto de duas ou mais variáveis como x2 xy ou xy2z 2441 Adição e subtração de expressões algébricas Podemos somar ou subtrair termos pela combinação de termos semelhantes que são termos que têm exatamente a mesma parte variável diferindo somente em seus coeficientes numéricos Os termos 4x e 7x são semelhantes uma vez que ambos têm a mesma parte variável o x eles diferem somente no valor dos coeficientes 4 e 7 Os termos 4x2 e 6x não são termos seme lhantes uma vez que uma parte variável é x e a outra parte variável é x2 Métodos quantitativos matemáticos 30 Termos semelhantes são combinados pela soma de seus coeficientes usando as regras para a soma de números reais e mantendo a parte variável do termo É a lei distributiva que nos possi bilita combinar termos dessa maneira Exemplo 1 a 2x 4x 2 4x 6x b 8xy2 9xy2 8 9xy2 17xy2 Quando expressões algébricas são adicionadas ou subtraídas somente os termos semelhan tes podem ser combinados 2442 Multiplicação de expressões algébricas A multiplicação de expressões algébricas é realizada pela multiplicação dos termos Então o produto deve ser simplificado o máximo possível pela combinação dos termos Para multiplicar dois termos multiplicamos seus coeficientes usando as leis dos números reais Então multiplicamos suas partes variáveis usando as regras dos expoentes Exemplo 2 a 3x 5x 3 5x x 15x2 b 4x2y 5xy 4 5x2 xy y 20x3y2 Para multiplicarmos duas expressões multiplicamos cada termo de uma expressão por cada termo da outra expressão Exemplo 3 x 5 x3 4x2 3x x x3 4x2 3x 5 x3 4x2 3x x4 4x3 3x2 5x3 20x2 15x x4 9x3 17x2 15x 2443 Fatorando expressões algébricas Quando duas ou mais expressões são multiplicadas as expressões são chamadas de fatores da multiplicação Quando escrevemos x2 2x 3 x 3x 1 nós estamos fatorando a expres são original Esse procedimento é baseado no uso das seguintes leis distributivas ax ay az ax y z ax by bx ay a bx y x2 a bx ab x ax b acx2 ad bcx bd ax bcx d x2 2ax a2 x a2 x2 2ax a2 x a2 x2 a2 x a x a x3 a3 x a x2 ax a2 x3 a3 x a x2 ax a2 Operações com números reais 31 Exemplo 4 Fatorar a x2 x 56 x 8 x 7 b 9y2 42y 49 3y 72 245 Expressões algébricas na forma fracionária Uma expressão racional é uma razão entre duas expressões algébricas sempre lembrando que o denominador jamais poderá assumir o valor zero Exemplos de tais expressões são 5 1 2 2 1 6 2 3 4 2 x x x x xyz x x x As regras que governam as operações matemáticas de números reais escritos como fração se estendem para essas operações com expressões algébricas que estão na forma fracionária 2451 Soma e subtração de expressões algébricas racionais Para somar ou subtrair duas expressões cada uma delas na forma fracionária e que têm o mesmo denominador somamos ou subtraímos os termos nos numeradores mantendose o mesmo denominador Se as duas frações tiverem diferentes denominadores usamos o princípio fundamental de frações calcado no estudo do mínimo múltiplo comum tornando todas as frações com mesmo denominador e finalizando a operação da forma escrita no parágrafo anterior Exemplo 1 a x x x x x 1 5 1 5 1 b J 2 1 4 1 2 x x x x x mmc J x x x x x x x x x x x x 1 1 2 1 4 1 1 2 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 2 x x x x x x x 2452 Multiplicação de expressões algébricas racionais Para multiplicarmos duas expressões que estão na forma racional multiplicamos os nume radores e então multiplicamos os denominadores Exemplo 2 x x x x x x x x x x x x 2 1 3 1 2 3 5 6 2 2 3 2 Eventualmente pode ser desejável deixar tanto o numerador como o denominador na forma fatorada Métodos quantitativos matemáticos 32 2453 Divisão de expressões algébricas racionais Para dividir duas expressões que são escritas como frações repetimos a primeira fração numerador e multiplicamos a segunda fração denominador invertida Exemplo 3 x x x x x x x x x x x x 4 5 3 4 3 5 3 4 5 3 12 5 2 Para dividir um termo por outro termo dividimos os coeficientes usando as leis dos núme ros reais Então dividimos as variáveis usando as regras do expoente Exemplo 4 a 18 6 18 6 3 6 2 6 2 4 x x x x x b 8 4 8 4 2 3 4 2 3 4 2 2 2 x y z xy z x y y z z x y x Para dividir uma expressão algébrica por um único termo dividimos cada termo da expres são algébrica pelo termo comum e somamos algebricamente os quocientes Exemplo 5 6 15 5 6 15 5 6 15 5 6 5 15 2 2 2 2 x y xy xy xy x y xy xy xy xy xy x y x y Com intuito de facilitar o estudo sugerese que se proceda a fatoração dos membros e em seguida simplifiquese os termos comuns como já foi visto anteriormente Exemplo 6 x x x x x x x 2 7 12 4 4 3 4 3 Lembrete importante o último estudo só tem sentido se x 4 Cuidado a b c b a c Os valores b não podem ser cancelados porque não são fatores 246 Equações Uma equação é uma declaração matemática de igualdade entre duas expressões Equações podem envolver uma ou mais variáveis Exemplos de equações com uma variável são 2x 1 0 e x2 4 enquanto x y 6 e x 1 y 6 são equações com duas variáveis Operações com números reais 33 Existem dois tipos de equações identidades e equações condicionais Uma identidade é uma equação que é verdadeira para todos valores permitidos das variáveis envolvidas como 3 1 6 2 2 3 3 3 x x x y x y e Qualquer valor que x assuma valerá para os dois lados da equação Uma equação condicional é verdadeira somente para um número limitado de valores da variável A equação x 2 5 tornase uma declaração verdadeira somente para o valor de x 3 Se uma equação contém somente uma variável qualquer valor dessa variável que torne a equação verdadeira é chamado de solução ou raiz da equação A solução da equação x 2 8 é x 6 Uma solução para uma equação com duas variáveis tais como x e y é qualquer par ordenado de valores x y que produza uma declaração correta quando substituído por x e y respectivamente na equação Por exemplo x 2 y 5 ou compactamente 25 é uma solução para a equação 3x y 11 uma vez que a substituição de 2 para x e 5 para y produzirá 3 2 5 11 uma declaração correta Note que 18 também representa uma solução para a mesma equação uma vez que 3 1 8 11 Existem de fato infinitos pares ordenados de valores para as variáveis que representam soluções Todos esses pares ordenados são chamados de membros do conjunto solução para a equação dada 2461 Encontrando a solução de uma equação O procedimento seguido para se encontrar a solução ou as soluções de uma equação depende da natureza da equação De fundamental importância para resolver uma equação é transformála por meio de operações matemáticas em equações equivalentes mais simples Duas equações são equivalentes se e somente se elas tiverem o mesmo conjunto de solu ções Por exemplo 3x 1 10 e 3x 9 são equivalentes uma vez que ambas têm a mesma solução x 3 Da mesma forma 2x y 5 e 4x 2y 10 são equações equivalentes porque qualquer par x y de soluções para uma equação tam bém serviria para a outra As seguintes operações de equivalência podem ser aplicadas em uma equação para se obter uma equação equivalente uma mesma constante pode ser adicionada ou subtraída dos dois membros de uma equação ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados ou divididos por uma mesma constante diferente de zero Métodos quantitativos matemáticos 34 um termo que aparece em ambos os lados de uma equação pode ser adicionado ou subtraído de ambos os lados da equação Para ilustrar essas operações vejamos que da equação 3x 1 10 podemos subtrair o valor 1 de ambos os lados e teremos 3x 9 Multiplicando cada membro da equação 2x y 5 pela cons tante 2 obtemos a equação equivalente 4x 2y 10 Devemos construir equações equivalentes até isolar a variável desejada para obtermos uma solução para a equação Exemplo 1 Encontre o valor do número real x para que 3x 2 13 seja verdadeira 3 2 13 3 2 2 13 2 3 15 3 1 3 15 1 3 5 x x x x x Então o valor de x que satisfaz a equação 3x 2 13 é x 5 2462 Procedimentos adicionais de solução Existem algumas operações adicionais além das três apresentadas anteriormente que po dem ajudar a resolver equações Ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados ou divididos por uma expres são não nula envolvendo uma variável Ambos os membros de uma equação podem ser colocados em uma mesma potência Exemplo 2 Para resolver a equação fracionária 4 3 3 2 x x primeiro a transformaremos em uma igual dade sem a presença de frações Achase o mmc D entre os denominadores x 3 e x 2 e em seguida aplicamos o procedimento visto anteriormente sem utilizar o denominador comum Assim D x 3x 2 4x 2 3x 3 4x 3x 8 9 x 17 Como multiplicamos ambos os membros da equação por uma expressão envolvendo uma variável devemos verificar se a solução da equação realmente satisfaz a equação original Então 4 17 3 3 17 2 4 20 3 15 1 5 1 5 Como ambos os lados da equação são iguais podemos ter a garantia de que x 17 é a solução para a equação original Operações com números reais 35 2463 Encontrando solução por meio da fatoração Quando o produto de duas ou mais quantidades é zero pelo menos uma dessas quantidades deve ser nula Em razão desse princípio a fatoração pode ser muito eficientemente usada para en contrar solução para muitas equações Exemplo 3 Para encontrar as soluções da equação x2 3x 2 0 podemos fatorar o membro esquerdo encontrando o produto x 1x 2 0 e finalmente achar as raízes x 1 e x 2 E assim obtemos as soluções para a equação original x 1 e x 2 Atividades 1 Calcule o valor da expressão 2 3 2 9 1 1 4 1 3 2 2 Qual é o valor da expressão 1 48 24 3 Calcule a soma dos quadrados mais o quadrado da soma dos números 2 e 3 4 Efetue 8 5 4 5 2 5 5 Efetue 5 4 32 28 7 4 8 3 6 Calcule o valor numérico da expressão a b c a b c a b c para a b 10 e c 1 7 Calcule o valor da expressão 7 3 14 1 3 1 8 Eu sou 26 anos mais velho do que minha filha Qual é a minha idade se é o triplo da de minha filha 9 Quanto se deve somar a a2 b2 para se obter o quadrado de a b 10 Se 3 4 do meu ordenado é R 66000 qual é o meu ordenado Efetue 11 a 1 9 2 9 5 9 b 3 1 5 12 a 2 3 1 4 b 2 3 5 2 5 5 13 a 2 3 5 b 25 5 9 13 14 a 1 5 3 4 2 5 b 2 3 5 1 3 2 Métodos quantitativos matemáticos 36 15 a 3 4 1 2 2 3 b 3 5 2 5 2 16 a 3 5 2 7 5 b 2 3 4 3 2 17 a 1 100 1 25 b 2 3 4 3 2 18 a 2 3 4 3 2 b 2 3 4 5 2 4 15 1 19 Comprei um apartamento por R 42000000 Paguei 2 3 de entrada e o resto em 10 meses Quanto dei de entrada 20 O lucro de uma sociedade em 2017 foi igual a R 140000000 Esse lucro foi dividido entre os três sócios de modo que o primeiro recebeu 2 3 da parte do segundo e este 4 5 da parte do terceiro Qual é a parte de cada um 21 Calcule 4 8 3 32 2 3 5 22 Escreva em forma de potência a b c 20 10 2 3 2 3 23 Calcule o valor da expressão 2 27 3 5 2 2 3 0 24 Escreva na forma de radical a b c 10 5 2 2 3 1 2 3 4 25 Calcule o valor a b c 64 1 64 3 6 26 Calcule o valor a b c 8 25 32 1 3 1 2 1 5 27 Calcule o valor da expressão 8 16 1 2 8 3 1 4 2 4 3 28 Calcule o valor da expressão 4 0 5 0 25 8 4 2 3 Operações com números reais 37 29 Simplifique a expressão 2 2 9 6 3 4 9 3 6 4 30 Calcule a soma 3 5 45 2 20 Calcule os valores numéricos 31 x2 3x 1 quando x 4 32 a b a b 2 2 quando a 3 b 3 33 xy x y x y 2 1 10 1 100 quando 34 x y x y x y 2 2 1 2 3 2 quando 35 Sabendose que a 5 b 4 c 3 e p a b c 2 calcule o valor numérico de pp ap b p c Reduza à expressão mais simples 36 2x 33 2x 21 x 37 3a2 a 1 2a2 2a 2 a2 3a 3 38 xx2 xy y2 yx2 xy y2 39 aa b c bb c a ca b c 40 Se x a b a b y a b a 2 2 1 1 2 3 1 e calcule o valor de x y quando a 2 e b 1 Fatore 41 a 8x 6y 2z b x2 x 6 42 a 8x2 14x 3 b x2 9 43 a x3 8 b x3 1 44 a x 5x 2 b a 33 a 45 a x 2x 2 b xm 2y33 46 a x3 32 b 05x2y1 2xy23 Métodos quantitativos matemáticos 38 47 Quanto se deve subtrair de a 33 para obter a 23 48 Elevando x ao quadrado obtemos a2 2ab b2 Qual é o valor de x 49 Qual é o produto de 2 3 2 3 2 2 a b a b por 50 A igualdade a2 b2 c2 a c2 é verificada para qual valor de b2 51 Se x y 2 3 3 2 3 3 e calcule x y 52 Se A 4 2 8 32 calcule o valor de A1 53 Simplifique a expressão 3 2 3 2 3 2 2 Efetue as operações indicadas 54 x x x x 1 1 1 1 55 x y x y x y x y 3 3 3 3 56 a b x a a b x a bx a x a 2 2 4 2 2 2 2 57 1 1 a b a b a b a b 58 1 1 1 1 2 2 2 x y x y Reduza a expressões mais simples 59 x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 60 a b ab b a b a b 2 2 2 2 2 2 Resolva no conjunto dos números reais as seguintes equações 61 x 12 0 62 x2 x 0 63 4x2 1 0 64 Resolva a equação x x x x x x 1 1 1 1 1 1 Operações com números reais 39 Dê o conjunto solução das equações a seguir 65 x 2 2 2 66 x x 2 3 3 2 1 67 x x 2 4 2 8 5 5 68 x x x x 1 1 2 5 3 3 69 Quando o número x na equação k 3x 2k 5 4 4k 0 vale 3 qual será o valor de k 70 A expressão 1 2 2 3 3 5 5 8 é igual a a 287 120 b 287 12 c 280 120 d 287 100 71 O resultado da equação 4 3 10 3 4 1 x x é a 1 4 b 10 3 c 1 d 34 7 72 Determine o valor da expressão x y y x 2 2 2 para x 2 e y 1 2 a 0 b 025 c 05 d 075 3 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 31 O problema Um grupo de exatamente 1000 consumidores entrou em uma loja durante um dia Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres 525 abriram crediário na loja 325 fizeram alguma compra 40 mulheres abriram crediário mas não fizeram compras 150 consumidores compra ram e abriram crediário 30 mulheres fizeram compras mas não abriram crediário e 50 mulheres abriram crediário e compraram algum produto Podese concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de comprar Ou de outra forma as mulheres vão às lojas e compram menos ou não abrem tanto crediário quanto os homens 32 Explorando o problema A resposta a esse tipo de problema está diretamente relacionada à construção de conjuntos e operações de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos Uma forma de resolver o problema é por meio da construção de Diagramas de Venn A Teoria dos Conjuntos serve como um dos pilares da matemática moderna Não somente for nece o veículo para o desenvolvimento de definições precisas para importantes conceitos de relações e funções como também serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos Assim a Teoria dos Conjuntos ajuda na análise de um número significativo de problemas nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptáveis a técnicas algébricas convencionais Além disso um conhecimento dos concei tos fundamentais da Teoria de Conjuntos pode pavimen tar o caminho para a compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica como o conjunto N dos números naturais que pode ser apresentado como já vimos da seguinte forma N 0 1 2 3 4 5 6 Ou alternativamente por meio do chamado Diagrama de Venn 1 2 3 6 4 5 Essa representação por meio do Diagrama de Venn será muito utilizada na discussão acerca das relações e das funções Aquelas discutidas ainda neste capítulo e estas em capítulo subsequente Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 42 A solução do problema pode facilmente se dar com noções básicas da Teoria dos Conjuntos e com a utilização de Diagramas de Venn Nas discussões sobre relações e funções além desses instrumentos já citados será fun damental a construção de gráficos com o plano cartesiano que também será objeto de estudo neste capítulo 33 Equacionando o problema Um conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos No problema colocado te mos um primeiro importante conjunto chamado de conjunto dos consumidores Dele fazem parte todas as pessoas mulheres e homens que frequentaram uma determinada loja em certo dia No problema esse conjunto foi relatado como tendo 1000 elementos Um conjunto é portanto formado por elementos que tenham uma característica de interes se em comum No caso são pessoas que entraram na loja naquele dia Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre eles em dis tintos novos conjuntos esses novos conjuntos são parte do conjunto original e são chamados de subconjuntos Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos como o subconjunto dos homens e o subconjunto das mulheres o subconjunto dos que compraram alguma mercadoria e o dos que não compraram nada e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que não o abriram Cada um desses três grupos de subconjuntos apresentados divide o conjunto original também chamado de conjunto universo U em duas partes excludentes homens e mulheres compradores e não compradores e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram Cada um desses subcon juntos dois a dois não têm elementos em comum O subconjunto das mulheres só tem mulheres e o subconjunto dos homens só tem homens Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos disjuntos Sua representação gráfica por meio do Diagrama de Venn pode ser apresentada como a seguir Figura 1 Diagrama de Venn mulheres e homens Mulheres Homens U Fonte Elaborada pelo autor No entanto como as características desses três grupos de subconjuntos são diferentes pode haver interseção entre eles Mulheres podem comprar ou não assim como podem abrir crediário Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 43 ou não Assim uma representação completa do problema pode ser feita por meio do seguinte Diagrama de Venn Figura 2 Diagrama de Venn representação completa A C M H U 1 000 40 Fonte Elaborada pelo autor Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado Por exemplo as mulheres que não compraram mas abriram crediário 40 estão representadas no diagrama pela cor cinza 34 Conceitos e regras 341 Teoria dos Conjuntos 3411 O conceito de conjunto subconjunto e seus elementos Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos Nós estamos to dos familiarizados com tais noções de um conjunto de pratos ou um conjunto de clubes de futebol Mas os objetos contidos em um conjunto não precisam ser tão con cretos como os dos exemplos mencionados Conceitos abstratos como todos os intei ros positivos todos os pontos em um intervalo a b de uma reta e todos os números racionais não negativos também podem ser encontrados em um conjunto Os itens que pertencem a um conjunto então podem ser de qualquer tipo pessoas coisas localizações geográficas figuras geométricas resultados de pesqui sas Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento ou membro do conjunto Para se formar um conjunto a coleção de objetos deve encontrar dois requerimentos Primeiro o agregador deve estar bem definido Os itens individuais devem ter uma característica ou características que os façam pertencer a um conjunto particu lar Uma regra ou um método deve existir para que seja possível determinar se um objeto seja ele qual for é ou não membro do conjunto em questão Segundo os elementos de um conjunto são distintos Nenhum conjunto pode ter o mesmo elemento duas vezes Quando um objeto já estiver listado como elemento de um conjunto não poderá mais ser repetido O conjunto de letras da palavra CURITIBA por exemplo não é um Vídeo Vídeo Vídeo Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 44 conjunto que contém oito letras mas sim um conjunto com sete letras distintas C U R I T B A A sequência na qual os elementos são listados quando são enumerados é insignificante 3412 Notação dos conjuntos Normalmente as letras maiúsculas tais como A B X e Y são usadas para denotar os con juntos enquanto as letras minúsculas tais como a b x e y são usadas para representar os elemen tos individuais de um conjunto Os conjuntos podem ser descritos de duas formas Listagem dos elementos todos os elementos do conjunto são listados separados por vírgulas e fechados por chaves Regra a regra que pode ser usada para determinar se um objeto pertence ou não a um conjunto é iniciada e encerrada por chaves Assim o conjunto A que contém os inteiros entre 5 e 10 pode ser escrito como A 6 7 8 9 Essa notação é lida O conjunto A cujos elementos são 6 7 8 e 9 O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como A xx é um inteiro e está entre 5 e 10 A x5 x 10 Essa notação pode ser lida A é um conjunto de todos os as tal que a seja um inteiro entre 5 e 10 3413 Elementos de um conjunto Na notação de conjunto o símbolo significa é um elemento de ou pertence a ou é um membro de um conjunto Já o símbolo significa não é um elemento de ou não pertence a um conjunto Exemplo 1 O conjunto X xx é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente divisível por 4 Então 8 X mas 7 X Exemplo 2 A letra a representa o Sr Costa e a letra B representa o conjunto de diretores do Banco do Brasil Então a B indica que o Sr Costa é um membro da diretoria do banco a B indica que o Sr Costa não é um membro da diretoria do banco 3414 Conjuntos finitos e infinitos Se um conjunto tem um número definido de elementos ele é chamado de conjunto finito É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 45 Se o número de elementos de um conjunto não tem limite o conjunto é chamado de conjunto infinito Um exemplo simples de um conjunto infinito é o conjunto de números inteiros positivos Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos discretos Um conjunto contínuo é um conjunto infinito não enumerável 3415 Conjuntos iguais Dois conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se cada um deles contiver exatamente os mesmos elementos A igualdade entre conjuntos é simbolizada da seguinte forma A B ou B A Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que não pertença ao outro conjunto então os dois conjuntos não são iguais Essa desigualdade é simbolizada da seguinte forma A B ou B A 3416 Conjunto universo Em qualquer análise quando a Teoria dos Conjuntos é empregada um conjunto básico que contém todos os elementos a serem considerados naquela investigação está tacitamente assumido de existir Esse conjunto é chamado de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U Todos os outros conjuntos considerados na investigação são definidos nesse conjunto básico Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada problema ou investi gação diferente 3417 O conjunto vazio O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo sím bolo ou por Exemplo 3 O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 se gundos é um exemplo de conjunto vazio 3418 Subconjuntos Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B A é chamado de subconjunto de B A relação é simbolizada por A B e se lê A é subconjunto de B ou A está contido em B Também A B indica que todo elemento pertencente ao conjunto A é também um elemento de B Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que a sentença A é um subconjunto de B seja verdadeira Exemplo 4 Dado A 1 2 B 1 2 3 e C 2 3 4 o conjunto A é um subconjunto do conjunto B mas A não é subconjunto de C Isto é A B mas A C 3419 Representação gráfica de conjunto Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos é útil fazer uma represen tação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles Diagramas de Venn são usados para ilustrar de forma descritiva os conjuntos Métodos quantitativos matemáticos 46 Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o conjunto universo U en quanto os círculos ou as elipses ou outras formas simples são desenhadas dentro do retângulo para descrever subconjuntos de U A única condição é que os símbolos usados para representar os subconjuntos devem estar dentro da caixa que representa o conjunto universo O tamanho e a forma das configurações não têm nenhuma influência direta com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos A Figura 3 mostra os subconjuntos A B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra que B A A B e B C Figura 3 Diagrama de Venn A B C Fonte Elaborada pelo autor 34110 Número de subconjuntos de um conjunto Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise particular todos os conjuntos que podem ser formados de elementos de U são conhecidos como subconjuntos de U O número total de possíveis subconjuntos depende do número de elementos de U Um conjunto com n elementos tem 2n possíveis subconjuntos Assim um conjunto com 3 elementos tem 23 8 possíveis subconjuntos Por exemplo o conjunto A 123 tem os subconjuntos 123 12 13 23 1 2 3 e o conjunto vazio Um conjunto de 10 elementos tem 210 1024 subconjuntos 342 Produto cartesiano de conjuntos Um par ordenado é um par de objetos no qual a sequência em que os objetos aparecem deve ser considerada A notação a b é usada para representar um par ordenado em que a é o primeiro componente e b é o segundo componente O par ordenado a b é muito diferente do conjunto a b que contém dois elementos a e b No conjunto a b não existe o primeiro componente porque a ordem na qual os elementos do conjunto são listados é irrelevante Assim apesar de o conjunto a b ser igual ao conjunto b a o par ordenado a b não é igual ao par ordenado b a Dois pares ordenados são iguais se e so mente se seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 47 Sempre que tivermos dois conjuntos podemos formar pares ordenados pegando o pri meiro componente dos elementos de um conjunto e o segundo componente dos elementos do segundo conjunto Se A e B são dois conjuntos o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro componente é pego do conjunto A e o segundo componente é pego do conjunto B é chamado de produto cartesiano de A por B referência ao matemático René Descartes e é denotado A x B nor malmente lido como A por B Em notação simbólica A x B a b a A e b B Se A e B são conjuntos finitos tal que A contém m elementos a1 a2 am e B contém n ele mentos b1 b2 bn A x B é um conjunto que contém os seguintes m x n elementos a1 b1 a1 b2 a1 bn a2 b1 a2 b2 a2 bn am b1 am b2 am bn Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o segundo elemento do conjunto A o conjunto produto cartesiano será B por A denotado B x A Exemplo 1 Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma moeda A C K onde C é cara e K é coroa Seja o conjunto B 1 2 3 4 5 6 os possíveis resultados do lançamen to de um dado Os conjuntos que seguem são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem ser formados A x B C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 B x A 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K A x A C C C K K C K K Esse conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n conjuntos Se A B e C forem conjuntos várias construções podem ser feitas O produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um novo conjunto o qual pode ser combinado com C para formar A x B x C Ou B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinação B x C x A pode ser feita e assim por diante 3421 Relações A relação entre o conjunto A e o conjunto B denotado por R é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B O número de relações em qualquer produto cartesiano depende do nú mero de pares ordenados naquele conjunto em particular Se o número de pares ordenados for p o número de relações será 2p Exemplo 2 Se A a1 a2 e B b1 b2 o conjunto produto cartesiano A x B Y contém 2 2 4 pares ordenados como segue Métodos quantitativos matemáticos 48 Y A x B a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 Todo subconjunto de pares ordenados desse produto cartesiano é uma relação Aqui temos 24 16 relações como segue R1 a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 R2 a1 b1 a1 b2 a2 b1 R3 a1 b1 a1 b2 a2 b2 R4 a1 b1 a2 b1 a2 b2 R5 a1 b2 a2 b1 a2 b2 R6 a1 b1 a1 b2 R7 a1 b1 a2 b1 R8 a1 b1 a2 b2 R9 a1 b2 a2 b1 R10 a1 b2 a2 b2 R11 a2 b1 a2 b2 R12 a1 b1 R13 a1 b2 R14 a2 b1 R15 a2 b2 R16 Exemplo 3 Um dado branco e um dado preto são lançados B representa os possíveis resultados do dado branco e P os possíveis resultados do dado preto Então B P 1 2 3 4 5 6 No conjunto pro duto cartesiano B x P existirão 6 6 36 elementos que são pares ordenados O produto pode ser denotado simbolicamente como X B x P b p b B e p P Existem 236 possíveis relações Exemplos específicos para essas relações que podem ser de especial interesse são R1 b p b p e b p B x P Os pares ordenados dessa relação são R1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação R2 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco são sempre maiores que os valores do dado preto Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 49 3422 Domínio e contradomínio de uma relação O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados em R O contradomínio da relação R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares or denados em R 3423 Funções Uma função é um caso especial de uma relação Qualquer subconjunto de A x B é uma rela ção A relação é uma função de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um único elemento do conjunto B Em outras palavras se cada elemento do domínio estiver associado a um elemento no con tradomínio a associação é chamada de função Observe então que o número de pares ordenados em uma função é igual ao número de elementos no conjunto A o conjunto que fornece o primeiro componente dos pares ordenados Exemplo 4 Nós vimos no Exemplo 2 que se A a1 a2 e B b1 b2 temos 16 relações ou subconjun tos possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B Dessas relações somente quatro estão em conformidade com a definição de uma função Essas quatro funções são R7 a1 b1 a2 b1 R8 a1 b1 a2 b2 R9 a1 b2 a2 b1 R10 a1 b2 a2 b2 Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados ou n A pares ordenados a1 aparece como o primeiro elemento uma vez e a2 aparece como primeiro elemento uma vez em cada função Não há distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada 343 Operações com conjuntos Como os números podem ser combinados pelas operações básicas da matemática adição subtração multiplicação e divisão para formar um novo número os conjuntos também podem ser combinados para formar um novo conjunto Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do mesmo conjunto uni verso O novo conjunto formado será também subconjunto do mesmo conjunto universo As operações básicas usadas com conjuntos são complemento interseção e união entre conjuntos 3431 Complemento de conjuntos O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o conjunto que contém todos os elementos de U que não estão em A Métodos quantitativos matemáticos 50 Exemplo 1 Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfa beto Se A é o subconjunto de U que contém todas as vogais então todas as consoantes formam outro subconjunto também um subconjunto de U que é conhecido como o complemento de A com relação a U O símbolo Ac que se lê não A ou o complemento de A é usado para representar o complemento de A ver Figura 4 A relação pode ser simbolizada como Ac xx U e x A Figura 4 Complemento de conjuntos A Ac U Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 2 O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação ao conjunto uni verso de todos os números reais é o conjunto de todos os números irracionais Exemplo 3 O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que têm 45 anos de idade ou mais com relação ao conjunto universo de todos os empregados da Companhia XYZ é o conjunto cujos elementos são aqueles empregados da Companhia XYZ que têm menos de 45 anos de idade Exemplo 4 O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o conjunto vazio e o com plemento do conjunto vazio com relação ao conjunto universo é o próprio conjunto universo U 3432 Interseção A interseção de dois conjuntos A e B denotada por A B lêse A interseção com B ou A inter B é o conjunto dos elementos que per tencem a ambos os conjuntos A e B Simbolicamente A B xx A e x B A interseção de dois conjuntos é mostrada na Figura 5 A B a interseção de A e B é mos trada pela área mais escura Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 51 Figura 5 Interseção de conjuntos U B A A B U B A A B Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 5 Se A 2 4 6 8 e B 3 4 7 então A B 4 Exemplo 6 Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros amarelos estacionados em um estacionamento particular e os elementos do conjunto B são todos os da marca M estacio nados no mesmo estacionamento a interseção de A e B A B é o conjunto de todos os carros da marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular Exemplo 7 Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um determinado estaciona mento e o conjunto B contém todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento então Bc contém todos os carros que não são da marca M e A Bc contém todos os carros amarelos exceto os da marca M e amarelos ver Figura 6 Figura 6 Intersecção dos conjuntos A e B B A U Fonte Elaborada pelo autor A notação da interseção pode facilmente ser generalizada a situações que envolvem mais de dois conjuntos Assim a interseção dos conjuntos A1 A2 An escrito A1 A2 An é o conjunto dos elementos comuns a todos os conjuntos A1 A2 An Exemplo 8 Definimos um conjunto universo U cujos elementos são todos os membros da força de tra balho No conjunto A estão os elementos que são empregados da Companhia XYZ no conjunto B estão todos os membros femininos da força de trabalho e no conjunto C estão todos os membros da força de trabalho que possuem menos de 25 anos A interseção desses conjuntos A B C será o conjunto de mulheres empregadas na companhia XYZ que têm menos de 25 anos Métodos quantitativos matemáticos 52 3433 Conjuntos disjuntos Se dois conjuntos A e B não tiverem elementos em comum A B os conjuntos são ditos conjuntos disjuntos Em um Diagrama de Venn como é mostrado na Figura 7 os conjuntos disjuntos são mostrados como não tendo nenhuma área sobreposta Figura 7 Conjuntos disjuntos U A B Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 9 Se o conjunto universo U contém 52 cartas de um baralho e se dois subconjuntos forem definidos como R cartas vermelhas e B cartas pretas então R B Os conjuntos R e B são conjuntos disjuntos 3434 União A união de A e B denotada por A B quando A e B são dois conjuntos definidos em um conjunto universo U contém aqueles elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos A B xx A ou x B A B a união de A e B é mostrada na Figura 8 Figura 8 União de conjuntos U B A B A U Fonte Elaborada pelo autor Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 53 Exemplo 10 Se A 1 2 3 4 e B 2 4 6 8 então A B 1 2 3 4 6 8 Exemplo 11 Se o conjunto A contém todos os carros amarelos de um estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da marca M desse estacionamento a união de A e B A B contém todos os carros amarelos mais os carros da marca M de outras cores do estacionamento A notação de união pode ser estendida para os casos que envolvem mais do que dois con juntos A união dos conjuntos A1 A2 An denotada como A1 A2 An é o conjunto de elementos que estão pelo menos em um dos conjuntos A1 A2 An Exemplo 12 Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U cujos elementos são todos os moradores de Curitiba A xx é um professor universitário B xx é uma pessoa casada C xx tem menos de 35 anos Então o conjunto A B C representa todos os moradores de Curitiba que são ou profes sores ou casados ou têm menos de 35 anos ver Figura 8A O conjunto de moradores que são casados professores e abaixo de 35 anos é denotado da seguinte forma A B C ver Figura 8B O conjunto de moradores que são ou professores ou casados mas têm menos de 35 anos pode ser descrito pela seguinte notação A B C ver Figura 8C Ou o conjunto de moradores que são professores não são casados mas têm mais de 35 anos de idade pode ser simbolizado por A Bc Cc ver Figura 8D Figura 8A A B C U B C A Fonte Elaborada pelo autor Figura 8B A B C U A B C Fonte Elaborada pelo autor Métodos quantitativos matemáticos 54 Figura 8C A B C U B C A Fonte Elaborada pelo autor Figura 8D A Bc Cc U A B C Fonte Elaborada pelo autor 3435 Partição Uma coleção de subconjuntos é dita exaustiva se sua união contiver cada um dos elementos no conjunto universo em que eles estão definidos Um grupo de conjuntos que são mutuamente excludentes e exaustivos é chamado de uma partição Tal partição está mostrada na Figura 9 Figura 9 Partição de conjuntos U B C A D Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 13 Dado um conjunto universo U 1 2 3 4 5 a coleção de subconjuntos A 1 2 B 3 e C 4 5 forma uma partição de U Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos é claro Por exemplo a coleção de subconjuntos D 1 E 3 5 e F 2 4 também forma uma partição do conjunto universo dado acima Dados dois conjuntos A e B que não são disjuntos o conjunto A pode ser particionado em dois subconjuntos disjuntos A B e A Bc Além disso a união dos dois conjuntos A B pode ser particionada em três subconjuntos disjuntos A Bc A B Ac B conforme ilus trado na Figura 10 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 55 A A B U A Bc e A U B A Bc U A B U Ac B Figura 10 União particionada dos conjuntos A e B U B A A B Ac B A Bc Fonte Elaborada pelo autor 344 Número de elementos em grupos de conjuntos finitos O número de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por nA Por exemplo se A 1 2 3 4 então nA 4 Nós estamos frequentemente interessados em saber o número de elementos em várias com binações dos conjuntos finitos As observações que seguem serão úteis em tais situações 1 O conjunto nulo não contém elementos isto é n 0 2 Um conjunto não vazio não pode ter um número negativo de ele mentos isto é nA 0 se A não for vazio 3 Se A e B forem dois conjuntos disjuntos eles não têm elementos em comum e o conjunto A B é um conjunto vazio isto é nA B 0 se A e B forem conjuntos disjuntos 4 Se A e B forem dois conjuntos disjuntos o número de elementos em A B é igual ao número de elementos em A mais o número de elementos em B isto é nA B nA nB se A B 5 Para qualquer um dos dois conjuntos A e B o número de elementos em A B é igual ao número de elementos em A mais o número de elementos em B menos o número de elementos que são comuns aos dois conjuntos isto é nA B nA nB nA B 6 Para qualquer um dos dois conjuntos A e B que não sejam disjuntos o conjunto A pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A B e A Bc ver Figura 11 Assim nA nA B nA Bc A A B A Bc assim nA nA B nA Bc Métodos quantitativos matemáticos 56 Figura 11 Conjunto A particionado U B A A B A Bc Fonte Elaborada pelo autor 7 Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B são definidos o conjun to universo pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A B e A Bc ver Figura 12 Assim nU nA B nA Bc U A B A Bc assim nU nA B nA Bc Figura 12 Conjunto U particionado U A Bc B A A B Fonte Elaborada pelo autor 8 O conjunto A Bc e o conjunto Ac Bc são iguais porque eles contêm precisamente os mesmos elementos ver Figura 13 Assim nAc Bc nA Bc E como nU nA B nA Bc nAc Bc nU nA B Figura 13 Conjuntos iguais A B U Ac Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 57 B A U Bc A B U Ac Bc A Bc Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 1 Dado A 1 2 3 4 5 e B 6 7 8 então nA 5 e nB 3 Podemos perceber que A e B não possuem elementos em comum Assim A B e nA B 0 Também A B 1 2 3 4 5 6 7 8 e nA B nA nB 5 3 8 Exemplo 2 Dado A 2 3 4 5 e B 2 4 6 então nA 4 e nB 3 Nesse caso A B 2 4 e nA B 2 O conjunto A B 2 3 4 5 6 e nA B 5 Quando A e B não forem disjuntos o número de elementos de A B não será a soma de nA e nB mas sim nA B nA nB nA B Daí 5 4 3 2 Os Diagramas de Venn são muito úteis para se determinar o número de elementos nas com binações de conjuntos finitos como mostra o exemplo seguinte Exemplo 3 Em um dia 325 pessoas pararam em bancas de jornal Dessas 185 compraram o Jornal A 150 compraram o Jornal B e 95 compraram ambos Quantas pessoas não compraram nenhum jornal Quantas pessoas compraram o Jornal A mas não compraram o Jornal B Quantas pessoas compraram o Jornal B mas não o A Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais O Diagrama de Venn na Figura 14 nos ajudará a responder a essas questões Primeiro vamos definir o conjunto A que contém todos os compradores do Jornal A e o conjunto B que contém todos os compradores do Jornal B Métodos quantitativos matemáticos 58 Então cuidadosamente rotulamos as regiões no Diagrama de Venn Usando a informação de que 95 pessoas compraram ambos os jornais isto é nA B 95 colocaremos esse número na região que corresponde a A B Depois como nA nA B nA Bc daí nA Bc 185 95 90 então colocare mos esse número na região apropriada Também nB nA B nAc B daí temos que nAc B 150 95 55 Novamente colocaremos esse número na região apropriada Para se determinar o número de pessoas que não comprou jornal nós particionaremos o conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos isto é U A B A Bc Assim temos nU nA B nA Bc Além disso temos que A B A Bc A B Ac B Então nesse caso nA B 90 95 55 240 Com esse resultado obtemos nA Bc 325 240 85 Em resumo nós determinamos que 85 pessoas não compraram nenhum dos dois jornais 90 compraram somente o Jornal A e 55 compraram somente o Jornal B Além disso 90 55 145 com praram apenas um dos dois jornais e 325 85 240 compraram pelo menos um dos dois jornais Figura 14 Diagrama jornais A e B U A B 95 Ac B 55 A Bc 90 A B A Bc 85 Fonte Elaborada pelo autor A tabela a seguir representa a situação discutida Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 59 Tabela 1 Conjuntos A e B Conjunto A Ac Total B 95 55 150 Bc 90 85 175 Total 185 140 325 Fonte Elaborada pelo autor Atividades 1 Escreva em símbolos a O Brasil b está na América do Sul A b Angola a não está na América do Sul A c A Venezuela v não pertence às regiões brasileiras R d O Nordeste n pertence às regiões brasileiras R 2 Classifique como falso ou verdadeiro a Equador América do Sul b Sudeste regiões brasileiras c França regiões brasileiras d CentroOeste América do Sul 3 Escreva que o conjunto x é um número ímpar descrevendo os seus elementos e de acordo com a regra 4 Escreva a regra que descreve o conjunto M 3 4 5 6 7 5 Diga se o conjunto A d c a e b é igual ou diferente do conjunto B a b c d e 6 Sejam os conjuntos A 5 6 B 5 6 7 8 e C 5 7 8 a afirmação A B mas A C é falsa ou verdadeira 7 Conjunto unitário é o conjunto que só tem um elemento Classifique os seguintes conjuntos como conjunto vazio ou conjunto unitário a A polígonos que possuem três lados b B x x é um número natural maior que 5 e menor que 6 c C x x é um número par maior ou igual a 3 e menor que 5 8 Diga se a afirmação é falsa ou verdadeira O conjunto B pertence ao conjunto A A B Métodos quantitativos matemáticos 60 9 Seja o conjunto A letras da palavra conjunto Quantos possíveis subconjuntos possuem o conjunto A 10 A afirmação O conjunto vazio não é subconjunto do conjunto universo porque não tem nenhum elemento é falsa ou verdadeira 11 Se A e B são dois conjuntos então o produto cartesiano A x B nunca será igual ao produto cartesiano B x A Falso ou verdadeiro 12 Se B é o conjunto que representa o lançamento de um dado branco e P o conjunto que repre senta um dado preto quantos elementos terá o produto cartesiano B x P 13 Com base no problema anterior diga se o conjunto P x B é igual ao conjunto B x P 14 Ainda com base no problema do exercício número 12 quantas relações podem ser construí das do produto cartesiano B x P 15 Cada relação tem como elemento um par ordenado Quais são as relações unitárias do pro duto cartesiano B x P 16 Descreva como caracterizar quais das relações do produto cartesiano B x P podem ser defi nidas como função 17 As funções definidas acima são casos especiais de relações Verdadeiro ou falso 18 Na relação B x P definida no problema acima quem é o domínio da relação 19 O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto O conjunto vazio é subconjunto dele mesmo 20 Qual é o menor produto cartesiano possível 21 Seja I o conjunto das pessoas idosas isto é pessoas com 60 anos de idade ou mais defina o seu complemento Ic 22 Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn 23 Sejam A 5 7 9 e B o conjunto dos números menores do que 9 e maiores ou iguais a 5 determine a interseção de A com B 24 Represente o resultado anterior em um Diagrama de Venn 25 Se O são as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas e V as cartas vermelhas determine O V 26 Represente o conjunto O V em um Diagrama de Venn 27 Dois conjuntos disjuntos têm como complemento de sua união o conjunto vazio Falso ou verdadeiro 28 Determine a união dos conjuntos do exercício 23 29 Determine a união dos conjuntos do exercício 25 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 61 30 Dado o conjunto universo U 1 2 3 quantas partições desse conjunto podem ser cons truídas Dado A 1 3 5 7 9 e B 2 4 6 8 31 Determine nA e nB 32 Determine nA B 33 Determine nA B Dado A 1 2 3 4 5 e B 1 5 7 34 Determine nA B 35 Determine nA B 36 Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos do problema exposto no início do capítulo referente ao número de homens e mulheres que visitaram a loja durante um dia Represente o resultado por meio de um Diagrama de Venn 37 Sejam A B conjuntos tais que nA 15 nB 25 e nA B 5 qual é o número de elementos da união entre os conjuntos A e B a 45 b 15 c 40 d 35 38 Seja o conjunto A o conjunto formado pelas letras da palavra matemática quantos subcon juntos podem ser formados a 10 b 6 c 1024 d 64 4 Intervalos 41 O problema Um produtor rural deseja aumentar a sua produção de milho aplicando mais adubo na terra Quanto de adubo ele deve colocar para que a produção atinja o má ximo possível Vídeo 42 Explorando o problema Esse problema no geral é tratado por meio de experimentação em campo seguida de um tipo de análise de previsão muito comum em estatística chamada de análise de regressão A ideia é em um campo experimental aplicar quantidades diferentes de adubo desde ne nhum adubo até uma certa quantidade que teoricamente possa potencializar a produção Realizados esses experimentos o analista constrói uma curva que represente o crescimento da produção em razão da quantidade de adubo colocada no solo Essa curva pode ser representada por uma função matemática No geral procurase inicialmente traçar com os dados experimen tais uma reta e verificar por meio de técnicas específicas o quanto aquela reta representa bem o fenômeno estudado Há parâmetros estatísticos para essa determinação O que se pode observar no entanto é que haverá um limite de colocação de adubo a partir do qual não se verificará mais aumentos na produção Assim um intervalo de colocação de adubo deverá ser estabelecido Esse intervalo para o problema colocado irá de zero quilo de adubo até um certo valor máximo E é nesse intervalo que as inferências deverão ser realizadas 43 Equacionando o problema O problema então consiste basicamente em se construir uma equação de uma curva dentro de um certo intervalo de interesse Situações mais complexas podem surgir quando se tiver a ne cessidade de operar com diferentes intervalos Tais situações ocorrem quando mais de uma variável está sendo estudada para a construção desses intervalos Suponhamos por exemplo que a quantidade de cálcio no terreno também possa ser determinante na produção Nesse contexto a técnica estatística utilizada chamada de análise de regressão múltipla poderá exigir que se opere com intervalos Outras técnicas matemáticas podem ser empregadas em estudos parecidos com esse em que se deseje maximizar uma certa função técnicas de pesquisa operacional como programação linear também exigem que se faça estudos sobre intervalos Métodos quantitativos matemáticos 64 No contexto de nossos estudos o domínio do conteúdo de intervalos e de operações com intervalos ajudará imensamente no estudo de funções limites e derivadas 44 Conceitos e regras 441 Intervalos Sendo a e b dois números reais com a b temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos 4411 Intervalos finitos a b x em R a x b a b x em R a x b a b x em R a x b a b x em R a x b Intervalo fechado nos extremos a e b a b x R a x b Exemplo 1 7 9 x R 7 x 9 7 9 R Intervalo fechado em a e aberto em b a b x R a x b a b também pode ser representado por a b Exemplo 2 7 9 x R 7 x 9 7 9 R Intervalo aberto em a e fechado em b a b x R a x b Exemplo 3 7 9 x R 7 x 9 7 9 R Intervalo aberto em a e b a b x R a x b Vídeo Intervalos 65 Exemplo 4 7 9 x R 7 x 9 7 9 R Geometricamente podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas pondose um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade a b a b a b a b 4412 Intervalos infinitos Definiremos o intervalo a ou a como o conjunto de todos os números reais maiores do que a isto é a x em R x a n x R x n Exemplo 5 9 x R x 9 9 R Definiremos o intervalo a como o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a a isto é a x em R x a n x R x n Exemplo 6 9 x R x 9 9 R Definiremos o intervalo a como o conjunto de todos os números reais menores do que a isto é a x em R x a n x R x n Exemplo 7 9 x R x 9 Métodos quantitativos matemáticos 66 9 R Definiremos o intervalo a como o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a a isto é a x em R x a n x R x n Exemplo 8 9 x R x 9 9 R Geometricamente podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades infinitas a a a a Uma notação comum é R Temos também a x R x a b x R x b Observação e não são números reais apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados Qualquer intervalo de extremos a e b com a b contém números racionais e irracionais 442 Operações com intervalos Como intervalos são subconjutos de R é possível fazer operações com eles As operações de interseção união diferença e complementar são as operações bá sicas que podem ser realizadas 4421 Interseção Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos a interseção entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido e B também devendose levar em consideração nas operações com intervalos onde eles são abertos e onde eles são fechados Exemplo 1 Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos A x R 1 x 1 e B 05 determine A B Vídeo Intervalos 67 A B A B 5 0 0 1 1 1 A x R 0 x 1 4422 União Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos a união entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido mais o intervalo em que B está definido Exemplo 2 Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos A x R 1 x 1 e B 05 determine A B A B A B 5 0 0 1 1 1 A B x R 0 x 5 4423 Diferença Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos a diferença entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido e B não Exemplo 3 Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos A x R 1 x 1 e B 05 determine A B A B A B 5 0 0 1 1 1 A B x R 1 x 0 4424 Complementar Seja o conjunto A definido como intervalo o complemento de A será o intervalo em que A não está definido Exemplo 4 Seja o conjunto A definido no seguinte intervalo A x R 1 x 1 determine A complementar Métodos quantitativos matemáticos 68 A Ac 1 1 Ac x R x 1 1 x 1 e x 1 443 Desigualdade e seus conjuntos de solução Uma desigualdade ou inequação é uma expressão matemática rela cionando duas quantidades Essas quantidades se relacionam por meio de desigualdades ou ou semidesigualdades ou A primeira desigualdade é chamada de desigualdade estrita e envolve a con dição maior que ou menor que A outra desigualdade envolve as condições igual a ou maior que ou igual a ou menor que Exemplos de desigualdades são 3x y 15 x y 5 x2 3 12 x y x 5 4431 Propriedades das desigualdades ou inequações Para quaisquer números reais a b e c valem as seguintes propriedades para as desigualdades se a b então a c b c a direção da desigualdade permanece se a mesma constante é adicionada em ambos os lados da desigualdade se a b e c é positivo então ac bc a direção da desigualdade permanece se ambos os lados da desigualdade forem multiplicadas pela mesma constante positiva se a b e c é negativo então ac bc a direção da desigualdade é revertida se ambos os lados forem multiplicados pela mesma constante negativa 4432 Resolvendo desigualdades ou inequações Resolver uma desigualdade significa encontrar todos os valores para as variáveis que tor narão a declaração verdadeira Esses valores constituem o conjunto solução para a desigualdade Desigualdades como equações são resolvidas pela obtenção de uma série de desigualdades equi valentes até obtermos uma desigualdade com um conjunto solução óbvio Exemplo 1 Encontre o conjunto solução para a desigualdade 4 3x 6 x Procedemos da seguinte forma 4 3x 6 x 4 3x x 6 x x adicionando x de ambos os lados 4 2x 6 realizando as somas dos termos semelhantes 4 2x 4 6 4 adicionando 4 de ambos os lados 2x 2 realizando as somas Vídeo Intervalos 69 2x 12 212 multiplicando cada lado por 12 x 1 realizando o produto 1 O conjunto solução para a desigualdade consiste em todos os valores de x na reta real tal que x 1 Exemplo 2 Encontre o conjunto solução para 3 4 2 x x Para resolver a desigualdade devemos multiplicar ambos os lados por x 4 Agora a quantidade x 4 pode ser positiva ou pode ser negativa Os dois casos devem ser considerados separadamente a Se x 4 0 ou x 4 3 4 4 2 4 x x x x 3x 2x 8 3x 2x 8 x 8 O resultado x 8 é compatível com x 4 Essa solução é portanto x 8 b Se x 4 0 ou se x 4 3 4 4 2 4 x x x x 3x 2x 8 3x 2x 8 x 8 O resultado x 8 é compatível com a condição x 4 somente se o intervalo 4 x 8 é excluído Essa solução é portanto x 4 O gráfico do conjunto solução se encontra a seguir Ele consiste em dois segmentos de reta que não se interceptam consistindo de todos os pontos na reta real exteriores ao intervalo fechado 4 x 8 a b 4 4 8 Métodos quantitativos matemáticos 70 Atividades Em relação aos intervalos de números reais A 5 5 e B 3 6 julgue como verdadeiro ou falso cada um dos exercícios de 1 a 5 1 A B 3 5 2 3 6 A 3 5 A 4 3 B 5 A B 5 3 Dados os conjuntos A 25 e B 36 calcule 6 Complemento de A 7 Complemento de B 8 A B 9 A B 10 Complemento de A B 11 Complemento de A B Resolva as seguintes inequações 12 4 2x x 10 13 4x 22x 1 3 6 x 14 3 5 3 x x 15 2 3 2 3 2 6 0 x x 16 Para quais valores é verdadeira a desigualdade 2x 1 3 a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 17 Do estudo de sinal da função fx x2 4 x 1 podese concluir que a fx 0 para todo x b fx 0 para 2 x 1 e x 2 c fx 0 para 2 x 1 e x 2 d fx 0 para x 2 5 Estudo de funções 51 O problema Um comerciante gastou R 30000 na compra de um lote de maçãs Como cada maçã será vendida por R 200 ele deseja saber quantas maçãs devem ser ven didas para que haja lucro no final da venda Vídeo 52 Explorando o problema O lucro que o comerciante pode obter como resultado final será a diferença entre quanto receberá pela venda das maçãs receita e o que gastou na compra das frutas despesa Aqui está se considerando somente o resultado da compra e venda das maçãs sem levar em conta o rateio de seu custo fixo que envolve toda a manutenção de seu estabelecimento eventuais empregados conservação das frutas etc Essa situação mais simples pode então ser expressa por Lucro Receita Despesa Da forma como o problema foi colocado a despesa realizada na compra do lote de maçãs é fixa e igual a um valor estipulado a 300 Assim de uma forma mais geral podese estabelecer a relação Lucro Receita a Cada maçã será vendida por R 200 digamos que esse valor pode ser expresso de uma maneira geral pela letra b caso ele mude o valor de venda de cada maçã Então se ele vender três maçãs sua receita será igual 3 x R 200 R 600 De forma genérica o valor da receita para a venda de três maçãs será 3b Se vender x maçãs sua receita será bx reais A receita pode ser expressa de forma genérica para esse problema como Receita b x Dessa forma como o lucro é igual à receita menos a despesa ele será Lucro b x a O que varia na equação do lucro é a quantidade x de maçãs vendidas Métodos quantitativos matemáticos 72 53 Equacionando o problema O problema que está sendo discutido relaciona por meio de uma equação o lucro como uma função que depende do número de maçãs vendidas O lucro é função da variável x e dos parâme tros fixos a e b Podemos definir o lucro com a letra L e como função de x expressa comumente como fx e sua expressão será L fx bx a Essa expressão que relaciona o lucro com a quantidade de maçãs vendidas é a equação de uma reta que será estudada em detalhes neste capítulo O estudo do comportamento dessa reta fornecerá a chave para a compreensão do fenôme no analisado além de responder à questão da quantidade de maçãs a serem vendidas para que se obtenha o lucro esperado que será tanto maior quanto maior for a diferença entre a receita obtida com a venda das frutas e a despesa realizada para comprálas Como nesse problema muitos outros problemas envolvem duas ou mais variáveis Uma variável que tem seu comportamento determinado por uma outra variável ou por mais de uma variável é denominada de variável dependente ou de resposta e no geral é colocada no eixo y de coordenadas A outra variável chamada de independente é colocada no eixo x A demanda depende do preço o salário pode depender das horas trabalhadas a produção de um vegetal pode depender da quantidade de adubo colocado no solo as vendas podem depender da quantidade investida em propaganda e assim por diante Para todas essas relações de dependência é possível a construção de um modelo matemático que as explique Naturalmente os modelos matemáti cos propostos serão sempre uma aproximação da realidade mas essa aproximação pode ser tão boa que possibilite ao pesquisador entender o fenômeno em estudo e inclusive fazer algumas previsões A relação entre essas quantidades é normalmente expressa por esse modelo matemático que terá como expressão analítica uma função 54 Conceitos e regras As variáveis podem existir independentemente umas das outras porém elas não se tornam relevantes até que sejam relacionadas entre si por meio de equações Uma equação especifica a maneira pela qual uma variável se comporta em resposta a mudanças em outras variáveis No entanto antes da determinação de uma equa ção é necessário que sejam adotados pressupostos bem definidos com relação ao padrão de comportamento da variável em questão Esse comportamento é definido por meio de funções Uma função é portanto uma equação que descreve a relação entre duas ou mais variáveis Dessa forma o estudo das funções é fundamental para a compreensão de fe nômenos que são expressos por meio de relações matemáticas Essas relações po dem ser expressas de muitas formas no geral o estudo é realizado de forma analítica expressões matemáticas acompanhadas de seu estudo no plano cartesiano Muitas vezes no entanto esse estudo é realizado via conjuntos Vídeo Vídeo Vídeo Estudo de funções 73 541 A ideia de função por meio de conjuntos Sejam dois conjuntos A e B relacionados de alguma forma uma função é de finida se todos os elementos de A têm correspondente em B a cada elemento de A corresponde um único elemento em B Observe no entanto que se dois elementos de A levarem a um único elemento de B essas duas regras não foram violadas e portanto podemos ainda assim ter uma função Exemplo 1 a São funções a b c d 1 2 3 A B 1 2 3 4 A B D B C A 1 2 3 A B a b c d e Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 74 b Não são funções a b c d 1 2 3 A B a b c d 1 2 3 A B 5411 Domínio contradomínio e imagem Dados dois conjuntos não vazios X e Y uma função de X em Y denotada fXY é uma regra que diz como associar cada elemento x X a um único elemento y Y Figura 1 Domínio contradomínio e imagem 3 2 1 0 D CD 1 4 2 5 7 0 9 3 6 8 Imagem Fonte Elaborada pelo autor O conjunto X é chamado domínio da função Df e o conjunto Y é chamado de contradomí nio da função CDf Para x X o elemento y Y é chamado de imagem Imf de x pela função f ou valor assumido pela função f no ponto x X e o representamos por fx Dessa forma y fx A função f transforma x de X em y de Y Exemplo 2 Dados os conjuntos A 0 1 2 e B 0 1 2 3 4 5 6 vamos estudar a função fAB que transforma x A em 3x B Estudo de funções 75 0 1 2 A B 0 1 2 3 4 5 6 Então fAB é definida por fx 3x ou por y 3x Observe que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes o domínio A o contradomínio B e uma regra que associa todo elemento de A a um único elemento de B Nesse exemplo o domínio é A 0 1 2 o contradomínio é B 0 1 2 3 4 5 6 e a regra é y 3x O subconjunto de B formado por todas as imagens fx é chamado de conjunto imagem de A pela função f e é indicado por Imf No exemplo dado Imf 0 3 6 Exemplo 3 Seja a função f R R definida por y x2 Nesse caso a função f transforma todo núme ro real x em um outro número real y que é o quadrado de x Como o quadrado de um número real é sempre um número real não negativo isto é é positivo ou nulo então o conjunto imagem é Imf R y R y 0 o domínio é R o contradomínio também é R e a regra que associa todo x R a um único y R é dada por y x2 X Y 0 1 4 2 1 0 1 2 No exemplo acima se a função fosse definida com domínio em X 2 1 0 1 2 e com contradomínio em R tendo a mesma regra y x2 teríamos como Imf o conjunto 0 1 4 man tido o mesmo contradomínio 542 Função injetora sobrejetora e bijetora 5421 Função injetora Uma função fXY é injetora se quaisquer dois elementos distintos de X sempre possuem imagens distintas em Y isto é x1 x2 implica que fx1 fx2 Métodos quantitativos matemáticos 76 ou de forma equivalente fx1 fx2 implica que x1 x2 Y a b c d e X 1 2 3 Exemplo 4 c A função fRR definida por fx 3x 2 é injetora pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x obtemos dois valores diferentes para fx d A função fRR definida por fx x² 3 não é injetora pois para x 1 temos f1 4 e para x 1 temos f1 4 5422 Função sobrejetora Uma função fXY é sobrejetora se todo elemento de Y é a imagem de pelo menos um elemento de X Isso equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a Y que é o con tradomínio da função ou seja para todo y Y existe x X tal que y fx X D B C Y 1 2 3 4 Exemplo 5 a A função fRR definida por fx 3x 2 é sobrejetora pois todo elemento de R é ima gem de um elemento de R pela função b A função fR 0 definida por fx x² é sobrejetora pois todo elemento pertencen te a 0 é imagem de pelo menos um elemento de R pela função c A função fRR definida por fx 2x não é sobrejetora pois o número 1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio 5423 Função bijetora Uma função fXY é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora Estudo de funções 77 X Y 1 2 3 4 D B C A Exemplo 6 A função fRR dada por fx 2x é bijetora pois é injetora e sobrejetora 543 Funções no plano cartesiano Uma função f de X em Y é uma relação em X x Y que associa a cada variável x em X um único y em Y Mantida a notação fXY A função fXY transforma x X em y Y Essa função pode ser compreendida no plano cartesiano conforme figura a seguir Figura 2 Plano cartesiano 10 5 5 10 10 5 5 10 0 y x Fonte Elaborada pelo autor Aqui também vale Todo elemento de X deve ter correspondente em Y Cada elemento de X só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio Y Essas características nos informam que uma função pode ser vista geo metricamente como uma linha no plano contida em X x Y que só pode ser cortada uma única vez por uma reta ver tical qualquer que seja essa reta Exemplo 1 a São funções 04 08 0 y x 1 2 3 06 02 06 02 04 08 3 2 1 1 5 10 5 10 0 y x 05 15 1 05 Métodos quantitativos matemáticos 78 b Não são funções y x y1 y2 0 a a x y1 y2 a a 5431 Domínio e imagem de uma função O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para o qual o valor da função pode ser calculado Quando o domínio não for explicitado por restrição entenderemos que ele será constituído por todos os números reais para os quais a função for defi nida Portanto o domínio é verificado no eixo das ordenadas Exemplo 2 Determinar o domínio da função y x 5 A função acima só é definida para valores de x 5 Então o domínio da função é defi nido no intervalo que vem de até o valor 5 inclusive Assim Df 5 O gráfico da função é apresentado a seguir 0 y x 5 10 10 5 A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores da variável dependente Portanto a imagem é verificada no eixo y das abscissas Exemplo 3 Determinar a imagem da função y x 5 Podese observar que a imagem da função é constituída de todos os números reais não ne gativos Esses são os valores que y pode assumir assim Imf 0 5432 Função de 1º grau Estudo de funções 79 Chamase função de 1º grau ou função afim qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma fx ax b onde a e b são números reais dados e a 0 Na função fx ax b o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante Exemplo 4 a fx 7x 4 onde a 7 e b 4 b fx 2x 5 onde a 2 e b 5 c fx 3x onde a 3 e b 0 O gráfico de uma função polinomial de 1º grau y ax b com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos X e Y Exemplo 5 Seja a função y 3x 1 como o gráfico é uma reta basta obter dois de seus pontos e ligálos Para x 0 temos y 3 0 1 1 portanto um ponto é 0 1 Para y 0 temos 0 3x 1 portanto x 13 e outro ponto é 13 0 Marcamos os pontos 0 1 e 13 0 no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta X Y 0 1 1 3 0 1 1 3 y x O gráfico da função afim y ax b é uma reta O coeficiente de x a é chamado coeficiente angular da reta e como veremos adiante a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo X O termo constante b é chamado coeficiente linear da reta Para x 0 temos y a 0 b b Assim o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Y 5433 Equação da reta que passa por dois pontos Na apresentação da função de 1º grau a forma analítica da função foi dada e com base nessa expressão desenhamos a reta no plano cartesiano Um problema muito comum em aplicações de cál culo consiste em determinar a forma analítica da reta a partir do conhecimento de dois de seus pontos Uma reta y ax b fica completamente definida pelos seus dois parâmetros O parâ metro a chamado de coeficiente angular da reta é igual à tangente do ângulo θ que a reta forma com o eixo X das coordenadas O parâmetro b chamado de coeficiente linear da reta ou intercepto é o ponto em que a reta corta o eixo Y das abcissas Esse ponto é o valor de y quando x 0 Veja que para x 0 y 0x b ou y b O gráfico a seguir representa essa situação Métodos quantitativos matemáticos 80 y x b θ y ax b O problema consiste em determinar a equação da reta que passa por dois pontos x1 y1 e x2 y2 conforme gráfico a seguir x2 y1 y2 y x x1 x1 y1 x2 y2 Se tomarmos um terceiro ponto genérico x y podemos verificar que formamos dois triân gulos retângulos com o mesmo ângulo q Um triângulo com cateto oposto y2 y1 e cateto adjacen te x2 x1 e um triângulo semelhante a esse com cateto oposto y y1 e cateto adjacente x x1 x2 y1 y y x x1 x1 y1 x2 y2 y2 x x y q q Como sabemos a tangente do ângulo θ para cada um dos triângulos é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ou seja tgθ y y x x 2 1 2 1 da mesma forma que tgθ y y x x 1 1 Temos assim por semelhança de triângulos que y y x x y y x x 1 1 2 1 2 1 Operando essa igualdade obtemos y y y y x x x x y y y x x x x y y y y 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x y y x x x y Estudo de funções 81 E dessa forma obtivemos a equação da reta y ax b que desejávamos onde o coeficiente angular é dado por a y y x x 2 1 2 1 e o coeficiente linear por b y y x x x y 2 1 2 1 1 1 Exemplo 6 Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos 1 5 e 4 14 Essa reta tem portanto as seguintes coordenadas x1 1 y1 5 x2 4 e y2 14 Determinaremos inicialmente o coeficiente angular a a y y x x 2 1 2 1 14 5 4 1 9 3 3 E agora o coeficiente linear b o ponto em que a reta corta o eixo y ou o valor de y para x 0 b y y x x x y 2 1 2 1 1 1 14 5 4 1 1 5 3 55 2 2 Logo a equação da reta obtida é y 3x 2 Vamos verificar se o resultado obtido está correto substituindo x por 1 e por 4 e verificando se os resultados serão 5 e 14 Se x 1 então y 31 2 5 Confere Se x 4 então y 34 2 14 Também confere Assim a equação da reta obtida está correta É interessante verificarmos ainda que se x 0 o valor de y obtido será y 30 2 2 que é exatamente o valor do coeficiente angular ou seja o valor de y quando x 0 é o ponto onde a reta corta o eixo Y 0 2 4 6 200 150 100 50 00 x y y 3x 2 5434 Função quadrática Chamase função quadrática ou função de 2º grau qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma fx ax2 bx c onde a b e c são números reais e a 0 Métodos quantitativos matemáticos 82 Exemplo 7 a fx 2x2 5x 1 onde a 2 b 5 e c 1 b fx x2 2 onde a 1 b 0 e c 2 c fx x2 4x onde a 1 b 4 e c 0 d fx 3x2 onde a 3 b 0 e c 0 O gráfico de uma função polinomial de 2º grau y ax2 bx c com a 0 é uma curva chamada parábola Exemplo 8 Vamos construir o gráfico da função y x2 x Primeiro atribuímos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y e em seguida ligamos os pontos assim obtidos X Y 3 6 2 2 1 0 1 2 1 4 0 0 1 2 2 6 1 2 1 4 3 6 y x 2 6 8 6 4 2 0 2 2 1 2 1 0 0 0 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y ax2 bx c notaremos sempre que se a 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima se a 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo 5435 Equação de 2º grau Chamamse zeros ou raízes de uma função de 2º grau fx ax2 bx c a 0 os números reais x tais que fx 0 Então as raízes da função fx ax2 bx c são as soluções da equação de 2º grau ax2 bx c 0 as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara x b b a c a 2 4 2 Temos Estudo de funções 83 f x ax bx c x b b a c a 0 0 4 2 2 2 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radi cando Δ b2 4 a c chamado discriminante a saber quando Δ é positivo há duas raízes reais e distintas quando Δ é zero há só uma raiz real quando Δ é negativo não há raiz real 5436 Funções cúbicas Chamase função cúbica ou função de 3º grau qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma fx ax3 bx2 cx d onde a b c e d são números reais e a 0 Exemplo 9 a fx x3 onde a 3 b c d 0 b fx 5x3 onde a 5 b c d 0 c fx 2x3 x2 5x 4 onde a 2 b 1 c 5 e d 4 4 0 y x 1 2 6 2 6 2 4 2 1 O gráfico da função cúbica do exemplo a se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante mas no primeiro os valores de fx são positivos e no terceiro os va lores de fx são negativos 5437 Função modular A função modular é definida por fRR tal que fx x com domínio Df R contra domínio CDf R e imagem Imf 0 e seu gráfico é dado por Figura 3 Função modular y x 2 4 0 2 4 6 1 2 3 4 5 Fonte Elaborada pelo autor Métodos quantitativos matemáticos 84 5438 Função par e função ímpar Função par uma função real f é par se para todo x do domínio de f temse que fx fx Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical Y Exemplo 10 A função fx x² é par pois fx x² fx Observe o gráfico de f y x 1 2 0 1 2 2 4 Outra função par é gx cosx pois gx cosx cosx gx Função ímpar uma função real f é ímpar se para todo x do domínio de f temse que fx fx Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano Exemplo 11 As funções reais fx 5x e gx senx são ímpares pois fx 5x 5x fx e gx senx senx gx Observe os gráficos a seguir para verificar a simetria em relação à origem 04 08 0 y x 1 2 3 06 02 06 02 04 08 3 2 1 1 5 10 5 10 0 y x 05 05 1 5439 Função crescente e função decrescente Função crescente uma função f é crescente se quaisquer que sejam x e y no domínio de f com x y tivermos fx fy Isto é conforme o valor de x aumenta o valor da imagem de x pela função também aumenta Exemplo 12 Seja a função fRR definida por fx 8x 2 Para os valores a 1 e b 2 obtemos fa 10 e fb 18 Como o gráfico de f é uma reta a b e fa fb a função é crescente Estudo de funções 85 5 5 10 y x y aumenta 1 2 2 1 x aumenta Função decrescente uma função f é decrescente se para quaisquer x e y do domínio de f com x y tivermos fx fy Isto é conforme o valores de x aumentam os valores da imagem de x pela função f diminuem 5 5 10 y x 1 2 2 y diminui 1 x aumenta Exemplo 13 Seja a função fRR definida por fx 8x 2 Para a 1 e b 2 obtemos fa 6 e fb 14 Como o gráfico de f é uma reta a b e fa fb a função é decrescente 54310 Função composta Dadas as funções fAB e gBC a função composta de f com g denotada gof é a função definida por gofx gfx Gof pode ser lida como g bola f Para que a composição ocorra o CDf Dg Figura 4 Função composta A B C x fx gfx f g gof Fonte Elaborada pelo autor Métodos quantitativos matemáticos 86 Exemplo 14 Sejam as funções reais definidas por fu 4u 2 e gx 7x 4 As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por fogx fgx f7x 4 47x 4 2 28x 14 gofu gfu g4u 2 74u 2 4 28u 10 Como a variável u não é importante no contexto ela pode ser substituída por x e teremos gofx gfx g4x 2 74x 2 4 28x 10 Em geral fog é diferente de gof Exemplo 15 Consideremos as funções reais definidas por fx x² 1 e gx 2x 4 Então fogx fgx f2x 4 2x 4² 1 4x² 16x 17 gofx gfx gx²1 2x² 1 4 2x² 2 54311 Função inversa Dada uma função bijetora fAB denominase função inversa de f a função gBA tal que se fa b então gb a quaisquer que sejam a em A e b em B Denotamos a função inversa de f por f1 Observação importante se g é a inversa de f e f é a inversa de g valem as relações gof IA e fog IB onde IA e IB são respectivamente as funções identidades nos conjuntos A e B Essa caracte rística algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade y x Exemplo 16 Sejam A 1 2 3 4 5 B 2 4 6 8 10 a função fAB definida por fx 2x e gBA de finida por gx x2 observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções 1 2 3 4 5 gx x2 2 4 6 8 10 A B 1 2 3 4 5 fx 2x 2 4 6 8 10 A B Estudo de funções 87 Obtenção da inversa seja fRR fx x 3 Tomando y no lugar de fx teremos y x 3 Trocando x por y e y por x teremos x y 3 e isolando y obteremos y x 3 Assim gx x 3 é a função inversa de fx x 3 Assim fog gof Identidade Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade 0 y x Id f f1 54312 Operações com funções Dadas as funções f e g podemos realizar algumas operações entre as quais f gx fx gx f gx fx gx f gx fx gx f gx fx gx se gx 0 Atividades Analise os diagramas a seguir e indique se representam funções ou não 1 X 1 2 3 Y a b c d e 2 X 1 2 3 Y a b c d e 3 Métodos quantitativos matemáticos 88 X 1 2 3 Y a b c d e 4 X 1 2 3 4 Y D B C 5 Na função y x2 definida no diagrama a seguir determine o domínio o contradomínio e a imagem da função 3 2 1 0 D CD 1 4 2 5 7 0 9 3 6 8 6 Verifique se as seguintes funções são injetoras a y x 2 b y x4 7 Verifique se as seguintes funções são sobrejetoras a y 2x 1 b y x2 3 8 Verifique se as funções dos exercícios 6 e 7 são bijetoras 9 Verifique quais dos gráficos abaixo representam uma função de x em y Estudo de funções 89 a b c d 10 Determine o domínio e a imagem da função y x 9 3 11 Faça o gráfico da função y 3x 10 12 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 2 4 e 3 7 13 Faça o gráfico da função y 3 2x2 Essa é uma função quadrática 14 A função y x2 é uma função decrescente Verdadeiro ou falso 15 A função y x2 é uma função par Verdadeiro ou falso 16 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 0 2 e 2 2 a y 2x 2 b y 2x 2 c y 2x 2 d y 2x 17 Calcule os zeros da função fx 2x2 5x 3 a 1 2 e 3 b 0 e 1 2 c 1 2 e 3 d 1 2 e 3 18 Descreva o domínio da função f x x x 1 3 a x R x 1 e x 3 b x R x 1 e x 3 c x R x 1 e x 3 d x R x 1 e x 3 6 Limites 61 O problema Uma empresa deseja fazer aplicações em propaganda para aumentar a venda de um de seus novos produtos Por experiências anteriores seus diretores sabem que o retorno de vendagem aumenta pouco nos primeiros dias mas logo em seguida tem um crescimento muito rápido e depois tende a estabilizar em um certo patamar Eles desejam fazer uma previsão de que valor é esse para poderem estudar quanto tempo devem investir em propaganda 62 Explorando o problema O problema do tempo de investimento em propaganda do novo produto pode ser descrito conforme uma função com o comportamento de uma curva como a do gráfico Figura 1 Tempo de investimento 11 09 07 05 03 01 01 40 60 80 100 120 140 160 y exp 10 01x1 exp 10 01x y x Fonte Elaborada pelo autor No eixo X das abscissas está o tempo de apresentação do produto por meio de propaganda e no eixo Y das ordenadas está a quantidade de produtos vendidos O que se observa no gráfico é que por mais tempo que se invista em propaganda há um limite de retorno Essa função é conhecida como função logística e é muito útil em estudos nas áreas de adminis tração e economia Por meio dela podese estimar por exemplo o crescimento de uma nova cidade como as que foram criadas em torno da represa de Itaipu Estudos de demanda de novos produtos também costumam acompanhar esse tipo de crescimento Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 92 63 Equacionando o problema A forma mais comum da expressão matemática da função logística que expressa o cresci mento cumulativo é dada pela função x t M 1 ε δ bt Nessa equação xt representa o crescimento cumulativo da grandeza x em função do tem po b é uma constante para ajustar o processo no tempo M é o limite máximo de xt e δ é a taxa que traduz a capacidade de crescimento do sistema Devido à universalidade de aplicações dessa equação as quantidades x e M assim como a taxa de crescimento δ podem ser vistas de várias formas M também é referido normalmente como a capacidade do nicho ou seja a capacidade limite do sistema o valor de xt no fim do crescimento A equação expressa então o fato de que a taxa de crescimento da população dxdt em um instante t arbitrário é proporcional ao tamanho da população e ao tamanho do nicho que falta preencher naquele instante A função logística expressa pela equação costuma também ser designada como lei universal do crescimento Sua aplicabilidade como ferramenta matemática para a descrição do crescimento de po pulações em geral foi demonstrada nos anos 1920 pelo estatístico e zoólogo americano Raymond Pearl 1925 razão pela qual a equação logística é também às vezes referida como equação de Pearl O problema colocado sugere que se calcule o valor de M Esse valor será dado aplicandose o limite na função logística quando o valor de t tender para o infinito lim t bt M 1 ε δ 64 Conceitos e regras Um limite é um conceito matemático rigorosamente definido fundamental para modelos quantitativos usados em vários campos de estudo Basicamente estamos preocupados aqui com o que acontece com o valor da variável dependente fx quando os valores da variável independente x se aproxi mam de uma certa constante a Vamos considerar por exemplo a função fx x 2 e verificar o que aconte ce com os valores de fx quando os valores de x se aproximam de 2 A tabela a seguir descreve essa situação x 19 199 19999 19999 20001 2001 201 21 fx x 2 39 399 39999 39999 40001 4001 401 41 Claramente quando x se aproxima cada vez mais de 2 fx se aproxima cada vez mais de 4 Nós chamamos o número real L aproximado por fx quando x se aproxima de uma constante específica a de limite de fx quando x tende para a e o simbolizamos como Vídeo Vídeo Vídeo Limites 93 lim x a x L f Alguns pontos importantes a respeito do limite de uma função precisam ser enfatizados o conceito de limite de uma função quando x tende para a não pode ser confundido com o conceito do valor da função quando x a o limite quando x tende para a pode existir e a função pode ser definida em a ou não a função pode ser definida para a e o limite pode ou não existir o limite quando x tende para a pode existir a função pode ser definida para a e seus va lores podem ser os mesmos ou não geralmente x pode tender para a pelos dois sentidos por meio de valores menores que a ou de valores que são maiores que a o limite L deve ser um número finito 641 Limite pela direita e limite pela esquerda Quando a variável x tende para x a mas sempre permanece menor que a dizemos que x tende para a pela esquerda Se o valor de fx se aproxima cada vez mais de um número real L quan do x tende para a pela esquerda dizemos que L é o limite pela esquerda e empregamos o símbolo lim x a x L f Exemplo 1 Seja fx x 1 calcule o limite pela esquerda de fx quando x tende para 3 Somente aqueles valores de x à esquerda de a são usados para determinar o limite f29 19 f299 199 f2999 1999 Os valores de fx se aproximam cada vez mais do número 2 e pode mos escrever L x x lim 3 1 2 Da mesma forma o limite à direita de uma função fx quando x tende para a é o valor L para o qual fx converge quando x tende para o ponto x a pela direita mas sempre permanece maior que a Simbolizamos esse limite como lim x a x L f No exemplo anterior podemos verificar que também L x x lim 3 1 2 Métodos quantitativos matemáticos 94 y x 0 1 2 3 1 2 3 4 lim x x 3 1 2 6411 Limite inexistente Surge então a questão os valores de fx sempre tenderão ao número real L quando x tende para a seja pela esquerda ou pela direita A resposta é não Veja o exemplo a seguir Exemplo 2 Seja a função f x x x determine o limite de fx quando x tende para 0 Módulo de x x x x x x se se 0 0 x 01 001 0001 0001 001 01 f x x x 1 1 1 1 1 1 Na medida em que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita os valores de fx não convergem para um único número real porque L 1 L 1 e escrevemos lim x x 0 x não existe y x 1 1 6412 fa não definida A existência de um limite quando x tende para a não requer que a realmente esteja no domí nio da função O conceito de limite requer somente que a função seja definida quando x se aproxi ma de a É possível que f possa não ser definida no próprio ponto x a Exemplo 3 Considere a função definida por f para para x x x x x 4 4 4 4 Limites 95 x 39 399 3999 x 41 401 4001 fx 4 x 010 001 0001 fx x 4 010 001 0001 O ponto x 4 não está no domínio da função Ainda assim os limites à direita e à esquerda existem L f e L f x x lim lim 4 4 0 0 x x E assim lim x f 4 0 x 642 Propriedades úteis para a avaliação de limites Vimos nos exemplos anteriores que muitos dos limites puderam ser determinados simples mente pela avaliação de fa No entanto muitas vezes fa não é definida ou existe um salto na função no ponto x a Nesses casos teremos que usar métodos um pouco mais elaborados para determinar o limite As seguintes propriedades serão úteis na avaliação de limites Para um número real a assumindo que lim lim x a x a f e g x x existem então Para qualquer constante real k lim x a k k Para qualquer número real n lim x a n n x a lim lim x a n x a n x x f f se a raiz for definida lim lim x a x a x x kf k f lim lim lim x a x a x a x g x x g x f f lim lim lim x a x a x a x g x x g x f f lim lim lim lim x a x a x a x a x g x x g x g x f f se 0 Exemplo 1 a lim lim lim lim x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 8 3 8 3 2 2 8 12 2 8 18 b lim lim lim lim li x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 3 3 1 4 3 3 m lim lim x x x x 2 2 2 2 1 4 3 3 2 1 4 2 3 12 1 8 3 13 5 65 c lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 4 1 3 4 1 3 lim lim lim x x x x 2 2 2 4 1 3 2 4 2 1 2 3 d lim lim lim lim x x x x x x x 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 9 3 Métodos quantitativos matemáticos 96 6421 Quando o limite do denominador é igual a zero Devemos observar que quando calculamos o limite nós o calculamos para quando x tende para a e não para x a Assim muito embora a função possa não existir no ponto a seu limite pode existir Essas situações nos levam a encontrar o limite do denominador igual a zero ou uma in determinação numerador e denominador igual a zero 00 Não podemos ser apressados nas conclusões Devemos inicialmente tentar contornar o problema por meio de simples operações algébricas Uma delas é tentar fatorar o numerador de tal forma que possamos dividir por uma nova expressão do tipo x a Exemplo 2 a lim lim lim x x x x x x x x x 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 Lembrese das regras de fatoração para ax2 bx c como por exemplo x 2 3x 2 x 1 x 2 b lim lim lim x x x x x x x x x x x 0 0 0 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 lim lim x x x x x x 0 0 3 3 1 3 9 1 9 643 Limites envolvendo infinito Até aqui trabalhamos com limites de funções que tinham a variável independente x tenden do para uma certa constante a O que acontece se é permitido que a variável x cresça ou decresça sem limite A expressão x tende para o infinito é usada para indicar que x não está se aproximan do de nenhum número real mas crescendo indefinidamente Os seguintes símbolos são usados x indica que x cresce ilimitadamente mediante valores positivos x indica que x decresce ilimitadamente mediante valores negativos É importante lembrarmos que infinito não é um número real Infinito representa um concei to não um ponto na reta real Por outro lado há funções em que quando x tende para um certo valor particularmente para zero fx tende para infinito As funções do tipo apresentado a seguir têm essas duas características acima Funções fx 1 xn Exemplo 1 fx 1 xn para n 1 Quando x tende para zero f lim x x x 0 1 a função definida por fx 1 x Analisaremos o comportamento numérico dessa função por meio das tabelas a seguir Limites 97 Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1 000 10 000 Quando x 0 por valores menores que zero x 0 os valores da função decrescem sem limite Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1 000 10 000 Quando x 0 por valores maiores que zero x 0 os valores da função crescem sem limite Baseados nesse exemplo podemos afirmar que quando x tende a 0 essa função não tem valores que se aproximam de um limite bem definido lim lim x x x x 0 0 1 1 e 1 0 y x 05 05 1 40 60 20 60 20 40 0 Quando x tende para mais ou menos infinito f lim x x x 1 Analisaremos agora o comportamento de f x x 1 1 quando x cresce arbi trariamente x ou quando x decresce arbitrariamente x Comportamento de f para x muito pequenos x 1 10 100 1 000 10 000 100 000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 Comportamento de f para x muito grandes x 1 10 100 1 000 10 000 100 000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 Métodos quantitativos matemáticos 98 Pelas tabelas observamos que lim lim x n x n x x 1 0 1 0 e E quando construímos o gráfico de f observamos que quando x tende para infinito a curva aproximase do eixo x sem nunca tocálo Nesse caso dizemos que a curva é assíntota ao eixo x ou assíntota horizontal Exemplo 2 f x xn 1 Para n 2 Quando x tende para zero f lim x x x 0 2 1 Ao analisar o comportamento numérico de f x x 1 2 nas proximidades de x 0 obser vamos que Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000 Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000 Resultando no seguinte gráfico 0 y x 20 40 60 80 Observamos que se x 0 por valores maiores ou menores do que 0 os valores da função crescem sem limite Assim podemos afirmar que quando x 0 essa função tem os valores se aproximando de um limiar infinito Nesse caso dizemos que não existe o limite de fx1x ² no ponto x 0 mas denotamos tal fato por lim x x 0 2 1 Limites 99 Costumase dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa desse limite dize mos também que o gráfico dessa função tem uma assín tota vertical Quando x tende para mais ou menos infinito f e f lim lim x x x x x x 1 1 2 2 Observase nesses dois casos que lim lim x x x x 1 1 0 2 2 Exemplo 3 De modo similar fx 1x ² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo 0 O comportamento de f próximo de x 0 é similar ao de fx 1x² porém os valores são negativos Nesse caso dizemos que não existe limite no ponto x 0 portanto repre sentamos tal resultado por lim x x 0 2 1 O gráfico abaixo representa essa função 0 y x 80 60 40 20 05 1 1 05 Alguns limites úteis em cálculo xlim xn lim x ex lim x e x 0 lim x x e x 1 1 lim x a x na x 1 lim x e x x 1 1 lim x sen x x 1 Observação importante Quando no cálculo do limite de uma função aparecer uma destas sete formas denominadas expressões indeterminadas Métodos quantitativos matemáticos 100 0 0 0 0 1 0 0 nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso 644 Continuidade Dizemos que uma função fx é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes con dições são satisfeitas fa é definida isto é o domínio de f inclui x a lim x a x f existe lim x a x a f f quando x tende para a pela esquerda e pela direita 6441 Propriedade das funções contínuas Se fx e gx são contínuas em x a então fx gx é contínua em a fx gx é contínua em a fxgx é contínua em a se ga 0 Exemplo 1 a A função fx x2 4x 2 não é definida no ponto x 2 portanto a função não é contínua b f se se x x x x x 2 5 3 5 5 é descontínua porque o limite quando x tende para a não existe c f se se x x x x 3 1 3 é descontínua porque o limite de f quando x tende para a não é o valor de f em x a d fx 1x é descontínua porque o limite quando x tende para 0 não existe e também porque a função não é definida quando x 0 Atividades Encontre o limite das funções a seguir 1 lim x x 3 3 1 2 lim x x 0 3 lim x x 2 2 1 4 lim x x 2 3 2 5 lim x x 2 2 Limites 101 Encontre os limites pela esquerda e pela direita das seguintes funções e esboce o gráfico da função 6 f para para x x x x x 3 2 2 10 2 lim x x 2 f lim x x 2 f 7 f para para x x x x x 1 5 1 5 lim x x 5 f lim x x 5 f 8 O custo Cx de produção de x unidades de um produto é dado por C para para x x x x x 3 2500 0 5000 19000 3 5 5000 Encontre lim x x 5000 C Usando as regras de limites encontre os limites a seguir 9 lim x3 1 10 lim x0 2 3 11 lim x x 4 2 12 lim x x 1 2 2 13 lim x x 2 4 1 14 lim x x x 2 2 2 3 2 5 15 lim x x x 2 2 3 1 16 lim x x x x 1 2 3 4 2 3 17 lim x x x 2 2 5 1 18 lim x x x 1 3 Determine os limites a seguir 19 lim x17 Métodos quantitativos matemáticos 102 20 lim x x 5 21 lim x xe 22 lim x x 1 23 lim x x x 1 24 lim x x x x 2 5 6 3 25 lim x x 1 1 26 lim x x x 2 1 1 Determine se as seguintes funções são contínuas ou não 27 fx x 3 10 x 10 28 f x x x 4 para todo x 29 f x x 1 3 2 para todo x 30 f para para x x x x 1 2 2 8 2 31 Calcule lim x x x 3 2 9 3 a 3 b 0 c 6 d 2 32 Calcule lim x x x 3 8 a 1 3 b 0 c d 33 Calcule lim x sen x sen x 0 2 4 a 0 b 1 c 2 d 1 2 7 Derivada de função 71 O problema O produtor de uma mercadoria tem como padrão de produção x elementos dessa mercadoria em um mês Ele pretende aumentar a sua produção porque a aceitação de seu produto no mercado tem sido muito boa Mas para efeito de planejamento ele deseja saber qual será a variação no custo total devido à produção de uma unidade adicional Complementarmente ele deseja verificar qual será a variação da receita total devido à venda de uma unidade a mais desse produto 72 Explorando o problema Em Economia a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita por qual quer de dois conceitos o de média ou o de marginal O conceito de média expressa a variação de uma quantidade custo por exemplo sobre um con junto específico de valores de uma segunda quantidade número de itens produzidos por exemplo O conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequena na segunda quantidade Assim se pensarmos em custo no contexto do problema acima poderemos raciocinar em termos de custo médio e custo marginal Se pensarmos em receita podemos pensar em receita média e receita marginal O que é custo médio Suponha que possamos construir uma função que expresse o custo total da fabricação de x pares de sapatos e que essa função seja denotada por Cx Uma função que repre sente o custo médio será portanto a razão entre o custo de x pares de sapatos e o número de sapatos produzidos x ou seja Cxx geralmente denotada por Qx e chamada de função de custo médio Q x C x x Ela informa quanto custou em média cada um dos x primeiros pares de sapatos fabricados Já a função de custo marginal nos dirá quanto custará cada unidade adicional de par de sa patos fabricado Ela equivale aproximadamente a calcular Cx 1 Cx Ocorre no entanto que quando calcularmos o quanto custará a fabricação do segundo par de sapatos adicional o valor Cx 2 Cx 1 no geral não será o mesmo da diferença anterior O que nos interessa é saber quanto será o aumento pela produção de cada unidade adicio nal de novos pares de sapatos Esse custo adicional será fornecido pelo cálculo da função custo Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 104 marginal chamada de Cx que é exatamente o valor da derivada da função custo total no ponto x conforme estudaremos em detalhes no desenvolvimento do capítulo Exatamente o mesmo raciocínio vale para as funções de receitas 73 Equacionando o problema Suponha que Cx seja o custo total de produção de x unidades de certo produto A função C é chamada de função custo total Como x representa o número de unidades de um produto x tem que ser um inteiro não negativo Podemos fazer sem qualquer prejuízo a suposição de que x seja um número real não negativo Essa suposição nos garantirá as condições de continuidade de C necessárias para que possamos mais tarde aplicar conceitos de derivação O custo médio de produção de cada unidade do produto pode ser obtido pela razão entre o custo total e o número de unidades produzidas como foi visto anteriormente onde Q é chamado de função custo médio Q x C x x Suponhamos agora que o número de unidades de uma determinada produção seja x1 e que ela tenha sido alterada por Δx Então a variação no custo total é dada por Cx1 x Cx1 e a variação média no custo total em relação à variação no número de unidades produzidas é dada por C x x C x x 1 1 O limite desse quociente quando x tende a zero é chamado de custo marginal Esse limite é definido como a derivada da função de custo total Cx denotada por Cx C x C x x C x x x lim 0 1 1 Assim Cx pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea do custo total quando x1 unidades são produzidas Supondo que Cx seja o custo total da fabricação de x pares de sapatos e que seja dada pela expressão Cx 2 500 2x 004x2 Então a Tabela 1 a seguir mostra quanto custaria fabricar x pares de sapatos Tabela 1 Taxa de variação instantânea do custo total quando x1 unidades são produzidas e custo mé dio de produção de cada unidade do produto x unidades Produção 50 51 52 53 54 55 Cx em R 2 2 2 2 2 2 Custo total 70000 70604 71216 71836 72464 73100 Qx em R Custo médio 5400 5306 5216 5129 5046 4965 Fonte Elaborada pelo autor Derivada de função 105 74 Conceitos e regras 741 Diferenciação ou derivação A operação para encontrar a derivada de uma função tem o nome diferencia ção Dizemos que derivamos y fx em relação à variável x O estudo da derivada foi motivado fundamentalmente para a construção da reta tangente a uma curva dada em um ponto A conhecido A interpretação geomé trica do conceito de derivadas vem a seguir Figura 1 Reta secante interceptando os pontos A e B y x fx0 x fx0 x0 x0 x B A S Fonte Elaborada pelo autor Definiremos a derivada no ponto A com a utilização do processolimite des crito a seguir Considerando A um ponto fixo sobre a curva dada e um ponto B o processo inicia traçandose uma reta secante S que intercepta os pontos A e B Considerandose ainda que o ponto B não é fixo e movese ao encontro do ponto A sobre a mesma curva a secante tenderá para uma posição limite determi nando a tangente Importante frisar que a aproximação vale para toda vizinhança ou seja vindo no sentido direitoesquerdo ou no sentido esquerdodireito implicando necessariamen te a existência da tangente Figura 2 Interpretação geométrica da derivada y x Tangente B1 B2 B3 A Fonte Elaborada pelo autor Vídeo Vídeo Vídeo Vídeo Vídeo Vídeo Métodos quantitativos matemáticos 106 Tendo em mente o conceito geométrico da derivada é necessário neste momento represen tar de forma analítica o processo limite proposto Suponhamos que em um intervalo aberto a b existe uma função contínua y fx Seu gráfico leva o nome de curva contínua p Tomemos na curva p um ponto A x0 f x0 com o objetivo de determinar a tangente à curva p no ponto definido Com esse fim vamos tomar outro ponto B x0 x f x0 x onde x 0 na primeira figura está expresso o caso de x 0 Denominamos de secante S a reta que passa pelos pontos A e B e está orientada na direção de crescimento de x O ângulo que S forma com a direção positiva do eixo x se designará como β Consideramos que p2 β p2 β será positivo quando o sentido dado for antihorário Na figura mencionada β 0 Se x for igual ao segmento de reta AC x AC e y CB temos que y x tg β Se x 0 então y 0 e o ponto B tenderá ao ponto A Se nesse caso o ângulo β tender a um valor α distinto de p2 e de p2 então existe um limite lim lim lim x x y x x x x x tg tg 0 0 0 0 f f β α β α que é igual à derivada finita f no ponto x fx tgα Portanto f f f lim x x x x x x 0 0 0 Quando β tende a α a secante S ocupa a posição da reta T que passa pelo ponto A e forma o ângulo α com a direção positiva do eixo x A reta orientada T recebe o nome de tangente à curva p no ponto A Denominase tangente à curva p y fx no ponto A x fx uma reta orientada T a qual tende à secante S uma reta orientada na direção de crescimento do eixo x que passa por A e pelo ponto B x x f x x p quando x 0 Exemplo 1 Calcular a derivada da função fx x3 no ponto x 1 Pela definição temos f f f lim lim lim x x x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 3 3 0 3 2 2 3 3 0 2 2 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x lim f lim x x x x x x 0 2 2 2 3 3 3 Portanto a derivada da função fx x3 no ponto x 1 é f 1 3 pois fx 3x2 Dizemos que a função f é diferenciável ou derivável em seu domínio se a função for dife renciável em cada ponto do domínio Se a função f é diferenciável em x1 então f é contínua em x1 Se a função f é diferenciável significa dizer que as derivadas laterais existem e são iguais assim Derivada de função 107 f f f f f lim lim x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 f x0 onde f x0 é a derivada à direita de f e fx0 é a derivada à esquerda de f em x0 Se a função f é diferenciável no ponto x0 então a função f é contínua em x0 Exemplo 2 Seja a função f definida por fx x a Esboce o gráfico da função f b Mostre que a função f é contínua em x0 0 c f é diferenciável em x0 0 Lembrese de que por definição f se se x x x x x x 0 0 Figura 3 Gráfico da função Valor Absoluto y x 2 4 0 2 4 6 1 2 3 4 5 6 Fonte Elaborada pelo autor a Sabese que uma função é contínua quando se verifica que lim x a x a f f se o limite existir Façamos primeiramente a verificação de que existe o limite da função ou seja mostremos que os limites laterais existem e são iguais lim lim x x x x 0 0 0 0 0 f f Por outro lado a função aplicada no ponto x0 0 nos dá f0 0 Finalmente como se tem que lim x x 0 0 0 f f concluise que a função f é contínua no ponto x0 0 b Para que a função seja diferenciável no ponto x0 0 é necessário que as derivadas late rais aplicadas no ponto existam e sejam iguais f lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 f lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x 1 Logo f lim x x x x x x 0 0 0 0 não existe ou seja f não é diferenciável em zero Como f 0 não existe o gráfico de fx x não admite reta tangente em 0 f 0 Métodos quantitativos matemáticos 108 742 Derivadas de funções elementares Se y fx várias são as formas de denotar simbolicamente uma função derivada das quais po demos citar y f f f f f lim lim x y y x x x x x x x x x x x d d d d 0 0 0 0 x x x x f 0 0 Trabalhar com a definição de derivada muitas vezes tornase muito trabalhoso e para isso existem fórmulas que são tabeladas facilitando sua aplicação Vejamos as derivadas das funções mais usuais Tabela 2 Derivadas das funções mais usuais fx c c é uma constante fx 0 fx x fx 1 fx ax b a 0 fx a fx x n fx nxn 1 fx ex fx ex fx ax fx ax ln a fx ln x fx 1 x fx sen x fx cos x fx cos x fx sen x fx tg x fx sec2 x fx cotg x fx cosec2 x fx sec x fx sec x tg x fx cosec x fx cosec x cotg x Fonte Elaborada pelo autor Outro estudo relevante diz respeito à identificação de algumas regras gerais para cálculo das derivadas de funções Tabela 3 Regras gerais para derivadas de funções a Multiplicação por escalar kf x k fx b Soma de funções f g x fx gx c Diferença de funções f g x fx gx d Produto de funções f g x fx gx fx gx e Divisão de funções f gx fx gx fx gx g x 2 Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 1 Dados fx 12x2 e gx x 10 calcule as derivadas a f gx b f gx c f gx d f gx Sabendose que fx 24x e gx 1 então Derivada de função 109 a f g x f x gx 24x 1 b f g x f x gx 24x 1 c f g x f x gx fx gx 24x x 10 12x2 1 36x2 240x d fg x x g x x g x g x x x x f f 2 2 24 10 12 1 x x x x 10 12 240 10 2 2 2 743 Derivada de função composta Outro passo importante para o estudo de derivação diz respeito a derivar uma função for mada pela composição de funções com derivadas conhecidas Assim seja y uma função de u onde u é uma função de x teremos y fu onde u gx A corresponde função composta é y fgx A derivação de funções compostas é baseada na Regra da Cadeia se g é diferenciável em x f diferenciável em gx e fog está definida então vale a regra fog x f gx gx Ou ainda dy dx dy du du dx Exemplo 1 Derivar y 4x3 2x15 Façamos u 4x3 2x Assim y u15 ao calcular as derivadas das funções yu e ux encontramos dy du u du dx x 15 12 2 14 2 e Aplicando a fórmula encontraremos a derivada solicitada dy dx x x x 15 4 2 12 2 3 14 2 Ampliando nosso estudo de fórmulas tabeladas envolvendo o conhecimento de Regra da Cadeia vejamos a tabela a seguir Tabela 4 Derivadas das funções utilizando a Regra da Cadeia y cu c 0 onde c é constante y cu lnc u y un y nun1 u y eu y eu u y lnu y u u y loga u y u u a ln y sen u y cos u u Métodos quantitativos matemáticos 110 y cos u y sen u u y tg u y sec2 u u y cotg u y cosec2 u u y sec u y sec u tg u u y cosec u y cosec u cotg u u y arctg u y u u 1 2 y arc cotg u y u u 1 2 y arc sen u y u u 1 2 y arc cos u y u u 1 2 y u v y v u u v v 2 y u m y u m m um 1 Fonte Elaborada pelo autor 744 Diferencial de uma função No cálculo diferencial o símbolo dy dx pode ser interpretado em dois contextos distintos Até aqui representamos com a função derivada de uma função fx Nesta seção interpretaremos como uma razão de duas quantidades dy e dx Em uma função fx um acréscimo em x denotado por x produzirá um acréscimo corres pondente y Sendo assim podemos utilizar o quociente diferencial yx para representar a taxa de variação de y em relação a x Portanto y y x x A grandeza de y pode ser encontrada uma vez que conheçamos o quociente diferencial yx e a variação em x Quando x é infinitesimal y também será e o quociente diferencial tornase a derivada yx Então se denotarmos as variações infinitesimais em x e y por dx e dy respectivamente a identidade acima ficará dy dy dx dx dy x dx ou f Os símbolos dx e dy são denominados as diferenciais de x e y respectivamente A interpre tação geométrica da diferencial é apresentada com o auxílio da Figura 4 Derivada de função 111 Figura 4 Interpretação geométrica do diferencial y x dy fx0 dx fx0 x0 x0 dx dx x0 fx0 Fonte Elaborada pelo autor Exemplo 1 Dada a função fx 5x3 4x2 2x 7 encontre a diferencial De posse da fórmula anterior e sabendo que fx 15x2 8x 2 temos dy 15x2 8x 2dx Observação importante sempre que trabalharmos com diferencial em ambos os termos há necessidade da exposição de um diferencial 745 Derivada de ordem superior Suponhamos que no intervalo aberto a b esteja definida uma função f Sua derivada se existe no mesmo intervalo é a função fx e se chama função de primeira derivada Pode acontecer que a primeira derivada tenha por sua vez a derivada no intervalo a b Esta última se denomina segunda derivada de f ou ainda derivada de f de segunda ordem que tem por notação fx f 2 x fx ou y y Em geral temse a derivada da função f de nésima ordem f nx f n1 x ou yn yn1 Caso tratese de um valor fixo da variável x o símbolo f nx designa a derivada de ordem n aplicada ao ponto x E para que essa derivada exista é necessário que a derivada exista no ponto e em sua vizinhança Exemplo 1 Seja a função fx xm calcule as derivadas de ordem superior até a nésima ordem fx mxm1 fx mm 1xm2 fx mm 1 m 2 xm3 f nx mm 1 m 2 m n 1xmn Métodos quantitativos matemáticos 112 746 Aplicações de derivada Seja uma função f definida em um intervalo aberto a b e derivável em um ponto c de a b Se fc 0 então fc não é um ponto extremo local de f Ou equivalentemente se f é derivável em a b e c é um ponto de máximo ou mínimo local de f então fc 0 Um ponto c é dito um ponto crítico de f se fc 0 ou se fc não existe Ou seja pontos onde a derivada da função é igual a zero são chamados de pontos críticos A derivada ser nula é condição apenas necessária para a existência de extremos mas não é condição suficiente Existem três tipos de pontos onde pode acontecer a situação descrita São os pontos de máximo pontos de mínimo e pontos de inflexão O valor da derivada de uma função em um ponto é a declividade da reta tangente à curva nesse ponto Se a derivada é igual a zero é porque a declividade nesse ponto também é zero pois o ângulo nesse caso é igual a zero isto é a reta tangente é paralela ao eixo x Esses pontos acontecem onde a função atinge um valor máximo um valor mínimo ou também podem ocor rer em pontos de inflexão da função Pontos de inflexão são aqueles pontos na curva em que ela muda de concavidade Os passos para identificar um ponto crítico consistem em se calcular a primeira e a segunda derivadas da função Calculamos a primeira derivada e verificamos para que valores de x ela é igual a zero Esses pontos se existirem serão pontos críticos Em seguida calculamos a segunda derivada da função Se o valor da segunda derivada for positivo no ponto onde a derivada primeira é nula esse ponto será um ponto de mínimo local Se o valor da derivada segunda for negativo o ponto em questão é um máximo local E se a derivada segunda também for nula o ponto é um ponto de inflexão Podem ocorrer extremos onde a função não é derivável e nessas situações o teste da se gunda derivada não se aplica Então não existindo a primeira derivada a segunda também não existirá Nesse caso é necessário então verificar os pontos críticos mediante a avaliação da mudança de sinal da primeira derivada quando a função muda de crescente para decrescente ou viceversa Exemplo 1 Determine os valores máximos e mínimos de fx x3 3x2 9x 3 Primeiro definimos a função f e calculamos a sua derivada fx x3 3x2 9x 3 fx 3x2 6x 9 7461 Pontos críticos Continuando o exemplo observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta Assim os candidatos a extremos dessa função são os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula Para determinar esses últimos pontos basta resolver a equação Derivada de função 113 fx 0 As raízes serão x1 1 e x2 3 3 6 9 0 6 6 4 3 9 2 3 6 36 108 6 6 12 6 6 2 2 1 x x x x x x 12 6 1 6 12 6 3 2 x Então os pontos 1 e 3 são pontos críticos Nesses pontos críticos os valores de f são respectivamente f1 13 312 91 3 f1 1 3 9 3 f1 4 12 f1 8 f3 33 332 93 3 f3 27 27 27 3 f3 24 f1 8 e f3 24 7462 Máximo e mínimo Para avaliar se são pontos de máximo ou de mínimo é necessário calcular a segunda derivada da função que será igual a fx 6x 6 No ponto x 1 o valor da segunda derivada será igual a fx 6 1 6 12 um valor negativo logo o ponto na função para x 1 é um ponto de máximo No ponto x 3 o valor da segunda derivada será igual a fx 6 3 6 12 um valor positivo logo o ponto na função para x 1 é um ponto de máximo se fx 0 f tem um valor de máximo relativo em x se fx 0 f tem um valor de mínimo relativo em x 7463 Ponto de inflexão Igualando a segunda derivada a zero obtemos o ponto de inflexão Então fx 6x 6 0 assim no ponto x 1 temos o ponto de inflexão da função Nesse ponto a função fx x3 3x2 9x 3 assume o valor 8 Métodos quantitativos matemáticos 114 fx 13 312 91 3 1 3 9 3 8 Observe o gráfico de f traçado abaixo Figura 5 Ponto de inflexão 4 2 2 4 6 20 40 0 20 40 60 x y 60 6 Fonte Elaborada pelo autor Atividades Sabendose que y fx encontre as derivadas da função por meio da definição 1 fx x2 2 fx x 13 3 fx c sendo c uma constante real 4 f x x 1 1 5 f x x 2 3 Lembrese de que a3 b3 a ba2 ab b2 Encontre fx0 para o valor x0 conhecido pela definição 6 fx x2 1 x0 3 7 f x x 2 3 x0 5 8 fx 12x2 x 10 x0 2 Verifique se a função f é diferenciável no valor x0 dado 9 fx x 32 x0 3 10 f se se x x x x x x 1 1 1 1 1 2 0 Derivada de função 115 11 Encontre as derivadas das seguintes funções potência a y 7 b y x2 c y x 5 d y x 1 12 Sendo dadas as constantes a b e c calcule as derivadas das funções a f x ax b x c b f x ax b x c x 2 13 Calcule fp sendo dados a fx x3 x p 3 b f x x p 3 2 14 Calcule fx a fx 2x b f x x 10 3 15 Qual é a derivada de fx px 16 Seja fx sen x calcule f π 4 17 Seja f se se x x x x 2 2 0 2 0 perguntase a f é diferenciável em zero b Se possível calcule f0 18 Seja f se se x x x x 2 1 1 1 perguntase a f é contínua em 1 b f é diferenciável em 1 19 Seja fx 5x3 x2 calcule fx e f1 20 Se fx cos x e gx sen x prove que fx gx2 1 2fx gx Diferencie as funções dos exercícios 21 e 22 usando a regra da adição 21 fx x3 2x2 5 e gx x2 10 22 fx tg x e gx sec x 23 Sejam dados fx 5x2 4x 3 e gx 3x2 10x diferencie fx gx Diferencie as funções dos exercícios 24 a 27 usando a regra do produto 24 fx x ln x Métodos quantitativos matemáticos 116 25 fx 7x3 3 e gx 2x 1 26 5 7x1 x1 x 27 x3x2 4 Diferencie as funções dos exercícios 28 e 29 usando a regra da divisão 28 x x 3 3 29 x x 5 7 30 Se fx a x b ache a derivada de fxx Determine a derivada das funções nos exercícios a seguir 31 fx cos 2x 2sen x 32 f cot x x g x tg 2 2 33 f x x 1 3 34 f x x x sen sen 2 2 35 fx cosec x3 36 fx sec2x cosec2x 37 fx ln e3x2 38 fx log2x3 39 fx arctg 2x 40 f x x x 16 2 Nos exercícios 41 e 42 encontre a diferencial 41 fx x2 5x 4 42 f x x 1 3 Nos exercícios a seguir dada a função fx 4x2 5x 4 encontre y dy e y dy Faça uma análise crítica quanto à diferença entre a variação e a diferencial em relação à variável y para 43 x 2 e x 01 44 x 2 e x 001 45 x 2 e x 0001 Derivada de função 117 46 Qualquer valor de x e de x Calcule as derivadas solicitadas 47 Seja fx sen x calcule f4x 48 Seja fx ex calcule fnx 49 Seja fx ln x calcule f3x 50 Seja fx 3x 12 calcule f2x 51 Determine a derivada de f x x 2 1 para x 0 a 0 b 1 c 2 d 4 52 Determine a derivada da função f x x x 1 1 a 1 b x x 1 1 c 2 1 2 x d 2 1 2 x x 53 Determine os máximos e mínimos relativos da função fx x3 3x2 100 a 0 e 2 b 100 e 96 c 100 e 96 d e Referências ASIMOV I No mundo dos números Rio de Janeiro Livraria Francisco Alves 1983 BARKER S F Filosofia da matemática curso moderno de filosofia Rio de Janeiro Zahar 1969 BERGAMINI D As matemáticas Rio de Janeiro J Olympio 1969 Biblioteca Científica de LIFE BOYER C B História da matemática São Paulo Edgard Blücher 1974 DANTZIG T Número a linguagem da ciência Rio de Janeiro Zahar 1970 Biblioteca de Cultura Científica DAVIS P J HERSH R A experiência matemática Rio de Janeiro Francisco Alves 1985 FIGUEIREDO D G Números irracionais e transcedentes Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 1985 FREUDENTHAL H Perspectivas da matemática Rio de Janeiro Zahar 1975 HOGBEN L Maravilhas da matemática influência e função da matemática nos conhecimentos humanos Rio de Janeiro Globo 1956 IEZZI G et al Fundamentos de matemática elementar São Paulo Atual 1977 v 10 IFRAH G Os números a história de uma grande invenção 3 ed São Paulo Globo 1989 KARLSON P A magia dos números Rio de Janeiro Globo 1961 Coleção Tapete Mágico RUSSEL B Introdução à filosofia de matemática Rio de Janeiro Zahar 1966 SILVA C P A matemática no Brasil história de seu desenvolvimento São Paulo Edgard Blücher 2003 STRUIK D História concisa das matemáticas Lisboa Gradiva 1987 TAHAN M O homem que calculava aventuras de um singular calculista persa 25 ed Rio de Janeiro Conquista 1975 As maravilhas da matemática 4 ed Rio de Janeiro Bloch 1976 Gabarito 1 Sistemas numéricos 1 Números naturais 2 N 3 Infinito 4 Infinito 5 Não Contraexemplo número 7 6 Não pois sempre é possível encontrar um número maior bastando somar mais uma unidade 7 0 8 1 9 9 Não existe 10 Sim 11 Conjunto dos números naturais 12 0 13 12 0 1 1 49 e 4 14 Sim pois os divisores dos números primos são Dp 1 1 p p 15 Sim 16 14 17 1 18 Para responder a essa questão é importante que saibamos quais são as regras de divisibilidade todos os números inteiros são divisíveis por 1 um número é divisível por 2 quando termina em 0 2 4 6 ou 8 isto é quando é par um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3 são divisíveis por 4 todos os números cujo os dois últimos algarismos formam um núme ro divisível por 4 um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5 são múltiplos de 6 todos os números pares divisíveis por 3 Métodos quantitativos matemáticos 122 um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7 são divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 também são divisíveis por 8 os números com ante penúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja divisível por 8 um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9 um número é divisível por 10 quando termina em zero Conhecendo as regras de divisibilidade é possível encontrar um número de três algarismos que seja divisível ao mesmo tempo por todos os números pedidos Resposta 180 19 Para responder a essa questão você deve saber quais são os números primos Utilizando os números primos temos as seguintes divisões número primo 2 210 2 105 número primo 3 210 3 70 número primo 5 210 5 42 número primo 7 210 7 30 número primo 11 210 11 1909 Após realizar as divisões percebemos que o menor número primo que não divide o número 210 é 11 pois o resultado não é exato 20 Não 21 1 14 2 9 4 22 22 Não 23 25125 24 09825 25 153 26 24 99 ou 8 33 Gabarito 123 27 2 121 999 ou 2 41 333 28 525 9 000 ou 7 120 29 I R Q 30 R Q I 31 1 4 11 14 15 16 1 e 32 e e 2 3 2 1 1 4 0 3 4 1 6 2 33 p precisa ser positivo 34 2 3 5 e 35 π 5 5e 36 7 7 e 7 5 37 Sim 38 Não 39 Sim 40 Não 41 Sim 42 Sim 43 Sim 44 Sim 45 Sim 46 B Resolução No conjunto dos Naturais definese como número primo aquele com módulo maior que 1 e que possui apenas dois divisores 1 e ele mesmo Dessa definição concluímos a 44 não é primo pois é divisível por 1 2 4 11 22 e 44 b 17 é primo pois é divisível apenas por 1 e 17 c 0 não é primo pois seu módulo é menor que 1 d 1 não é primo pois seu módulo não é maior que 1 Métodos quantitativos matemáticos 124 47 B Resolução Tomemos x 04444 Multiplicando ambos os membros por 10 10x 44444 Subtraindo as duas equações 10x x 44444 04444 9x 4 x 4 9 2 Operações com números reais 1 4 9 2 9 1 1 4 1 3 4 9 9 2 4 1 4 1 3 36 18 3 4 1 3 2 3 4 1 3 2 4 3 1 3 8 3 1 3 9 3 3 2 4 5 ou 0 8 3 38 4 4 5 5 10 6 399 7 1 8 39 9 2ab 10 880 11 a b 8 9 16 5 12 a b 21 4 8 13 a b 7 5 113 9 14 a b 11 20 4 15 15 a b 1 4 7 5 16 a b 1 5 1 Gabarito 125 17 a b 1 4 11 6 18 a b 1 27 25 19 R 28000000 20 R 32000000 R 48000000 e R 60000000 21 4 2 3 2 2 8 6 2 2 2 1 22 a b c 20 10 2 1 3 1 2 2 3 23 4 3 2 2 7 1 2 7 1 7 0 24 a b c 10 100 5 2 8 2 3 3 3 4 4 25 a 8 b 1 c 2 26 a 2 b 5 c 2 27 2 1 16 1 1 2 1 8 2 1 16 1 1 4 1 4 2 4 3 4 1 8 2 1 2 1 4 1 1 4096 2 1 2 4 1 16 32 8 4 3 3 64 1 16 23 16 28 1 29 2 2 2 2 2 2 9 18 4 9 18 4 9 18 4 9 18 4 4 1 2 21 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 16 30 4 5 31 42 34 1 16 12 1 29 32 3 33 1 10 1 100 1 10 1 100 1 1000 1 100 2 1 10 1 10 1000 1 10 11 1000 10 1 110 1000 11 100 34 2 3 2 1 2 3 2 4 9 4 4 2 16 9 4 4 2 25 4 4 2 25 4 2 4 50 16 25 2 16 2 2 5 2 4 Métodos quantitativos matemáticos 126 35 a b c a b c a a b c b a b b c 2 2 2 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 5 4 3 2 4 5 4 3 2 3 12 2 12 2 5 12 2 4 12 2 3 6 12 10 2 12 8 2 12 6 2 6 2 2 4 2 6 2 288 8 36 36 2x 7 37 3 a2 a 1 2 a2 2a 2 a2 3a 3 3a2 3a 3 2a2 4a 4 a2 3a 3 5a2 a2 7a 3a 6 4 4a2 4a 2 38 x x2 xy y2 y x2 xy y2 x3 x2y y3 x2y xy2 y3 x3 y3 39 a a b c b b c a c a b c a2 ab ac b2 bc ab ac bc c2 a2 b2 c2 40 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1 1 2 2 1 1 4 1 2 1 4 4 1 2 1 1 4 4 2 5 4 1 2 1 3 4 2 5 4 2 1 3 4 1 2 10 4 1 3 8 10 4 8 3 80 12 Dividindose 80 e 12 por 4 temos 20 3 Gabarito 127 41 a 24x 3y z b x 3x 2 42 a 2x 34x 1 b x 3x 3 43 a x 2x2 2x 4 b x 1x2 x 1 44 a x2 7x 10 b 9 a2 45 a x2 4 b x3m 6x2my3 12xmy6 8y9 46 a x6 6x3 9 b 1 8 3 2 6 8 6 3 5 4 3 3 6 x y x x y x y 47 15a2 15a 35 48 x a b 49 2 3 4 4 3 9 2 2 4 2 2 a b a a b b 50 2ac 51 2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 4 3 9 12 9 3 52 1 8 53 9 6 6 4 3 2 3 2 9 6 6 4 9 6 6 4 3 3 2 6 6 2 6 54 2 1 1 2 2 x x 55 2 x2 y2 56 zero 57 a b 58 y x y x 2 2 2 59 x y x y x y x y x y x y x xy xy y x y x xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy y x y xy xy xy xy xy xy 2 2 2 2 2 1 60 a ab b ab b a ab b a b a ab a a ab a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 61 1 Métodos quantitativos matemáticos 128 62 0 1 63 31 95 5 64 R 0 1 65 2 66 1 67 6 68 1 2 1 2 69 k 33 2k 5 4 4k 0 3k 9 8k 20 4k 0 15k 29 0 15k 29 O valor de k quando x 3 é k 29 15 70 A Resolução O mínimo múltiplo comum dos denominadores é dado por mmc 2 3 5 8 120 Assim 1 2 2 3 3 5 5 8 1 2 120 120 2 3 120 120 3 5 120 120 5 8 120 120 60 120 2 40 120 3 24 120 5 15 120 60 80 72 75 120 287 120 71 D Resolução Temos 4 3 10 3 4 1 3 10 4 4 1 3 10 3 1 4 x x x x x x e Assim 3 3x 10 4 4x 1 9x 30 16x 4 16x 9x 30 4 7x 34 Daí x 34 7 72 D Resolução Substituindo 2 1 2 2 1 2 2 2 4 1 2 4 4 4 2 1 2 8 8 1 16 9 16 3 4 0 75 2 Gabarito 129 3 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 1 Definimos o conjunto A como o conjunto dos países da América do Sul e R como o conjunto das regiões brasileiras Definimos os seguintes elementos b representa o Brasil v representa a Venezuela a representa Angola e n representa o Nordeste então concluímos que a b A b a A c v R d n R 2 Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e R o conjunto das regiões brasileiras então a Equador A Verdadeiro b Sudeste R Falso c França R Falso d CentroOeste R Verdadeiro 3 I xx é um número ímpar I 3 5 7 4 M xx é um número inteiro maior ou igual a 3 5 A B 6 Verdadeira pois A está contido em B mas não está contido em C os valores 5 e 6 do con junto A estão presentes no conjunto B mas não estão presentes no conjunto C 7 Unitário vazio unitário 8 Falsa O conjunto B está contido no conjunto A 9 A C O N J U T 26 64 subconjuntos 10 Falsa 11 Falso pois a ordem dos fatores não altera o produto A x B B x A 12 36 pares ordenados 13 Numericamente sim 14 236 15 b1 p1 b1 p2 b1 p3 b1 p4 b1 p5 b1 p6 b1 p1 b2 p1 b3 p1 b4 p1 b5 p1 b6 p1 16 Todas as funções consistirão de dois pares ordenados Não haverá distintos pares ordena dos de uma função que têm a mesma primeira ordenada Cada ai aparecerá como primeiro elemento uma vez e cada ai1 aparecerá como primeiro elemento uma vez em cada função Métodos quantitativos matemáticos 130 17 Correto As funções são casos especiais de relações 18 O domínio da relação é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação 19 Sim 20 O produto cartesiano formado por dois conjuntos unitários 21 Ic xx 060 22 U I Ic 23 A B 5 7 24 A B 9 5 7 6 8 U 25 O V O 26 U V O 27 Verdadeiro 28 A B 5 6 7 8 9 29 O V V 30 5 partições 123 1 23 Gabarito 131 12 3 13 2 1 2 3 31 nA 5 e nB 4 32 nA B 0 33 nA B 9 34 nA B 2 35 nA B 6 36 U 1 000 A C 40 50 100 30 145 335 300 M 420 H 580 37 D Resolução Temos nA B nA nB nA B Assim nA B 15 25 5 35 38 D Resolução O conjunto A é dado por A M A T E I C Sabemos que para um conjunto B de p elementos o número de subconjuntos nSB é dado por n SB 2p Como A possui 6 elementos nSA 26 64 4 Intervalos 1 Verdadeiro 2 Falso 3 Falso 4 Falso Métodos quantitativos matemáticos 132 5 Falso 6 Ac 2 5 7 Bc 3 6 8 A B 26 9 A B 35 10 A B 2 6 11 A Bc 3 5 12 x 143 13 x 17 14 x 152 15 x 1 16 A Resolução Temos que 2x 1 3 2x 4 x 2 17 C Resolução Temos que x2 4 x 1 x 2x 2 x 1 Estudando os sinais de cada uma das partes x 2 2 Ou seja x 2 0 para x 2 x 2 0 para x 2 x 2 0 para x 2 x 2 2 Ou seja x 2 0 para x 2 x 2 0 para x 2 x 2 0 para x 2 x 1 1 Ou seja x 1 0 para x 1 x 1 0 para x 1 Gabarito 133 Note que fx não está definida em 1 sendo aberta nesse ponto Efetuando o produto intervalo a intervalo resulta ƒx 2 1 2 Assim fx 0 para 2 x 1 e x 2 fx 0 para x 2 e 1 x 2 5 Estudo de funções 1 Não 2 Não 3 Sim 4 Sim 5 Domínio 3 2 1 0 Contradomínio 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Imagem 0 1 4 9 6 a Sim b Não 7 a Sim b Sim 8 a Sim b Não c Sim d Não 9 Somente b e d representam uma função de x em y 10 Df 3 Porque qualquer número maior do que 3 faria com que a equação resultasse na raiz de um número negativo Im f 0 11 y 3x 10 10 5 5 10 10 5 0 5 10 15 20 25 30 y x 0 Métodos quantitativos matemáticos 134 12 1º Usamos a fórmula do coeficiente angular e calculamos o valor de a a y y x x a a a 2 1 2 1 7 4 3 2 3 1 3 2º Com o valor de a calculamos o valor de b escolhendo valores de y e x que foram dados y ax b 4 3 2 b 4 6 b b 4 6 b 2 3º Substituindo a e b na equação da reta teremos y 3x 2 13 Sim A função y 3 2x2 é uma função quadrática y x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 3 2 1 1 2 3 0 14 Falso 15 Verdadeiro 16 C Resolução A equação de toda reta é dada por y ax b Substituindo 2 0 2 2 0 2 2 2 a b a b a b a b Da primeira linha do sistema concluise b 2 Substituindo esse resultado na segunda linha 2a 2 2 2a 4 a 2 Assim a equação da reta pedida é y 2x 2 17 C Resolução Fórmula de Bhaskara x b a 2 onde Δ b2 4ac Cálculo de Δ Δ 52 4 2 3 25 24 49 Assim x 5 49 2 2 5 7 4 1 2 3 Gabarito 135 18 C Resolução Tomemos f onde x g x h x g x x h x x 1 3 O domínio de fx é o intervalo em que as funções gx e hx estão definidas simultanea mente ie a interseção dos domínios de gx e hx ou ainda Df Dg Dh O domínio de gx é tal que x 1 0 x 1 O domínio de hx é tal que x 3 0 x 3 O domínio de fx será então Df x R x 1 e x 3 6 Limites 1 lim x x 3 3 1 3 3 1 9 1 10 2 0 3 lim x x 2 2 1 22 1 4 1 3 4 lim x x 2 3 2 2 23 2 8 16 5 1 6 x fx 0 2 1 5 2 8 3 7 4 6 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x y 0 lim x 2 8 lim x 2 8 Métodos quantitativos matemáticos 136 7 lim x 5 4 lim x 5 6 não existe x y x y 3 2 5 6 4 3 6 7 5 4 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0 8 lim lim x x 5 000 5 000 17500 36500 não existe 9 lim x3 1 1 1 10 lim x0 2 3 2 3 2 3 11 lim x x 4 2 42 16 12 lim x x 1 2 2 1 2 1 2 2 13 15 14 lim x x x 2 2 2 3 2 5 2 22 3 2 2 5 2 4 3 2 2 5 8 3 4 5 5 9 45 15 lim x x x 2 2 3 1 2 2 1 4 8 1 4 7 2 3 Gabarito 137 16 lim x x x x 1 2 3 4 2 3 1 3 1 4 2 1 3 1 3 4 2 3 6 5 6 5 2 x x 17 lim x x x 2 2 2 5 1 2 5 2 1 4 5 2 1 9 1 3 18 lim x x x x 1 3 1 3 1 4 1 2 19 17 20 21 22 23 lim x x x 1 indeterminado 24 lim lim x x x x x x x x x 2 5 6 3 3 2 3 2 25 lim x x 0 1 1 1 1 26 lim lim x x x x x x x x 2 1 1 1 1 1 1 27 Para que uma função seja contínua as seguintes condições devem ser satisfeitas fa é definida isto é o domínio de f inclui x a lim x x f existe lim x x 10 10 3 7 f lim x x 10 10 3 13 f Métodos quantitativos matemáticos 138 lim x a x a f f quando x tende a a pela esquerda e pela direita Resposta contínua 28 Não contínua para x x x 4 4 0 4 lim f 29 Contínua 30 Não contínua 31 C Resolução Como x2 9 x 3x 3 Temos lim lim lim x x x x x x x x x 3 2 3 3 9 3 3 3 3 3 Assim lim lim lim x x x x x x 3 2 3 3 9 3 3 3 3 6 32 A Resolução Como x x x x x 3 8 1 3 8 8 0 e lim Temos lim lim lim lim lim x x x x x x x x x 3 8 1 3 8 1 3 8 Assim lim x x x 3 8 1 3 0 1 33 33 D Resolução Como lim x senx x 0 1 Temos lim lim x x sen x sen x sen x sen x x x x x 0 0 2 4 2 4 4 2 2 4 sen x x x sen x sen x x sen x x x lim 2 2 4 4 2 4 2 2 4 4 0 2 4 Gabarito 139 Assim lim lim lim lim x x x x sen x sen x sen x x sen x x 0 0 0 0 2 4 2 2 4 4 2 4 1 1 2 4 1 4 7 Derivada de função 1 fx 2x 2 fx 3x 12 3 fx 0 4 f x x x 1 1 1 2 5 f x x x 2 3 0 3 6 fx x2 1 x0 3 fx 2x f3 2 3 f3 6 7 f f f x x x x x x x 2 5 2 3 2 3 0 3 4 fx 6x4 fx 6 4 x f5 6 54 f5 6 625 8 fx 2 12x 1 fx 24x 1 f2 24 2 1 f2 48 1 f2 47 9 fx x 3 x 3 fx x2 6x 9 fx 2x 6 f3 2 3 6 f3 6 6 f3 0 10 f não é diferenciável no ponto x0 1 11 a fx 0 b fx 2 2 0 3 3 x x x c fx 1 5 0 4 x 5 x d fx 1 2 0 3 x x 12 a fx a b x x 2 0 b fx 2 1 2 1 2 0 1 2 3 2 ax bx cx x 13 a f3 28 b f2 1 3 4 3 Métodos quantitativos matemáticos 140 14 a fx 2x ln2 b fx 30 4 x 15 fx πx lnπ 16 fx cos π 4 2 2 17 a Para que a função seja diferenciável no ponto x 0 é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais fx 2 fx 0 f0 0 fx x2 2 fx 2x f0 2 0 0 f0 0 f 0 0 Portanto f é diferenciável em 1 b fx 0 f0 0 18 a Sim pois uma função é contínua quando lim x a x a f f lim x x 1 2 21 1 fx x2 pois x 1 f1 12 1 lim x x 1 21 1 f b Para que a função seja diferenciável no ponto x 1 é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais fx 1 fx 0 f1 0 fx x2 fx 2x f1 2 1 2 f1 0 f 1 2 Portanto f não é diferenciável em 1 19 fx 3 5x2 2x fx 15x2 2x f1 15 12 2 1 f1 15 2 17 20 fx cosx fx senx gx senx gx cosx fx gx2 1 2fx gx senx cosx2 sen2x cos2x 2senxcosx lembrando que sen2x cos2x 1 senx cosx2 1 2senxcosx gx senx e fx cosx 1 fxgx Gabarito 141 21 fx 3x2 2 2x 3x2 4x gx 2x f gx 3x2 4x 2x f gx 3x2 2x 22 fx sec2 x gx sec x tg x f gx sec2 x sec x tg x f g x sec x sec x tg x 23 fx 2 5x 4 fx 10x 4 gx 2 3x 10 gx 6x 10 f gx 10x 4 6x 10 f gx 10x 4 6x 10 f gx 4x 14 24 fx x fx 1 gx ln x gx 1 x Regra do produto f gx fx gx fx gx f g x 1 ln x x 1 x f g x 1 ln x x x 1 f gx ln x 1 25 fx 3 7x2 fx 21x2 gx 2 Regra do produto f gx fx gx fx gx f gx 21x2 2x 1 7x3 3 2 f gx 42x3 21x2 14x3 6 f gx 56x3 21x2 6 26 fx 5 7x fx 7 gx 1 x 1 x gx 1 x x x2 gx 1 x x x2 gx 1 x2 gx 2x Regra do produto f gx fx gx fx gx f gx 7 1 x2 5 7x 2x f gx 7 7x2 10x 14x2 f gx 21x2 10x 7 27 fx x3 fx 3x4 gx x2 4 gx 2x Regra do produto f gx fx gx fx gx f gx 3x4 x2 4 x3 2x f gx 3x2 12x4 2x2 f gx x2 12x4 Métodos quantitativos matemáticos 142 28 fx x3 3 fx 3x2 gx x gx 1 Regra da divisão f f f g x x g x x g x g x 2 f f g x x x x x g x x x x 3 3 1 3 3 2 3 2 3 3 2 f g x x x 2 3 3 2 29 fx x 5 fx 1 gx x 7 gx 1 Regra da divisão f f g x x g x f x g x g x 2 f g x x x x 1 7 5 1 7 2 f g x x x x 7 5 7 2 f g x x x x 7 5 7 2 f g x x 12 7 2 30 f g x b x x 2 0 31 fx 2sen 2x cos x 32 f x x ec x 1 2 2 2 2 2 sec cos 33 f x x x x 3 2 1 0 2 3 34 f cos cos x senx senx x x sen x x sen x 2 2 2 2 2 2 sen x 0 35 fx 3x2 cos ex3 cotg x3 36 fx 2sec2 x tg x cosec2 x cotg x Gabarito 143 37 fx 6x 38 f log x x x 3 2 0 39 f x x 2 1 4 2 40 f x x x x 16 16 16 4 2 2 41 dy 2x 5dx 42 dy x x dx 1 3 3 43 Δy 114 dy 110 Δy dy 004 44 Δy 01104 dy 011 Δy dy 00004 45 Δy 0011004 dy 0011 Δy dy 0000004 46 Δy 8x 5 Δx 4Δx2 dy 8x 5dx ou dy 8x 5 Δx Δy dy 4Δx2 47 f 4x senx 48 f nx ex 49 f 3 3 2 x x 50 f 2x 18 Métodos quantitativos matemáticos 144 51 C Resolução Pela regra da cadeia dy dx dy du du dx Tomando u x 1 temos dy du d du u d du u u u 1 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 E como du dx d dx x 2 1 2 Substituindo dy dx dy du du dx u u 1 2 2 2 3 2 3 2 Assim f x dy dx x 2 1 3 2 Para x 0 f 0 0 2 0 1 2 3 2 dy dx 52 C Resolução Temos que se f x g x h x então f x g x h x g x h x h x 2 Substituindo f x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 x x x x 53 B Resolução Sabese que os pontos máximos de uma função ocorrem nos pontos tais que fx 0 Como fx 3x2 6x Temos fx 0 3x2 6x 0 x 3x 6 0 Assim x 0 ou 3x 6 0 Daí x x 0 2 são os pontos de máximo e de mínimo Substituindo na função f0 03 3 02 100 100 f2 23 3 22 100 100 8 3 4 100 96 Código Logístico 57419 Fundação Biblioteca Nacional ISBN 9788538764465 9 788538 764465 MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS Paulo Afonso BracarenseMaria Emilia Martins Ferreira